Лекция 9
•ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
•к.ф.-м.н. Воронин Борис Александрович
ТВиМС. Воронин Б.А. лекция 9 |
1 |
•Действительно, день и месяц рождения можно рассматривать как независимые, дискретные, случайные величины. На первом этапе необходимо записать все дни рождения студентов. В большой группе лучше сразу использовать электронные таблицы типа EXCEL, в относительно небольшой группе студентов (не больше 20)
таблицу не сложно записать и на доске. Одна случайная величина дает нам месяц рождения студента,
допустим X, вторая день, например Y.
•На первом этапе выписываются месяцы рождения, которых будет не больше 12, для каждого месяца записывается число родившихся в нем студентов и делается еще и нормировка на число студентов.
Например, если всего студентов 20, в январе родился 1, то Pi=1 =1/20 для января, если в декабре родилось 2 из 20 студентов, то Pi=12 =2/20. После нормировки сумма всех Pi=1, как и должно быть. Записывается ряд распределения, по горизонтальной или вертикальной оси, это зависит от удобства и параметров доски. Выписать случайную величину Y – день рождения, немногим сложнее, ряд, получается, от 1 до 31. Месяц и/или день в которые случайные величины принимали значение равное 0 лучше опускать для экономии
места. После аналогичной сортировки и нормировки мы получаем одномерную дискретную случайную величину Y и имеем ее закон распределения и Pj=1. Записав вторую случайную величину можно построить
уже таблицу распределения двумерной случайной величины (X,Y) путем перемножение Pij =Pj ∙Pi для пересечения соответствующих - столбца и строки - ячейки (i, j). Условие нормировки тоже будет выполняться и, если все правильно сделано Pij =1.
•Уже получив одномерные дискретные таблицы распределения можно подсчитать математическое ожидание как M(X), так и M(Y). Большая же таблица дает возможность посмотреть какое будет условное распределение Y (т.е.дня рождения группы), если месяц рождения X принял какое-то конкретное значение, например ноябрь. Можно сделать выводы о зависимости или не зависимости случайных величин в результате нескольких примеров.
•Есть еще один важный момент. В связи с тем, что календарные месяцы у нас изменяются от 1 до 12, и
распределение обычно равномерное по месяцам, то случайное число X , будет, скорее всего, приходится на летние месяцы, что не удобно. В таком случае, логично считать год не календарным, а учебным. Тогда день рождения группы вероятнее всего придется на конец зимы – начало весны. Возможны и другие способы сдвижки года, например с марта, так как декабрь – это ведь 10-ый месяц по названию.
ТВиМС. Воронин Б.А. лекция 9 |
2 |
|
|
месяцы |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
|
|
студенты |
1 |
2 |
3 |
1 |
3 |
1 |
1 |
1 |
1 |
4 |
18 |
|
|
/18 |
0,06 |
0,11 |
0,17 |
0,06 |
0,17 |
0,06 |
0,06 |
0,06 |
0,06 |
0,22 |
1 |
дни |
студ |
/18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
0,06 |
0,0031 |
0,0062 |
0,0093 |
0,0031 |
0,0093 |
0,0031 |
0,0031 |
0,0031 |
0,0031 |
0,012346 |
|
2 |
1 |
0,06 |
0,0031 |
0,0062 |
0,0093 |
0,0031 |
0,0093 |
0,0031 |
0,0031 |
0,0031 |
0,0031 |
0,012346 |
|
3 |
1 |
0,06 |
0,0031 |
0,0062 |
0,0093 |
0,0031 |
0,0093 |
0,0031 |
0,0031 |
0,0031 |
0,0031 |
0,012346 |
|
4 |
1 |
0,06 |
0,0031 |
0,0062 |
0,0093 |
0,0031 |
0,0093 |
0,0031 |
0,0031 |
0,0031 |
0,0031 |
0,012346 |
|
6 |
2 |
0,11 |
0,0062 |
0,0123 |
0,0185 |
0,0062 |
0,0185 |
0,0062 |
0,0062 |
0,0062 |
0,0062 |
0,024691 |
|
7 |
1 |
0,06 |
0,0031 |
0,0062 |
0,0093 |
0,0031 |
0,0093 |
0,0031 |
0,0031 |
0,0031 |
0,0031 |
0,012346 |
|
8 |
2 |
0,11 |
0,0062 |
0,0123 |
0,0185 |
0,0062 |
0,0185 |
0,0062 |
0,0062 |
0,0062 |
0,0062 |
0,024691 |
|
12 |
2 |
0,11 |
0,0062 |
0,0123 |
0,0185 |
0,0062 |
0,0185 |
0,0062 |
0,0062 |
0,0062 |
0,0062 |
0,024691 |
|
18 |
1 |
0,06 |
0,0031 |
0,0062 |
0,0093 |
0,0031 |
0,0093 |
0,0031 |
0,0031 |
0,0031 |
0,0031 |
0,012346 |
|
19 |
1 |
0,06 |
0,0031 |
0,0062 |
0,0093 |
0,0031 |
0,0093 |
0,0031 |
0,0031 |
0,0031 |
0,0031 |
0,012346 |
|
25 |
1 |
0,06 |
0,0031 |
0,0062 |
0,0093 |
0,0031 |
0,0093 |
0,0031 |
0,0031 |
0,0031 |
0,0031 |
0,012346 |
|
29 |
4 |
0,22 |
0,0123 |
0,0247 |
0,037 |
0,0123 |
0,037 |
0,0123 |
0,0123 |
0,0123 |
0,0123 |
0,049383 |
|
|
18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ТВиМС. Воронин Б.А. лекция 9 |
3 |
Функция распределения системы непрерывных случайных величин
ТВиМС. Воронин Б.А. лекция 9 |
4 |
Вероятность невозможных событий
Вероятность достоверного события
ТВиМС. Воронин Б.А. лекция 9 |
5 |
5.
6.
ТВиМС. Воронин Б.А. лекция 9 |
6 |
Свойство 6.
y
x
ТВиМС. Воронин Б.А. лекция 9 |
7 |
ТВиМС. Воронин Б.А. лекция 9 |
8 |
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,7-0,8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,6-0,7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,5-0,6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,4-0,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,3-0,4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ряд10 |
|
0,2-0,3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
0,1-0,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Ряд7 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
0-0,1 |
Квадрат 1,2;1,2 |
Квадрат 0,2;0,2 |
|||||
Ряд4 |
|
|
|||||||||
|
|
|
9 |
||||||||
ТВиМС. Воронин Б.А. лекция 9 |
|||||||||||
Ряд1
ТВиМС. Воронин Б.А. лекция 9 |
10 |