5ый семестр / 8. Системный анализ (complete)_1 / SA / не мое / ТС и СА_гр.447_2019 / Учебные пособия / СЕРГЕЕВ_МАКЕТ

Как видно из таблиц, традиционные планы для определения средней наработки до отказа приводят к продолжительным испытаниям, что часто связано с большими материальными затратами.

Наша задача – построить такой план сокращенных испытанийn0* ,

который в пределах той же точности и достоверности обеспечил бы выполнение неравенства n0* < n0 , существенно сокращая продолжитель-

ность испытаний.

Одним из перспективных путей сокращения сроков проведения испытаний, а следовательно, и сроков внедрения опытных образцов технических систем в серийное производство является использование интегрированной системы моделей с учетом дополнительной априорной информации о параметрах надежности, полученной из ранее проведенных испытаний систем-аналогов.

Алгоритмы планирования сокращенных испытаний. Для по-

строения плана сокращенных испытаний используем непараметрическую интегрированную систему моделей вида

гдеφj – некоторые неизвестные, однозначные функции, связывающие

значение средней наработки до отказа исследуемой системы с оценками αj , j =1,m, наработки до отказа, полученные из ранее прове-

денных испытаний этой же системы или систем-аналогов, ηj, j =1,m – случайные величины с нулевым средним значением и дисперсией ση2 .

В качестве оценки средней наработки до отказа с использованием методики синтеза оценок, изложенной в главе 4, будем использовать величину

β – управляющий параметр.

Для оценки *(β) (6.3.6), по аналогии с (6.3.3), имеет место доверительный интервал [12]

91

ное значение управляющего параметра в смысле минимума среднеквадратической ошибки аппроксимации M ( − * (β))2, C =(σξ2m) / (σ2ηn),

ε* =(α− ) / , ε= φ( ) − , αj = Mα j .

С учетом (6.3.7) план сокращенных испытаний определяем из выражения

где в качестве n0* выбираем то значение n, при котором выполняется это

равенство.

Под эффективностью предложенного плана сокращенных определительных испытаний n0* по сравнению с планом испытаний n0 (6.3.4)

будем понимать отношение

Величина e фактически показывает, на сколько может быть сокращена продолжительность испытаний, т. е. определяет потенциальную эффективность плана сокращенных испытаний (6.3.8).

В качестве примера приведем значения эффективности e в простейшем случае, когда ϕj ( ) = + ε, j =1, m , δ = 0,25, γ = 0,8, m = 20,

=1. Рассмотрим три случая при σξ2 = ση2 =1.

Впервом случае ε = 0 (наработка до отказа систем-аналогов и исследуемой системы совпадают). Здесь достаточно пяти отказов n0* = 5 .

Во втором случае ε = 1, наработка до отказа систем-аналогов отличается на 100 % от наработки до отказа исследуемой системы. В этом случае n0* = 13, а e = 25 / 13 ≈ 2. При дальнейшем увеличении ε эффек-

тивность плана сокращенных испытаний значительно сокращается. Третий случай ε = 2 характеризует ситуацию, когда параметр нара-

ботки до отказа исследуемой системы в два раза отличается от наработки до отказа систем-аналогов. Здесь n0* = n0 = 25, e = 1.

Для иллюстрации в табл. 6.3 приведены планы сокращенных определительных испытаний на безотказность при разных значениях точности и достоверности. В качестве дополнительной информации здесь ис-

92

пользуются данные об отказах систем-аналогов в количестве 20 значений, которые имеют одинаковую систематическую ошибку ε = 0,50 (50 %), σξ2 = ση2 =1.

Таблица 6.3

Планы сокращенных определительных испытаний на безотказность n0*

Таблица 6.4

Значения продолжительности сокращенных испытаний на безотказность в сутках согласно планам, приведенным в таблице 6.3

В табл. 6.4 приведена продолжительность сокращенных определительных испытаний в сутках, соответствующая приведенному в табл. 6.3 плану испытаний. Как видно из таблиц, рассмотренные планы сокращенных испытаний для определения средней наработки для отказа приводят к существенному сокращению сроков проведения испытаний и соответственно связанных с ними затрат.

93

Глава7 ПРОГРАММНОЕОБЕСПЕЧЕНИЕИНТЕГРИРОВАННЫХСИСТЕМ

ИДЕНТИФИКАЦИИ

Вданной главе рассматривается типовая структура и основные функции интегрированной системы идентификации, вопросы их статистического моделирования и оценки точности и качества.

Вкачестве примеров приводятся алгоритмы и тексты программ синтеза оптимальных оценок, технология статистического моделирования по исследованию точности и качества интегрированных систем идентификации на примере двух лабораторных работ идентификации добычи нефти и идентификации гидродинамических исследований скважин.

Рассматриваются вопросы проектирования пакетов прикладных программ (ППП) анализа данных, моделирования процессов и систем, использующих основные функции интегрированных систем идентификации. Приводятся примеры ППП.

7.1.Структураифункцииинтегрированнойсистемыидентификации

На рис. 1 приведена структура интегрированной системы идентификации, которая включает пять основных подсистем:

1.Исходные данные и дополнительные априорные сведения.

2.Интегрированная система моделей.

3.Синтез оптимальных оценок.

4.Оптимизация (адаптация) оценок.

5.Статистическоемоделирование, анализточностиикачествамодели. В качестве исходных данных для построения математической мо-

дели исследуемого объекта используются значения входных и выходных переменных y*, x* . Это могут быть результаты прямых либо кос-

венных измерений входных и выходных переменных, результаты их статистического моделирования. Дополнительными априорными сведениями являются:

1)результаты прямых либо косвенных наблюдений входных и выходных переменных, полученных на объектах-аналогах, результаты их экспертных оценок и т. д.;

2)полученные различными способами экспертные значения параметров функций (функционалов), используемые для построения модели объекта;

3)экспертные оценки значений функций (функционалов) от входных и выходных переменных исследуемого объекта.

94

Основными функциями данной подсистемы является ввод, контроль и корректировка исходных и дополнительных априорных данных.

Интегрированная система моделей

Адаптация интегрированной системы моделей

Синтез оптимальных оценок

Статистическое моделирование, анализ точности и каче- ства моделей F(X ,α* (w0 )) , f * (x,w0 ))

Рис. 7.1. Схема процесса функционирования интегрированной системы идентификации

95

Центральной подсистемой, изображенной на рис. 7.1 интегрированной системы идентификации, является рассмотренная в четвертом параграфе первой главы интегрированная система моделей, которая формируется на основе моделей исследуемого объекта и моделей объ- ектов-аналогов, формализованных моделей дополнительных априорных данных, полученных из различных источников. Здесь приведены параметрическая, заданная с точностью до вектора параметров α, модель объекта и непараметрическая модель f (x) . Основными функциями этой

подсистемы являются формирование интегрированной системы моделей и расчет прямой задачи – определение значений выхода объекта y = Fм(x,α) при заданном (выбранном из списка) операторе Fм(x,α) и

заданных значениях параметров и входов объекта.

Следует отметить, что при использовании в качестве модели объекта дифференциальных уравнений в частных производных с граничными и начальными условиями, решение прямой задачи численными методами представляет довольно трудоемкую специальную организованную процедуру.

Подсистема «синтез оптимальных оценок» предназначена для определения оптимального, в смысле заданного функционала качества, вектора параметров α*(w) в случае параметрической модели объекта

либо оптимальной функции f *(x,w) при его непараметрическом пред-

ставлении. Данные алгоритмы оптимизации изложены во второй, третьей и четвертых главах. Оптимальные оценки параметров либо функций определены с точностью до вектора управляющих параметров w, учитывающих значимость дополнительных априорных данных.

В зависимости от выбранных критериев качества и вида моделей объекта и моделей объекта-аналогов, задача синтеза оптимальных оценок сводится к решению соответствующей оптимизационной задачи, что является основной функцией данной подсистемы. Оптимизационная задача часто сводится к последовательному решению систем линейных уравнений.

Подсистема «оптимизация (адаптация) оценок» предназначена для определения оптимальных, в смысле заданных критериев качества, значений вектора управляющих параметров w0. Схема формирования данных функционалов изложена в пятой главе. В процессе адаптации по контрольной выборке проверяется качество модели. Процедура адаптации (обучение) продолжается до достижения минимальных либо заданных значений ошибок модели.

Подсистема «статистическое моделирование, анализ точности и качества модели» предназначена для решения двух задач:

96

1)определение качества адаптированной интегрированной системы моделей;

2)определение методом статистического моделирования потенциальной точности и качества интегрированных систем моделей в зависимости от объема и качества исходных и дополнительных априорных данных.

Необходимость решения первой задачи часто связана с проверкой

где δj , j =1,m – заданная точность, U – неиспользуемые при построении

модели переменные, функционально связанные с полученным решением зависимостью вида

где f – известная функция, U* – измеренные значения величины U. Переменные U часто характеризуют конечные основные цели ис-

следуемой системы и по ряду причин не могут быть использованы при моделировании. Например, переменная U может представлять потенциальный объем добытой нефти из скважины, где в результате гидродинамических исследований определены фильтрационные параметры нефтяного пласта α*(w0 ). Простейшим примером критерия качества

(7.1.1) является относительная ошибка

При невыполнении условий (7.1.3) уточняется постановка задачи либо производится переход к другой модели объекта.

Другим примером критериев качества модели является суммарная относительная ошибка оценки параметров α*(w0 ) модели

Поскольку величины α j , j =1,m нам неизвестны, расчет относи-

тельной ошибки (7.1.3) приводит к необходимости решения второй задачи и использования метода статистического моделирования.

Следует отметить важность подсистемы «статистическое моделирование, анализ точности и качества модели», которая включает в рассмотрение практически все элементы интегрированный системы идентификации: получение (имитация) исходных и дополнительных апри-

97

орных данных, формирование интегрированной системы моделей, оптимизация и адаптация моделей.

Другим важным элементом подсистемы является то, что она дает возможность получить объективную оценку качества модели, сравнивая заранее известные (точные) решения рассматриваемых задач с их оценками в условиях, приближенных к реальным ситуациям при конечных объемах исходных и дополнительных данных.

Следует отметить, что подсистема «статистического моделирования, анализа точности и качества модели» является обязательным элементом современных прикладных программных комплексов идентификации, анализа и прогнозирования процессов и систем.

7.2. Типовыепримерыкомпьютернойтехнологии статистическогомоделирования, анализаточностиикачества интегрированныхсистемидентификации

Рассмотрим технологию статистического моделирования, анализа точности и качества интегрированных систем идентификации на примере двух лабораторных работ:

1)лабораторная работа № 1 «Статистическое моделирование интегрированной системы идентификации прогноза добычи нефти и оценки извлекаемых запасов»;

2)лабораторная работа № 2 «Статистическое моделирование интегрированной системы идентификации гидродинамических исследований скважин».

Приведем пример одного из вариантов лабораторной работы № 1, целью которой является проведение исследований методом статистического моделирования потенциальной точности и качества оценок прогноза годовой добычи нефти и извлекаемых запасов на основе использования интегрированной системы моделей (6.1.2):

где:

1) qM* (ti ), i =1,n – имитируемые методом статистического моделирования фактические значения накопленной добычи нефти за соответствующие промежутки времени t =ti −ti−1, i =1,n (год, месяц);

2) q(ti ,α), i =1,n – значения накопленной добычи нефти за соответ-

ствующий промежуток времени, полученные на основе заданной моде-

ли f (t, α) ;

98

3) sjM , j =1,m – имитируемые значения экспертных оценок извлекаемых запасов нефти за время разработки месторождения T;

4)α =(α1, α2, ..., αm ) – вектор неизвестных параметров;

5)ξi , i =1,n – случайные величины, полученные с использованием

датчика псевдослучайных чисел и представляющие различные ошибки измерений дебита нефти, ошибки модели и т. д.;

6) ηj , j =1,m1 – случайные величины, полученные с использовани-

ем датчика псевдослучайных чисел и представляющие ошибки расчетов извлекаемых запасов.

7) c1, c2 – некоторые константы, представляющие относительный

где δ1 представляет относительную ошибку имитируемого значения фактической накопленной добычи нефти за промежуток времени t =ti −ti−1 , δ2 – относительная ошибка имитируемого значения извле-

каемых запасов нефти.

Технология статистического моделирования по определению точности прогноза добычи нефти и оценки извлекаемых запасов сводится к выполнению следующей последовательности действий:

1.Формирование интегрированной системы моделей добычи нефти.

Для выбранной структуры модели добычи нефти, заданных значениях параметров, уровней ошибок на основе интегрированной модели (7.2.1) формируются значения годовой добычи нефти и экспертные оценки извлекаемых запасов.

2.Адаптация интегрированной системы моделей. Для выбранного критерия качества проводится адаптация интегрированной системы моделей, которая заключается в определении значений вектора параметров

α=(α1, α2, ..., αm ) и значений управляющих параметров.

3.Расчет относительных ошибок оценок. Проводится расчет от-

носительных ошибок прогноза добычи и оценки извлекаемых запасов с использованием формул вида (7.2.3)–(7.2.5).

4.Вывод результатов в виде таблиц и графиков. Пример про-

граммной реализации технологии статистического моделирования и адаптации интегрированной системы моделей (7.2.1) на языке Visual Basic для Microsoft Office 2000 приведен в приложении 4 (процедура Sub Example_1_B1( )). В качестве модели годовой добычи нефти использовалась зависимость

99

изображенная на рис. 6.1. Фактические значения годовой добычи нефти и экспертные оценки извлекаемых запасов имитировались с помощью датчика псевдослучайных чисел, распределенных по нормальному закону с нулевым средним значением и единичной дисперсией N(0,1) .

В процедуре Sub Example_1_В1( ) использовалась упрощенная интегрированная система моделей вида

влекаемых запасов нефти; sj = s(α,T ) +c2ηj , j =1,m1 . Данная модель в

отличие от рассмотренных выше интегрированных моделей добычи нефти (6.1.2), (7.2.1) позволяет понизить размерность вектора управляющих параметров до одного значения, что значительно упрощает процедуру адаптации интегрированной системы моделей.

В основе алгоритма синтеза оптимальных оценок использовался метод Гаусса–Ньютона (6.1.7), где уточнение вектора параметров α =(α1, α2, ..., αm ) при заданном значении управляющего параметра β

проводилось по схеме:

зок между имитируемыми фактическими и модельными значениями добычи нефти;

100