2ой семестр / Математика / Теория / Ельцов А.А. - Линейная алгебра. Интегралы

6.Контрольные вопросы

2.Изменить порядок интегрирования

3. Вычислить площадь области, заданной неравенствами

x2 (y r)2 r2, x 0, 2x r y,

перейдя предварительно к полярным координатам.

4. Вычислить объём тела, ограниченного поверхностями

z 0, z 3x, y2 2 x.

5. Вычислить интеграл (в цилиндрических или сферических

координатах) x2 y2 z2 dxdy dz , где V — область, задан-

0 t .

7.Проверить, что поле f 4xyi (2x2 y)j потенциально, и восстановить потенциал.

8.Вычислить поток вектора f xi 2yj zk через часть поверхности x 7y 3z 11, лежащую в первом октанте.

9.Вычислить поток вектора f x2i 3yj zk через замкнутую поверхность x2 y2 2 z, z 0.

Вариант 6.7

1. Вычислить (2x 3y) dx dy , если D — внутренность тре-

D

угольника с вершинами вточках A(2,4), B(1,3), C( 1,2). 2. Изменить порядок интегрирования

3. Вычислить площадь области, заданной неравенствами

(x r)2 y2 r2, y 0, 2x 2r y,

перейдя предварительно к полярным координатам.

211

АА. . Ельцов. Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения

4. Вычислить объём тела, ограниченного поверхностями z 0, 2x y 0, 4z y2, x y 9.

5. Вычислить интеграл (вцилиндрических или сферических

координатах) z2dxdy dz , где V — область, заданная неравен-

V

ствами x2 y2 z2 9, z2 x2 y2, x 0, y 0, z 0.

6. Найти работу силы f(x,y) x2yi (x y)j по перемещению точки вдоль участка кривой x2 y2 4 от точки A(0,2) до точки B(2,0).

7.Проверить, что поле f eyi (x 1)eyj потенциально, и восстановить потенциал.

8.Вычислить поток вектора f 5xi yj zk через часть поверхности 2x 7y 3z 12 , лежащую в первом октанте.

9.Вычислить поток вектора f x2i 2yj zk через замкнутую поверхность z 3 x2 y2, z 0.

Вариант 6.8

1. Вычислить (5x 7y)dxdy , если D — внутренность тре-

D

угольника с вершинами в точках A(4,3), B(3,2), C(0,0). 2. Изменить порядок интегрирования

3. Вычислить площадь области, заданной неравенствами x2 (y r)2 r2, x 0, 2x r y,

перейдя предварительно к полярным координатам.

4. Вычислить объём тела, ограниченного поверхностями

y 0, z 0, x y 2, z x2.

5. Вычислить интеграл (вцилиндрических или сферических

координатах) 5(x2 y2) dxdy dz , где V — область, заданная

3

V

неравенствами 9(x2 y2) z2, x2 y2 4, x 0, y 0, z 0.

212

6.Контрольные вопросы

6.Найти работу силы f(x,y) xy2i (x2 y)j по перемеще-

0t 3 2.

7.Проверить, что поле f (3xy2 x2)i 3x2yj потенциально,

ивосстановить потенциал.

8.Вычислить поток вектора f 4xi 2yj zk через часть поверхности 2x y z 2 , лежащую в первом октанте.

9.Вычислить поток вектора f xi 2yj zk через замкну-

Вариант 6.9

1. Вычислить (3x 4y) dx dy , если D — внутренность треу-

D

гольника с вершинами в точках A(2,4), B(3,2), C(1,1). 2. Изменить порядок интегрирования

1 0 2 0

dx f(x,y) dy dx f(x,y)dy .

0 x 1 x2 2x

3. Вычислить площадь области, заданной неравенствами

(x r)2 y2 r2, y 0, 2x 2r y,

перейдя предварительно к полярным координатам.

4. Вычислить объём тела, ограниченного поверхностями

x 0, y 0, z 0, z y2 1, x y 1.

5. Вычислить интеграл (вцилиндрических или сферических координатах) x2dx dydz , где V — область, заданная нера-

V

венствами x2 y2 z2 16, x2 y2 4z.

6. Найти работу силы f(x,y,z) (2xy y)i (x y)j zk по перемещению точки вдоль участка кривой x 2cost, y 2sin t , z t, 0 t .

7. Проверить, что поле f (3x y2)i 2xyj потенциально, и восстановить потенциал.

213

АА. . Ельцов. Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения

8.Вычислить поток вектора f 4xi yj z2k через часть поверхности 2x y 3z 6 , лежащую в первом октанте.

9.Вычислить поток вектора f 5xi 2yj zk через замкнутую поверхность x2 y2 z2 9, z 0, (z 0).

Вариант 6.10

1. Вычислить (4x 3y) dx dy , если D — внутренность тре-

D

угольника с вершинами в точках A(1,1), B(3,2), C(4,5). 2. Изменить порядок интегрирования

3. Вычислить площадь области, заданной неравенствами x2 (y r)2 r2, x 0, 2x r y,

перейдя предварительно к полярным координатам.

4. Вычислить объём тела, ограниченного поверхностями y 0, z 0, 2x 3y 6, z x2.

5. Вычислить интеграл (в цилиндрических или сферичес-

ких координатах) 5x dx dy dz , где V — область, заданная не-

V

равенствами x2 y2 4, x2 y2 8z, z 0.

6.Найти работу силы f(x,y) (x y)i (x y2)j по перемещению точки вдоль участка кривой x3 y от точки A(1,1) до точки B(2,8).

7.Проверить, что поле f (3x2y 1)i x3j потенциально, и восстановить потенциал.

8.Вычислить поток вектора f xi 3xyj zk через часть поверхности 3x 5y 2z 10 , лежащую в первом октанте.

9.Вычислить поток вектора f xi 2y2j zk через замкнутую поверхность z 3 x2 y2, z 0.

214

6. Контрольные вопросы

Контрольная работа № 7

(Составлена Ельцовой Г.А.)

Вариант 7.1

1. Найти общее решение дифференциального уравнения:

а) (x y) dx xdy 0;

б) (e2x 5)dy ye2xdx 0;

в) 2xy 3y (5x2 3)y3.

2. Решить задачу Коши

y3y 1, y(2) 1, y (2) 0.

3. Для уравнения y 2y y f(x) :

а) найтиобщеерешениесоответствующего однородногоурав-

нения yоо;

б) найти частное решение неоднородного уравнения, если f(x) 4cosx; записать общее решение этого уравнения;

в) найти частное решение, удовлетворяющее начальным ус-

ловиям y(0) 0, y (0) 0, y (0) 0;

г) записать частное решение с неопределёнными коэффициентами, если f(x) ex (sin x 3x) x2.

4. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений

dx x y tet,

dt

dy 4x y 2et.dt

Вариант 7.2

1. Найти общее решение дифференциального уравнения:

а) x2 xy y2 dx x2dy 0;

215

АА. . Ельцов. Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения

в) x3dy 3x2ydx x 2 dx.

x1

2.Решить задачу Коши

y4 y3y 1, y(0) 1, y (0) 2.

3. Для уравнения y(5) y f(x) :

а) найтиобщеерешениесоответствующего однородногоурав-

нения yоо;

б) найти частное решение неоднородного уравнения, если f(x) 24sin2x; записать общее решение этого уравнения;

в) найти частное решение, удовлетворяющее начальным ус-

ловиям y(0) 0, y (0) 0, y (0) 0, y (0) 0, y(4) (0) 0;

г) записать частное решение с неопределёнными коэффициентами, если f(x) ex (sin x 3x) x2.

4. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений

Вариант 7.3

1. Найти общее решение дифференциального уравнения:

а) 4 x2 y xy2 x 0;

б) 2x3dy 6yx 7 dx 0;

в) y2 x2y xyy .

2. Решить задачу Коши

yy (y )2 (y )3, y(1) 1, y (1) 2.

3. Для уравнения y 4y 3y f(x) :

а) найти общеерешениесоответствующего однородногоурав-

нения yоо;

б) найти частное решение неоднородного уравнения, если f(x) e2x (12x 6); записать общее решение этого уравнения;

216

6. Контрольные вопросы

в) найти частное решение, удовлетворяющее начальным ус-

ловиям y(0) 1, y (0) 1, y (0) 19;

г) записать частное решение с неопределёнными коэффициентами, если f(x) ex cosx x2e3x 4.

4. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений

Вариант 7.4

а) найтиобщеерешениесоответствующего однородногоурав-

нения yоо;

б) найти частное решение неоднородного уравнения, если f(x) 4; записать общее решение этого уравнения;

в) найти частное решение, удовлетворяющее начальным ус-

ловиям y(0) 3, y (0) 3, y (0) 3, y (0) 3;

г) записать частное решение с неопределёнными коэффициентами, если f(x) 2x(e x ex) xe x cosx.

4. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений

dx x 5y 2et,

dt

dy 3x y 3t.

dt

217

АА. . Ельцов. Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения

Вариант 7.5

1. Найти общее решение дифференциального уравнения:

а) x(1 ln x)y y 0;

б) ex2 (dy 2xy dx) xdx;

в) x3y y(x2 y3).

2. Решить задачу Коши

y ey, y(0) 0, y (0) 2.

3. Для уравнения y 2y 4y 8y f(x) :

а) найти общеерешениесоответствующего однородногоурав-

нения yоо;

б) найти частное решение неоднородного уравнения, если f(x) xex; записать общее решение этого уравнения;

в) найти частное решение, удовлетворяющее начальным ус-

ловиям y(0) 5, y (0) 0, y (0) 3;

г) записать частное решение с неопределёнными коэффици-

ентами, если f(x) e2x (sin2x 3x) 4cos2x.

4. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений

Вариант 7.6

218

6.Контрольные вопросы

3.Для уравнения y(4) 2y y f(x) :

а) найтиобщеерешениесоответствующего однородногоурав-

нения yоо;

б) найти частное решение неоднородного уравнения, если f(x) x3 2x2 3; записать общее решение этого уравнения; в) найти частное решение, удовлетворяющее начальным ус-

ловиям y(0) 4, y (0) 4, y (0) 4, y (0) 4;

г) записать частное решение с неопределёнными коэффициентами, если f(x) x2ex x(e x cosx).

4. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений

dx x 2y 2e2t,

dt

dy 2x y 4e 2t.

dt

Вариант 7.7

1. Найти общее решение дифференциального уравнения:

а) (xy 1) dx x2dy 0;

б) y xy 2(x yy );

в) x dy y dx y2(xdy ydx) 0.

2. Решить задачу Коши

x2y (y )2, y(1) 1, y (1) 1, y (1) 1.

3. Для уравнения y(4) 8y 20y f(x) :

а) найтиобщеерешениесоответствующего однородногоурав-

нения yоо;

б) найти частное решение неоднородного уравнения, если f(x) 64cos2x; записать общее решение этого уравнения;

в) найти частное решение, удовлетворяющее начальным ус-

ловиям y(0) 1, y (0) 1, y (0) 1, y (0) 1;

г) записать частное решение с неопределёнными коэффициентами, если f(x) e4x (cos2x x2) 5.

219

АА. . Ельцов. Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения

4. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений

Вариант 7.8

1. Найти общее решение дифференциального уравнения:

а) (xy x3)dx dy 0;

б) y y 1; x

3. Для уравнения y(4) y f(x) :

а) найти общеерешениесоответствующего однородногоурав-

нения yоо;

б) найти частное решение неоднородного уравнения, если f(x) 18x2 37; записать общее решение этого уравнения;

в) найти частное решение, удовлетворяющее начальным ус-

ловиям y(0) 0, y (0) 0, y (0) 0, y (0) 0;

г) записать частное решение с неопределёнными коэффици-

ентами, если f(x) x sin x 3x2 .

4. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений

220