Интегрирование тригонометрических выражений

1. Интегралы вида .

Эти интегралы с помощью известных тригонометрических формул:

приводятся к интегралам

Пример. Найти

Так как , то

2. Интегралы вида , где n и m - натуральные числа.

Если п и т четные, то интегралы находятся с помощью тригонометрических

формул

Если хотя бы одно из чисел пит нечетное, то от нечетной сте­пени отделяется множитель первой степени и вводится новая пе­ременная.

Пример. Найдите . Имеем

3. Интегралы вида , где R(u, v) - рациональная функция двух аргументов u и v.

Покажем, что интеграл мо­жет быть сведен к интегралу от рациональной функции аргумента Действительно,

Из подстановки следует, что Таким образом

где - рациональная функция.

Пример.

4. Интеграл вида .

Может быть сведен к интегралу от рациональной функции аргумента

(или ). Заметим, что

или .

Оставшаяся вне дифференциала дробь выражается через с помощью формул

или .

Пример.

5. Интегралы вида или .

Отделяется множитель (или ) и представляется как (или ). Получается разность двух интегралов, один из которых берется заменой (или ), а во втором, при необходимости, снова отделяют (или ).

Пример.

6. Особые приемы.

К числу особых приемов, применяющихся при интегрировании тригонометрических выражений, может быть отнесено представление «тригонометрической единицы».

Пример.

7. Задания для самостоятельного выполнения.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

12)

13)