30
Так как
|
d |
2 |
r |
|
a |
|
|||
dt |
2 |
|||
|
||||
|
|
, II закон Ньютона можно записать в виде
|
2 |
r |
|
|
m |
d |
F |
||
dt |
2 |
|||
|
|
|||
|
|
|
— дифференциальное уравнение движения материальной точки (F |
— глав- |
ный вектор сил, с которыми другие объекты действуют на данную точку). В проекции на оси декартовой системы координат это уравнение представляется в виде трёх дифференциальных уравнений
|
|
d |
2 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
2 |
F |
|
, |
|
dt |
x |
|
||||
|
|
|
|
|
|
||
|
d |
2 |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
dt |
2 |
F |
y |
, |
||
|
|
|
|
|
|
||
|
d |
2 |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
2 |
F . |
||
|
dt |
z |
|
||||
|
|
|
|
|
|
1.4.4. Центр масс механической системы
Внешние силы — силы, описывающие действие объектов, не входящих в данную механическую систему, на тела, входящие в неё. Будем обозначать такие силы
F |
e |
|
14.
Внутренние силы — силы, описывающие взаимодействие тел, входящих в данную
механическую систему (обозначение F |
i |
). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Для любой механической системы из III закона Ньютона следует, что сумма внут- |
||||||||||||||||
ренних сил равна нулю: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
i |
0 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Рассмотрим механическую систему из N материальных точек. |
|
|
|
|
|
|||||||||||
m1 |
|
|
|
Центр масс механической системы— |
||||||||||||
|
|
|
точка, |
для которой |
|
|
|
|
|
|||||||
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
m ρ 0 |
или |
|
m |
r r |
0 |
, |
||
|
|
|
|
|
|
|
i i |
|
|
i |
i |
C |
|
|||
mi |
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
m2 |
|
|
|
где mi—масса i-ой материальной |
||||||||||||
mN |
|
|
|
точки, ρi — радиус-вектор, соединяю- |
||||||||||||
|
|
|
|
|
щий центр масс с i-ой материальной |
|||||||||||
|
|
|
|
|
точкой, ri |
— радиус-вектор i-ой мате- |
||||||||||
O |
|
|
|
риальной точки, rC |
— радиус-вектор |
|||||||||||
Рис. 3.4 |
|
|
|
центра масс. (На РИС. 3.4 |
точка C — |
|||||||||||
|
|
|
центр масс, O — начало отсчёта.) |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Как найти положение центра масс системы? Из определения центра масс следует
14 В «живой» лекции лучше использовать обозначения русскими буквами: Fвнеш и т. п.
31
N
где M mi i 1
ПРИМЕР
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
m r |
|
|
N |
N |
i i |
, |
||||
|
|
||||||
mi ri mi rC rC |
i 1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||
i 1 |
i 1 |
|
M |
|
|||
|
|
|
— масса механической системы. В декартовой системе координат
|
N |
i |
i |
N |
i |
i |
N |
i |
i |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
m x |
|
|
m y |
|
|
m z |
|
|
xC |
i 1 |
|
, yC |
i 1 |
|
, zC |
i 1 |
|
. |
(3.1) |
M |
|
M |
M |
|||||||
|
|
|
|
|
|
Нахождение центра масс системы двух материальных точек
Две материальные точки массами m1 и m2 находятся на расстоянии l друг от друга (РИС. 3.5). Где находится центр масс системы?
m1 |
C |
m2 |
|
Центр масс C системы, очевидно, должен |
|
находиться на прямой между материаль- |
|||
O |
|
|
||
|
|
|||
|
xС |
l |
x |
ными точками. Радиусы-векторы, соединяю- |
|
щие центр масс и материальные точки, пока- |
|||
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 3.5 |
|
заны на РИС. 3.5. Введём ось x, как показано на |
|
|
|
рисунке, и совместим начало отсчёта с мате- |
|
|
|
|
|
риальной точкой массы m1; тогда координата точки массой m2 равна l. Из формулы (3.1) получим
x |
|
|
m x |
m x |
|
|
|
1 |
1 |
2 |
2 |
||
|
|
|
||||
|
C |
|
m |
m |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
m l |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
m m |
|
|
1 |
2 |
.
Если тело (механическая система) центральносимметрично, то его центр масс совпадает с центром симметрии. Если же тело осесимметрично, то центр масс лежит на оси симметрии.
Теорема о движении центра масс: центр масс механической системы движется как материальная точка с массой, равной массе системы, к которой приложена сила, равная равнодействующей внешних сил, приложенных к системе,
Ma |
F |
e |
. |
|
|||
C |
|
|
Доказательство
Рассмотрим механическую систему, состоящую из N материальных точек. Дифференциальное уравнение движения i-ой точки
m |
d2r |
F |
e |
|
N |
i |
|
|
i |
|
|
F ki |
|||
|
|
|
|
|
|
||
i |
dt |
2 |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1, k i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
,
(3.2)
где Fi e — равнодействующая внешних сил, приложенных к i-ой точке; ренняя сила, с которой k-я точка действует на i-ую точку. Просуммируем равенства (3.2) по всем N точкам системы:
i F ki
— внут-
N |
2 |
|
N |
|
N N |
F ki . |
(3.3) |
mi |
d |
r2i Fi |
e |
|
|||
|
|
|
|
|
i |
|
|
i 1 |
dt |
i 1 |
|
i 1 k 1, k i |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
32
Второе слагаемое в правой части этого равенства равно нулю, так как оно равно сумме всех внутренних сил, описывающих взаимодействие тел, входящих в рас-
сматриваемую систему. Первое слагаемое есть главный вектор внешних сил
F |
e |
|
.
Преобразуем левую часть равенства (3.3), учитывая, что
r r |
ρ |
|
i |
C |
i |
(РИС. 3.4):
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
d2r |
|
|
N |
|
|
|
d2 ρ |
|
|
e |
, |
|||||||
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
C |
|
|
m |
|
|
|
i |
|
F |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
dt |
2 |
|
|
|
|
|
i |
|
dt |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
2 |
r |
|
N |
|
|
|
|
d2 |
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
m |
|
|
|
|
|
|
m ρ F |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
2 |
|
|
|
i |
|
|
dt |
2 |
|
|
i |
|
|
i |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
i |
1 |
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Но |
d |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— масса системы, а |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
C |
— ускорение центра масс, m M |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
2 |
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
как точка C — центр масс системы. Поэтому MaC Fe , ч. т. д.
N |
i i |
|
|
|
m ρ |
i 1 |
|
0
, так
1.4.5. Некоторые силы15
1. Гравитационная сила
Сила, описывающая гравитационное воздействие материальной точки16 массой m1 на материальную точку массы m2, находящуюся на расстоянии r от точки массой m1
(РИС. 3.6):
F12 |
G m1m2 r12 |
(3.4) |
|
r3 |
|
|
|
Н м |
|
|
|
|
2 |
— закон всемирного тяготения; G 6,67 10 |
11 |
|
|
|
кг |
2 |
|
|
|
||
|
|
|
янная. Знак «–» означает, что тела притягиваются.
— гравитационная посто-
|
|
O |
R |
|
|
|
|
|
M |
|
m |
m1 |
|
|
|
m2 |
|
|
|
Рис. 3.6 |
|
Рис. 3.7 |
ЧАСТНЫЙ СЛУЧАЙ
Сила тяжести — гравитационная сила вблизи поверхности Земли
F |
mg |
. |
т |
|
Действительно, пусть материальная точка массы m находится вблизи поверхности Земли, т. е. на расстоянии от центра Земли, равном радиусу R Земли (РИС. 3.7). По закону всемирного тяготения (3.4)
Fg Fт G mMR3 r ,
15В данном разделе рассматриваются силы, фигурирующие в задачах I семестра.
16В этом определении можно заменить слова «материальная точка» на «тело» с поправкой, что r —
это расстояние между центрами масс тел.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
33 |
|
||
здесь M — масса Земли. Модуль этой силы |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
G |
M |
m mg |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
R |
2 |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
g G |
M |
9,81 |
м |
17 |
— ускорение свободного падения (вернее, модуль этого |
|||||||
|
2 |
|
2 |
||||||||||
|
|
R |
|
с |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ускорения). По II закону Ньютона |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ma mg, |
|
вектор g направлен к центру Земли. Центры масс всех тел, падающих свободно (т. е. без каких-либо внешних воздействий, кроме гравитационного) вблизи поверхности Земли, движутся с ускорением g .
2. Сила упругости
Упругая деформация — деформация тела, которая полностью исчезает после прекращения взаимодействия, являющегося её причиной. Воздействие деформированного тела на тело, вызвавшее деформацию, описывается силой упругости.
Линейная деформация подчиняется закону Гука:
|
|
|
Fупр k |
l |
, |
|
|
|
|
|
|
где |
l |
— вектор деформации (РИС. 3.8А), k — коэффициент упругости (жёст- |
кость) деформируемого тела. Знак «–» означает, что деформированное тело сопротивляется деформации —– пытается восстановить форму.
На РИС. 3.8 представлены разные типы деформируемых тел: А) пружина, Б) нить
(сила натяжения
T
) и В) опорная поверхность (сила реакции опоры
N
).
k |
m |
|
|
|
|
m |
|
0 |
|
m |
|
|
|
||
а |
б |
|
в |
Рис. 3.8
(На РИС. 3.8 m — масса груза, 0 — положение недеформированной пружины.)
Сила реакции опоры всегда направлена перпендикулярно опорной поверхности от неё, а сила натяжения — вдоль натянутой нити от натягивающего её тела.
Вес тела – сила, описывающая действие тела на опору или подвес; по модулю равен
силе упругости (по III закону Ньютона
P T
или
P
N
).
Природа упругости — в межмолекулярном, т. е. электромагнитном взаимодействии (см. РАЗДЕЛ 0.3), однако, при изучении механики это для нас не имеет значения.
17 При необходимости проведения вычислений с достаточно высокой точностью следует учиты-
вать, что ускорение свободного падения зависит от географической широты. На широте Москвы g = 9,8156 м/с2.
34
Демонстрация: Динамометры
3. Сила сухого трения
Сила трения — составляющая силы взаимодействия соприкасающихся тел, параллельная поверхности их контакта (РИС. 3.9А). Наличие этой составляющей обуслов-
лено неупругими деформациями тел.
Мы рассматриваем сухое трение, т. е. обе соприкасающиеся поверхности являются твёрдыми (в смысле агрегатного состояния; вязкое трение рассматривается в РАЗ-
ДЕЛЕ 2.9.2).
Закон сухого трения (закон Кулона):
F |
μN |
тр max |
|
,
— максимальное значение модуля силы трения — сила трения скольжения, N — модуль силы реакции опоры, µ — коэффициент трения — безразмерная величина, зависящая от материала и состояния соприкасающихся поверхностей. Направлена же сила трения скольжения всегда против скорости тела относительно опорной поверхности.
|
|
|
|
|
Fтр |
|
|
|
|
|
|
|
|
µN |
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
µN |
|
F |
|
|
|
0 |
|
||||
|
|
|
а |
б |
|
|
||
|
|
|
|
|
Рис. 3.9 |
|
|
|
График зависимости модуля силы трения от модуля силы |
F |
представлен на |
РИС. 3.9Б. До тех пор пока F < µN, тело покоится относительно опорной поверхности, а F = Fтр (наклонный участок на графике). При F ≥ µN тело начинает скользить и
Fтр = Fтр max = µN.
Демонстрация: Сила трения Трение также имеет электромагнитную природу.
1.4.6. Кинематические связи
Кинематическая связь — ограничение, накладываемое на движение тела.
1. Координатная связь
Координатная связь — ограничение, накладываемое на координаты точек и их производные при движении тела.
ПРИМЕР
Тело скользит по горизонтальному рельсу.
Перемещение, скорость и ускорение тела должны быть направлены вдоль рельса (РИС. 3.10):
r xi ; |
y,z 0 ; |
|
|
|
x |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
v vx i ; |
v y ,vz 0 ; |
|
|
Рис. 3.10 |
|
|
|
|
|
35
a a |
i |
x |
|
;
a |
y |
,a |
|
z |
0
.
2. Нить
При решении многих задач нити полагаются невесомыми и нерастяжимыми.
а) Невесомая нить
Во всех точках натянутой нити модуль силы натяжения одинаков:
T const
.
Доказательство
Рассмотрим участок натянутой нити 1-2 (РИС. 3.11). По условию невесомости масса этого участка m = 0. Участки нити, находящиеся по обе стороны
от данного участка, действуют на него с силами T1 и T2 .
m = 0
1 2
Рис. 3.11
Применим к этому участку нити теорему о движении центра масс:
ma T |
T |
1 |
2 |
0
б) Нерастяжимая нить
T2 T1
T1
T2
, ч. т. д.
Модуль скорости всех точек натянутой нити одинаков:
v const
.
Доказательство |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Будем |
отсчитывать |
координаты |
точек |
|
|
|
|
|||||||
нити по её длине от некоторой точки |
|
|
|
2 |
||||||||||
(например, одного из концов нити). Рас- |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||
смотрим участок нити 1-2 (РИС. 3.12). Ко- |
|
|
|
|
||||||||||
ордината точки 1 равна l1, координата |
|
|
|
|
||||||||||
точки 2 соответственно равна l2 По усло- |
|
1 |
|
|
||||||||||
вию |
нерастяжимости |
|
длина |
этого |
|
|
|
|||||||
участка должна оставаться постоянной: |
|
|
|
|
||||||||||
l = l2 – l1 = const. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Модули скоростей точек 1 и 2 |
|
|
|
|
|
|
Рис. 3.12 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dl |
|
|
dl |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v1 |
1 |
, |
v2 |
|
2 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
dl |
dl |
|
d l2 l1 |
|
|
|
|
|
|
|
v v |
|
2 |
1 |
|
|
|
0 v |
v |
, ч. т. д. |
|||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
2 |
1 |
|
dt |
dt |
|
dt |
|
2 |
1 |
|
0
Из этого следует, что равны и тангенциальные ускорения всех точек нити:
aτ2 aτ1 .
1.4.7. План решения задач по динамике18
1.Выбор объекта исследования и его модели: материальная точка, твёрдое тело, механическая система (указать, какие тела в неё входят)
18 Аналогичный план подходит и для решения задач по динамике вращательного движения, в т. ч. с использованием законов сохранения. Различия – в законе, на котором основано решение задачи.
36
2.Выбор системы отсчёта (в большинстве случаев — лабораторная)
3.Рисунок (или несколько рисунков)
4.Определение воздействующих объектов. Расстановка обозначений на рисунке:
сил, ускорений и т. д.
5.Запись II закона Ньютона (теоремы о движении центра масс) в векторной форме
6.Выбор системы координат (можно вводить разные системы координат для разных тел)
7.Запись закона в проекциях на оси системы координат
8.Подсчёт числа уравнений и числа неизвестных. Запись дополнительных уравнений (другие законы, уравнения связей и т. п.)
9.Решение полученной системы уравнений в общем виде
10.Анализ результата и проверка размерностей19
11.Численный расчёт и оценка его результата
1.4.8. Импульс. Другая форма II закона Ньютона
Преобразуем выражение II закона Ньютона:
ma F |
|
dv |
|
||
|
|
|
m |
F , |
|
a |
dv |
|
dt |
||
|
|
|
|||
dt |
|
|
|||
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
d mv |
F |
|
dt |
||
|
— II закон Ньютона в дифференциальной форме.
(3.5)
В этом выражении под знаком дифференциала стоит векторная физическая величина, характеризующая инертность и движение тела — импульс материальной
точки
|
|
|
|
p mv |
; |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
p |
кг м . |
|
||||
|
|
|
|
|
|
с |
|
|
Из (3.5) получим |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
d |
|
mv |
|
Fdt |
||
|
|
|
|
|
||||
Fdt |
|
|
|
|||||
— импульс силы. II закон Ньютона можно сформулировать так: изменение |
импульса материальной точки равно импульсу силы.
По определению, импульс механической системы равен сумме импульсов тел (материальных точек), входящих в эту систему:
P pi .
Подробное обсуждение этого плана и обучение решению задач проводится на практических занятиях.
Пример решения задачи по динамике рассматривается на СЛЕДУЮЩЕЙ ЛЕКЦИИ. 19 Рекомендуется контролировать размерности в течение всего решения задачи.
|
37 |
Импульс механической системы равен произведению массы M системы на скорость |
|
vC |
её центра масс: |
P MvC
.
Доказательство
Исходя из определения импульса механической системы,
|
|
|
|
|
i |
|
i i |
|
i |
dr |
|
d |
|
i |
i |
|
|
|
P |
|
|
i |
|
|
|
||||||
|
|
|
p |
m v |
m |
|
|
m r |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
dt |
|
|
|
(см. РИС. 3.4)20, |
vi |
— скорость i-ой материальной точки. В обозначениях этого ри- |
|||||||||||||
сунка ri rC ρi |
. Поэтому |
|
|
|
0, т. к. точка C – центр масс |
||||||||||
|
|
P |
d |
mi rC mi ρi mi |
dr |
Mv |
, ч. т. д. |
||||||||
|
|
|
|
C |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
Преобразуем выражение теоремы о движении центра масс:
|
|
|
e |
|
|
dv |
|
e |
d |
|
Mv |
|
e |
|
MaC F |
M |
F |
|
C |
F |
, |
||||||||
|
C |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dP |
F |
e |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если система замкнута, то F |
e |
0 |
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dP |
0 |
|
dt |
||
|
P
const
— закон сохранения импульса механической системы: импульс замкнутой си-
стемы остаётся неизменным с течением времени.
На самом деле закон сохранения импульса не выводится, а следует из свойств про- странства-времени (см. РАЗДЕЛ 1.1.2).
Более подробно закон сохранения импульса будет рассмотрен в ПАРАГРАФЕ 1.6.
20 Разумеется, в «живой» лекции этот рисунок нужно сделать заново.
38
Лекция 4
1.5. Динамика твёрдого тела
1.5.1. Момент силы
Момент силы21 — векторная (псевдовекторная) величина, характеризующая взаимодействие тел.
1. Момент силы относительно точки
Момент силы относительно точки:
|
M rF |
; |
|
|
|
|
|
|
|
A |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
точка, относительно которой определяется |
|
|
|
|
|
|||||||
момент — полюс; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
||
M rF sin |
r,F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
M Н м. |
|
|
|
|
|
|
O |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 4.1 |
|
||||
На РИС. 4.1: O — полюс, A — точка приложе- |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
||||||||
ния силы; r и F |
лежат в плоскости рисунка, |
M |
перпендикулярен плоскости ри- |
|||||||||
сунка. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Момент силы относительно оси |
|
|
|
|
|
|
||||||
Момент силы относительно оси: |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
M rF |
k |
, |
(4.1) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вектор22 момента силы относительно оси всегда направлен вдоль этой оси; направление определяется по правилу правого винта.
Один из способов определения момента произвольно направленной силы относительно оси показан на РИС. 4.2. На этом рисунке изображено трёхмерное твёрдое тело и вектора и линии, лежащие в трёхмерном пространстве. Здесь z — ось, отно-
сительно которой рассчитывается момент силы; k — орт этой оси; A — точка при-
ложения силы F ; плоскость xy — плоскость, проведённая через точку A перпендикулярно оси z; O — точка пересечения плоскости xy с осью z, т. е. ближайшая к точке
приложения силы точка на оси; радиус-вектор r восстановлен из точки O в точку приложения силы; F xy — проекция вектора силы на плоскость xy; M rF sin r,F xy
.
Можно пользоваться не этим способом, а напрямую определением (4.1). Тогда r — это радиус-вектор, проведённый из любой точки на оси в точку приложения силы.
21Следует обратить внимание студентов на то, что момент силы, а также момент инерции и момент импульса всегда определяется относительно какой-либо точки или оси.
22В большинстве курсов общей физики момент силы, момент импульса относительно оси, а также кинематические величины, характеризующие вращение вокруг неподвижной оси, вводятся как ска-
лярные алгебраические величины. В нашем же курсе это аксиальные векторы.
39
z
D
h
O A
xy
Рис. 4.2
Плечо силы — это скалярная величина — кратчайшее расстояние от оси до линии
действия силы (отрезок OD = h на РИС. 4.2); |
|
|
||
h r sin |
|
r,F xy |
xy |
|
|
|
, M hF . |
Если линия действия силы
F
лежит в плоскости, перпендикулярной оси z (т. е.
F
F xy
), то получим соотношение, известное из школьного курса физики: M = hF.
1.5.2. Основное уравнение динамики вращательного движения
Пусть твёрдое тело вращается вокруг неподвижной оси z
(с угловой скоростью |
ω , угловым ускорением |
ε ). Разо- |
бьём тело на элементарные (малые) фрагменты массами mi (РИС. 4.3); расстояние каждого фрагмента от оси вращения равно ri. Запишем II закон Ньютона для i-го фрагмента:
|
m a F |
e |
|
|
F |
i |
|
|
|
|
|
|
ki . |
|
(4.2) |
||||
|
i i |
i |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
k i |
|
|
|
|
Здесь ai |
— ускорение i-го фрагмента; Fi |
e |
— главный век- |
||||||
|
тор внешних сил, с которыми другие тела действуют на i-
i ый фрагмент; F ki — внутренняя сила, описывающая дей-
ствие k-го фрагмента на i-ый фрагмент. Умножим равенство (4.2) на ri слева векторно:
z
Oi mi
Рис. 4.3
mi
r ai i
|
r F |
e |
|
|
|
||
|
|
|
|
i i |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
i |
|
|
|
r F ki |
|
|
k i |
|
|
|
|
|
.
(4.3)
В правой части этого уравнения ri Fi e
сил, приложенных к i-ому фрагменту;
Mi e
r
iik
— главный вектор момента внешних
i |
|
i |
— сумма моментов внут- |
Fki |
|
Mki |
|
|
|
k i |
|
|
|
|
ренних сил, приложенных к нему же.
Преобразуем векторное произведение в левой части уравнения (4.3), используя выражение для ускорения материальной точки (2.5)