5ый семестр / 8. Системный анализ (complete)_1 / SA / не мое / ТС и СА_гр.447_2019 / Учебные пособия / СЕРГЕЕВ_МАКЕТ

4) es =(sm1 −s(α, T )) – значение невязки между средним значением

имитируемых экспертных оценок извлекаемых запасов нефти и значениями запасов нефти, вычисленными по модели.

Индекс «i −1» означает, что все частные производные и функции в скобках вычислены при значениях α =αi−1, i =1, 2, 3, ... .

Приведем описание алгоритма синтеза оптимальных оценок параметров интегрированной системы моделей (7.2.11), реализованного во втором разделе процедуры Sub Example_1_В1( ).

Алгоритм синтеза оптимальных оценок параметров модели добычи нефти

1. Вычисление матрицы частных производных Dnm (все производные на первом шаге вычисляются при заданных начальных значениях вектора параметров α0 = (α10 ,α2 0 ,α30 ) ):

Di1f = exp(−α2ti )tiα3 , i =1,n , Dif2 = −α1α2 exp(−α2ti )tiα3 , i =1,n, Di3f = α1α3 exp(−α2ti )tiα3−1, i =1,n .

2. Транспонирование матрицы

T

Dnm ( f ) → DTmn ( f ) . 3. Вычисление произведения матриц

DTf D f .

4. Формирование вектора строки Ds =(D11S , D12S , D133 ):

5. Транспонирование вектора DS :

T

DS →DTS .

6.Расчет матрицы DTS Ds .

7.Формирование матрицы планирования

A = DTf D +βDTS DS .

101

8. Вычисление вектора-столбца невязок между фактическими и модельными значениями добычи нефти

e0f =q* −f(t,α0 ) =(qM* (ti )− f (ti ,α0 ), i =1,n)T .

9. Формирование вектора-столбца

10. Вычисление невязки между имитируемой средней экспертной оценкой извлекаемых запасов и значением извлекаемых запасов, вычисленных по модели

T

0

es0 =(sm −s(α0, T )) = (sm −α10 ∫exp(−α02τ)τα3 dτ).

0

11. Вычисление вектора столбца

DTs es0 =(DiT1 (s)es0 , i =1,3)T .

12. Вычисление вектора-столбца свободных членов

B= DTf e0f +βDTs es0..

13.Решение СЛУ A α=B (процедура решения СЛУ Sub EXP_hol_1() приведена в приложении 6) и получение приращений Δα вектора параметров α =(α1, α2, ..., αm ).

14.Определение первого приближения вектора параметров

α1j =α0j +h α0j j =1,3 (параметр h на первом шаге равен 1).

15. Проверка условия сходимости метода Гаусса–Ньютона

Если условие сходимости не выполняется, то производится дробление шага

h = h / 2, i =1,ikp

и переход к пункту 14 до выполнения условия 15. Целесообразно поставить ограничение на число дробления шага, например ikp =10 . Если ус-

ловие сходимости (15) выполняется, то проверяется условие точности оценки параметров модели

(Φ(α1) −Φ(α0 )) / Φ(α0 ) ≤ε,

где ε – заданное значение точности. Если заданное значение точности достигается, то процесс уточнения параметров заканчивается. В противном случае выполняется пункт 1 при α =α1.

102

Отметим, что при использовании оптимальной оценки управляющего параметра β0n следует решать оптимизационную задачу (7.2.8) на

каждом шаге приведенного выше алгоритма адаптации. Возможным вариантом является также решение оптимизационной задачи (7.2.7) на первом шаге метода Гаусса–Ньютона и использование полученных значений управляющих параметров на последующих шагах.

Завершением технологии статистического моделирования и соответственно результатами лабораторной работы № 1 являются расчет и построение следующей серии таблиц и графиков:

1) таблица и график зависимости относительной ошибки извлекаемых запасов

от числа лет разработки n, уровня ошибок измерений добычи нефти c1 и

реализации имитируемых значений добычи нефти и извлекаемых запасов. Информация, приведенная в такой таблице, необходима для контроля сходимости процесса поиска значений оценок параметров модели.

Все таблицы должны содержать усредненные значения информации о точности оценок параметров, как для одной реализации случайных величин, так и для серии реализаций.

103

Следует отметить, что приведенные критерии точности могут значительно отличаться в зависимости от параметра k – номера реализации случайных величин ξik , i =1,n, ηjk , j =1,m, k =1,d. В этой связи пользуются усредненными значениями относительных ошибок по всем реализациям k =1,d :

Также отметим, что в силу того, что модель объекта нам известна и известны значения определяемых параметров, в качестве оптимального значения управляющего параметра β (либо вектора управляющих параметров β=(β1, β2, ..., βm )) может быть использована его оптимальная

оценка

В практических ситуациях в силу неизвестности модели, величину управляющего параметра β0n получить невозможно. Можно получить его

различные эмпирические оценки β*jn , j =1,c путем использования изло-

женных в третьем параграфе пятой главы методов. В этой связи возникают вопросы точности оценок извлекаемых запасов и прогноза добычи при использовании эмпирических оценок управляющих параметров β*jn , j =1,c , где могут быть использованы критерии (7.2.6)–(7.2.9).

Например, относительная ошибка оценки извлекаемых запасов при использовании эмпирических оценок управляющих параметров β*jn , j =1,c

где δnj (β*jn ) и δn (β0n ) – относительные ошибки извлекаемых запасов нефти.

В качестве примера на рис.7.2–7.4 приведены графики зависимости относительной ошибки извлекаемых запасов и прогноза добычи нефти в зависимости от числа лет разработки, начиная с первого года разработки месторождения, полученные в результате работы процедуры Sub Example_1_B1( ).

Следует отметить, что рассмотренные выше примеры не охватывают ряд важных вопросов надежности, устойчивости оценок, анализа их поведения в экстремальных ситуациях. Данные вопросы предлагаются в качестве дополнительного задания к лабораторным работам.

104

Рис .7.3. Прогноз добычи нефти: прогнозные значения – маркированная линия; фактическая добыча нефти – сплошная линия

Рис. 7.4. Относительная ошибка прогноза добычи нефти на три года в зависимости от числа лет разработки месторождения

105

Например, в случае трех параметров за первые два года разработки месторождения определить параметры модели добычи нефти традиционным методом наименьших квадратов невозможно в силу вырожденности матрицы DTf D f в алгоритме определения параметров:

В этой связи важным показателем качества адаптированной интегрированной системы моделей является относительная эффективность (устойчивость) оценок при переходе от стандартных (нормальных) условий функционирования системы к экстремальным условиям (5.2.2), а также относительная эффективность оценок в экстремальных условиях их функционирования (5.2.3).

Экстремальные условия функционирования интегрированной системы моделей также имитируются методами статистического моделирования.

Например, модель случайных величин с резко выделяющимися значениями (выбросами) для моделирования исходных и дополнительных априорных данных может быть получена с помощью датчика псевдослучайных чисел:

где ξi и ξj – последовательности независимых псевдослучайных вели-

чин с нулевым средним значением и ограниченной дисперсией. Следует отметить, что более полной для решения задачи прогноза

добычи нефти и оценки извлекаемых запасов является интегрированная система моделей, в которой наряду с априорной информацией об извлекаемых запасах дополнительно учитываются экспертные данные о добыче нефти (в том числе ее прогнозные значения) и экспертные сведения о значениях оцениваемых параметров.

Такая модель, включенная в один из вариантов лабораторных работ, имеет следующий вид:

где qj (ti ), i 1,m, j =1,m2 – дополнительные данные о добыче нефти, в

том числе и ее прогнозные значения, полученные из m2 различных источников информации; αkj , k =1,m, j =1,m3 – дополнительные априорные

данные о параметрах модели добычи нефти, полученные из разных источников; Gi и Гk – элементы диагональных индикаторных матриц G и Г, принимающих значения ноль либо единица, где ноль означает отсутствие априорной информации о соответствующих экспертных значениях добычи нефти и экспертных значениях параметров модели. Остальные переменные имеют смысл, приведенный в интегрированной системе моделей (7.2.1).

Процедура определения оптимальных оценок вектора параметров α0 =(α10, α02, α30 ) упрощенной модели (7.2.14) по аналогии с моделью

(7.2.4) сиспользованием квадратичного критериякачества иметодаГаусса– Ньютона имеет вид:

Алгоритм синтеза оптимальных оценок параметров приведенной процедуры аналогичен алгоритму, реализованному в процедуре Sub Example_1_В1( ).

Приведем пример одного из вариантов лабораторной работы № 2, целью которой является проведение исследований методом статистического моделирования потенциальной точности и качества оценок фильтрационных параметров нефтяного пласта на основе использования интегрированной системы моделей кривой восстановления забойного давления с учетом экспертных оценок пластового давления, фильтрационных параметров пласта, экспертных оценок накопленной жидкости в стволе скважины после ее остановки (6.2.11):

107

где

1)Pз*(ti ), i =1,n – имитируемые значения забойного давления в моменты времени ti ;

2)Pз(t, t0, q(t), α) – модель кривой восстановления забойного дав-

ления; t0 – время остановки скважины;

3) α =(α1, α2, ..., αm ) – вектор фильтрационных параметров нефтя-

ного пласта, включая параметры, входящие в модель дебита притока жидкости в скважину после ее остановки;

4) Pплj , j =1,m1 – имитируемые значения экспертных оценок пластового давления;

5) αkj , k 1,m, j =1,m2 – имитируемые значения экспертных оценок

фильтрационных параметров нефтяного пласта;

6) S j , j =1,m3 – имитируемые значения экспертных оценок накопленной жидкости в стволе скважины после ее остановки;

7)G и Г = diag(Гk , k =1,m) – диагональные индикаторные матрицы;

8)q(t, Gα) – модель притока жидкости после остановки скважины;

9)S(T, Gα) – модель накопленной за время T жидкости после ос-

тановки скважины;

10) случайные величины ξi , i =1,n, ηj1, j =1,m1, ηkj2, k =1,m, j =1,m2,

ηj3, j =1,m3 по аналогии с (7.2.1) имеют смысл ошибок измерений за-

бойного давления и ошибок задания дополнительных априорных сведений (экспертных оценок).

Процедура определения оптимальных фильтрационных параметров данной интегрированной системы моделей с использованием квадратичных критериев качества и метода Гаусса–Ньютона подобна процедуре, приведенной в (6.2.12) .

Однако практическая реализация данной процедуры вызывает большие трудности, связанные с определением вектора управляющих

108

параметров размерности l = m1 +m2 +m3 , и уже при l >10 представляет

достаточно сложную оптимизационную задачу. Для упрощения процедуры адаптации оценок перейдем к интегрированной системы моделей кривой восстановления забойного давления вида:

где

1) Pплm1 = ∑m Pплj – среднее значение имитируемых экспертных оце-

j=1

нок пластового давления;

m2

2) αkm2 = ∑αkj , k =1,m – среднее значение имитируемых эксперт-

j=1

ных оценок фильтрационных параметров нефтяного пласта;

m3

3) Sm3 = ∑S j , j =1,m3 – среднее значение имитируемых эксперт-

j=1

ных оценок накопленной жидкости в скважине.

Для упрощенной модели (7.2.16) процедура определения фильтрационных параметров содержит только три управляющих параметра и имеет вид

матрица, частных производных от функционала накопленной добычи жидкости в скважине; e(Pз )=(Pз* (ti )−Pз(ti , t0, q(ti ), α), i =1,n)T – вектор-

столбец невязок между измеренными значениями забойного давления и соответствующими значениями забойного давления, полученными на основе модели; e (Pпл )=(Pпл −Pпл (T, α)) – невязка между средним зна-

чением экспертной оценки пластового давления и соответствующим значением пластового давления, полученного к моменту времени T на основе модели ; α =((αk −αk , i =1,n))T – вектор-столбец невя-

зок между средними экспертными значениями фильтрационных параметров пласта и искомыми значениями фильтрационных параметров, полученными на шаге j −1; e(S )=(S −S(T, Gα))

ним значением экспертной оценки накопленной жидкости и значением накопленной жидкости, полученным на основе модели S(T, Gα) ;

β1, β2, β3 – управляющие параметры.

Приведем описание алгоритма синтеза оптимальных оценок параметров упрощенной интегрированной системы моделей кривой восстановления забойного давления (КВД) (7.2.16), реализованного во втором разделе процедуры Sub Example_2_В5а( ), приведенной в приложении 4, при заданных значениях управляющих параметров βj , j =1,3 . В качест-

ве модели КВД использовалась функция вида(6.2.3):

Pз(t, t0, q(t, α2 ),α1, α3) = Pз(t0 ) +q0 (1−exp(−α2t)) α2 ln(α3t) , (7.2.18)

где Pз(t0 ) – забойное давление в момент остановки скважины t0, q(t, α2 ) = q0 exp(−α2t) – дебит жидкости в скважине после ее остановки, q0 – дебит скважины до ее остановки, α2, α3 – параметры, характеризующие фильтрационные свойства нефтяного пласта.

Алгоритм синтеза оптимальных оценок параметров модели КВД

Алгоритм синтеза оптимальных параметров модели КВД с использованием процедуры (7.2.17) представляет следующую последователь-