5ый семестр / 8. Системный анализ (complete)_1 / SA / не мое / ТС и СА_гр.447_2019 / Учебные пособия / СЕРГЕЕВ_МАКЕТ

где αk – векторы столбцы дополнительных априорных данных, полученных с s1 объектов-аналогов с ошибками ηk ; yl – векторы столбцы дополнительных априорных данных с s2 объектов-аналогов, заданных с ошибками νk ; F – конечно-разностный оператор; yt−i = y(t −i), xt− j = x(t − j) – начальные условия; Г1k , Г2l – индикаторные диагональные матрицы

вида (1.4.8).

3. Линейные непараметрические интегрированные системы моде-

лей. Линейные непараметрические интегрированные системы моделей основаны на линейных статических либо динамических моделях объекта и на непараметрических статических либо динамических моделях объектов-аналогов.

В качестве примера линейной непараметрической статической интегрированной системы моделей, в которой дополнительная априорная информации о параметрах модели и выходе объекта представлена классами непараметрических моделей, приведем уравнения:

где f1 , f2 –неизвестные, однозначные, ограниченные функции. Данная интегрированная система моделей является естественным

представлением моделей дополнительных априорных данных, поскольку часто не удается найти подходящее конечномерное параметрическое описание связи исследуемых объектов и объектов-аналогов.

4. Нелинейные непараметрические интегрированные системы мо-

делей. Нелинейные непараметрические интегрированные системы моделей основаны на нелинейных статических либо динамических моделях объекта и на непараметрических статических либо динамических моделях объектов-аналогов.

В качестве примера нелинейной непараметрической статической интегрированной системы моделей, по аналогии с (28), рассмотрим уравнения:

где f (x,α) – известная нелинейная функция регрессии.

21

5. Непараметрические интегрированные системы моделей. Непа-

раметрические интегрированные системы моделей основаны на непараметрических статических либо динамических моделях объекта и на непараметрических статических либо динамических моделях априорной информации. Непараметрическую статическую стохастическую систему с одним объектом-аналогом (модель двух черных ящиков) можно представить в виде:

где f1 , f2 – неизвестные однозначные функции; Г– известная индика-

торная матрица.

Данная интегрированная система моделей часто используется в случаях, когда объект слабо изучен либо достаточно сложный для его параметрического описания. С другой стороны и дополнительную априорную информацию о выходе объекта не удается представить в виде конечномерного параметрического описания. Классические методы непараметрического оценивания функций приведены в приложении 3.

1.5. Структураинтегрированнойсистемыидентификации

Под интегрированной системой идентификации понимается система разработки (проектирования) оптимальной, в смысле заданных критериев качества, интегрированной системы моделей. Структура интегрированной системы идентификации представлена на рис. 1.4.

Интегрированнаясистема идентификации

Рис. 1.4

Интегрированные системы моделей достаточно подробно изложены в предыдущем разделе, поэтому ниже рассматриваются только критерии качества и оптимальности интегрированных систем моделей и алгоритмы адаптации.

Критерии качества и оптимальности. Комбинированные крите-

рии качества интегрированной системы моделей, состоящие из комбинации частных критериев, предназначены для объединения (слияния) моделей объекта и моделей объектов-аналогов.

22

Частные критерии качества представляют меры близости измеренных значений выходных переменных исследуемого объекта и объектованалогов к их соответствующим значениям, полученным на основе моделей.

Вслучае одной выходной переменной для оценки близости объекта

иего модели, оценки близости дополнительных априорных данных их

моделям вводится функция (функционал) потерь r(U,V ) , обладающая свойствами расстояния:

1.r(U ,V ) > 0; U ≠ V.

2.r(U ,V ) = 0; U =V.

3.r(U ,V ) ≤ r(U , Z ) + r(Z,V ); U ,V , Z.

Например, средние потери от отклонения модели объекта y(t) от

где y(t) = f (x(t),α) ; r – функция потерь.

В данном случае задача оптимизации заключается в определении вектора параметров α* модели объекта, который бы минимизировал средние потери

гдеarg min Q(α) означаетточкуминимумафункционаласреднихпотерьQ(α).

α Rm

Сформулированный критерий оптимальности переводит процедуру определения параметров функции в задачу оптимизации. Функционал средних потерь часто называют критерием качества модели объекта либо просто критерием качества.

Предполагая аддитивный характер ошибок измерения выхода объекта

yi* = f (xi ,α) + ξi , i =1,n ,

функционал качества часто выбирают в виде

функция потерь r(ξi ) = ξi2 , i =1, n [15, 22], и критерий качества (1.5.3) переходит в широко используемый квадратичный критерий

n 2

Q(α) = ∑ξi2 = y* − f (x,α) = ξT ξ, (1.5.4)

i=1

где y* – вектор измеренных значений выхода объекта; f (x,α) – векторстолбец значений выхода объекта, полученный на основе модели объек-

та в точках; x – норма вектора x.

Часто используется взвешенный с весами wij , i, j =1,n квадратичный функционал качества

где матрица Wy = (wij ,i, j =1,n) определяется статистическими характеристиками вектора случайных величин y*.

Если распределение плотности вероятности величины ξi , i =1,n

Частные критерии качества объектов-аналогов формируем по аналогии с рассмотренными функционалами качества. Например, для линейной интегрированной системы моделей с учетом априорной информации о выходе объекта и параметрах модели объекта

y* = Fα+ ξ;

α = Rα+ η1 ; (1.5.7)

y = Hy + η2 ,

частные квадратичные критерии качества объектов-аналогов равны

При использовании данных критериев качества предполагается, что векторы ошибок задания дополнительных априорных данных η1 и η2 распределены по нормальному закону.

При наличии априорной информации о статистических характеристиках ошибок η1, η2 следует использовать взвешенные критерии вида

24

где Wα , Wy – матрицы, связанные со статистическими характеристиками случайных величин α, y .

В качестве критерия качества интегрированной системы моделей будем использовать взвешенные частные критерии качества вида:

где Q(α) – частный критерий качества модели исследуемого объекта; J j (α) – частные критерии качества моделей объектов-аналогов; βj –

управляющие переменные, определяющие вес дополнительных априорных данных.

Следует отметить, что решение разнообразных задач обработки экспериментальных данных, идентификации, оптимизации и управления связано с использованием взвешенных критериев качества вида (1.5.10). Например, при решении задач оптимизации функций при наличии ограничений функционал типа Φ(α) называют функцией Лагранжа, а управляющие переменные βj имеют смысл множителей Лагранжа [19–20].

При решении обратных некорректно поставленных задач [19] функционал Φ(α) имеет смысл регуляризирующего (сглаживающего)

критерия, а частные функционалы J j , j =1,m имеют смысл стабилизи-

рующих функционалов, связанных с «гладкостью» искомого решения. Так, например, при определении ИПФ k(t) интегрального уравнения (1.2.8) в качестве стабилизирующего функционала используют [19]

Новым в приведенной структуре взвешенного функционала (1.5.10) является наличие механизма, позволяющего учитывать разнородную дополнительную априорную информацию.

Оптимальная структура интегрированной системы моделей определяется критерием вида

дуемого объекта и моделей объектов-аналогов; α* (β* ) – оптимальные

параметры модели объекта; β* – оптимальные значения управляющих параметров.

25

Получение оптимальной структуры интегрированной системы моделей (1.5.11) представляет достаточно сложную задачу проектирования, которую, как правило, решают последовательно:

1. При заданной структуре моделей исследуемого объекта и объек- тов-аналогов получают оптимальные оценки неизвестных параметров

2. Определяют оптимальные значения управляющих параметров

3. Определяют оптимальные модели объекта и оптимальные модели объектов-аналогов

26

Глава2 ЛИНЕЙНЫЕИНТЕГРИРОВАННЫЕСИСТЕМЫИДЕНТИФИКАЦИИ

2.1. Линейныеинтегрированныесистемыидентификациисучетом априорнойинформацииопараметрахмоделиобъекта

Фундаментальной проблемой, лежащей в основе решения многих практических задач, является создание интегрированной системы идентификации на основе линейных статических либо динамических интегрированных систем моделей с учетом дополнительной априорной информации. Остановимся на рассмотрении линейной статической стохастической интегрированной системы моделей с учетом дополнительной априорной информации вида:

где F – матрица значений известных функций f (x) = ( f1 (x), f2 (x ),..., fm (x )) ,

вычисленных в точках xi ,i =1,n (предполагаем, что входные переменные объекта измеряются точно); y* = ( y1* , y2* ,…, yn* )T – вектор измеренных значений выхода объекта; α – вектор неизвестных значений параметров; α = (α1, α2 ,…, αm )T – вектор значений априорной дополнительной информации о параметрах модели объекта; R = (rij ,i, j =1, m) – из-

вестная квадратная матрица; ξ, η – векторы случайных величин, представляющие ошибки измерения выхода объекта и ошибки задания априорной информации; Т – символ транспонирования.

Проектирование оптимальной структуры интегрированной системы моделей сводится к выбору критерия качества и синтезу алгоритмов адаптации, которые в данном случае заключаются в решении оптимизационных задач по определению вектора неизвестных параметров

α= (α1,α2 ,…,αm )T .

27

Рассмотрим решение оптимизационной задачи с использованием частных квадратичных критериев качества, принимая в качестве оценки параметров α величину:

где Ф – комбинированный взвешенный критерий качества интегрированной системы идентификации; J,Q – частные критерии качества модели исследуемого объекта и модели объекта-аналога; Wy и Wα – не-

которые неотрицательно определенные матрицы, β – управляющий параметр. Отметим, что задачу определения параметров α часто называют обратной задачей.

Для решения задачи (2.1.2) необходимо взять производные по параметрам α, используя формулы для производных по векторному аргументу, приведенные в приложении 1 и приравнять их к нулю:

∂∂Φα = αΦ = −2FT Wy (y* −Fα) −2RT Wα (α− −Rα) = 0.

В результате получаем систему линейных алгебраических уравнений

относительно вектора неизвестных параметров α.

Решение системы уравнений (2.1.3) можно представит в виде

Следует отметить, что при использовании квадратичных критериев качества, оптимизационная задача (2.1.2) имеет аналитическое решение.

Линейные интегрированные системы идентификации в зависимости от выбора матриц R , Wy , Wα , вектора α и управляющего парамет-

ра β, с учетом имеющейся априорной информации, порождают достаточно широкий спектр алгоритмов идентификации. Приведем соответствующие примеры:

1.Обобщенные оценки метода наименьших квадратов (МНК). При

β= 0 из (2.1.4) следуют обобщенные оценки наименьших квадратов [1–4]:

корреляционная матрица случайных величин ξi ,i =1, n с нулевыми математическими ожиданиями ( Mξi = 0,i =1, n ).

28

При Wξ = I (где I – единичная матрица) и β = 0 из (2.1.4) следуют

2. Регуляризированные по Тихонову алгоритмы и Ridge-приближения.

Пусть в R = Wy = Wα = I и α= 0. Тогда оценка (2.1.4) совпадает с регу-

для решения систем линейных уравнений (FTF)α = (FTy* ), полученной

где величина β α 2 играет роль стабилизирующего функционала, кото-

рый представляет уклонение решения от начала координат и позволяет получить устойчивые решения задачи идентификации линейных сис-

тем при вырожденной матрице FT F . Следует также отметить, что функционал (2.1.8) является частным случаем функционала для интегрированной системы моделей (2.1.1) в случае равенства нулю дополнительных данных о векторе оцениваемых параметров объекта. Оценка (2.1.7) получила название гребневой Ridge-оценки параметров линейной регрессии [15].

3. Байесовские оценки параметров линейных систем. ПриWy = Vξ−1,

Wα = Vα−1, R = Ι, α = M α, β =1, где Vα−1 – обратная корреляционная мат-

рица априорного распределения случайного вектора параметров α оценка (2.1.4) примет вид

Приближение (2.1.9) представляет Байесовскую оценку параметров линейной регрессии, полученных методом максимума апостериорной вероятности приведенного в приложении 3, где в качестве априорной информации используются данные о среднем значении α= Mα случайного параметра α, распределенного по нормальному закону с известной корреляционной матрицей Vα.

Следует отметить, что Байесовская оценка параметров регрессии порождается интегрированной стохастической системой моделей вида

и использованием частных квадратичных критериев качества.

29

4. Алгоритмы метода статистической регуляризации. При R = I ,

Wy = Vξ−1, α = M α:

Приближение (2.1.4) представляет статистически регуляризированную оценку в условиях неполной априорной информации о корреляционной матрице априорного распределения Wα [20].

5. Алгоритмы идентификации при наличии ограничений на пара-

метры. При Wα = I и η = 0 (случайная составляющая в априорных данных отсутствует), оценка (2.1.11) соответствует решению задачи идентификации при наличии ограничений типа равенств α= Rα:

Рассмотрим интегрированную систему моделей, где априорные сведения о параметрах модели объекта формируются с d объекта-аналога:

Для данной системы в качестве оптимальной оценки вектора неизвестных параметров α будем использовать величину:

Вычисляя соответствующие производные и приравнивая их к нулю, получим систему линейных уравнений

для определения вектора параметров α.

Завершающим этапом адаптации линейной интегрированной системы моделей (2.1.1), (2.1.14) является задача определения оптимальных управляющих параметров