2.7. Примеры задач.

I. О финансовых накоплениях.

Завод производит х автомобилей в месяц. Установлено, что зависимость финансовых накоплений завода от объема выпуска выражается формулой f(x) = –0,02x³ + 600x – 1 000. Решение исследуется с помощью производной. Получаем, что при х = 100 функция достигает максимума. Вывод: финансовые накопления завода растут с увеличением объема производства до 100 единиц, при х = 100 они достигают максимума и объем накопления равен 39 000 денежных единиц. Дальнейший рост производства приводит к сокращению финансовых накоплений.

II.О зависимости спроса от цены.

Вспомним, что такое спрос? Это зависимость между ценой единицы товара и количеством товара, которое потребители готовы купить при каждой возможной цене за определенный период времени и при прочих равных условиях.

Зависимость спроса от цены выражается формулой D(p) = E^‑2p2(p >= 0). Данная функция исследуется с помощью производной D'(p) = –4p·E^-2p2. Анализируя график функции, получаем данный вывод. Данная модель задачи предполагает, что в анализе спроса мы абстрагируемся от влияния на него других факторов, предполагая их неизменными, что было отражено в определении спроса. Уметь решать такие задачи – это уже хорошо, будет у фирмы возможность подстраховаться хотя бы в ценовом факторе.

Хотя в реальной жизни оказывают существенные воздействия на спрос потребителя еще и доходы потребителя, и вкусы в сочетании с модой. Поэтому количество покупаемого товара в общем виде является не одной переменной (цены), а нескольких переменных, и решение задачи о спросе естественно усложнится. Но математика приходит на помощь и в этом случае. Выручка от реализации товара по цене p составляет: денежных единиц, где D(p) = E^-2p2(p >= 0). Исследуем эту функцию с помощью производной. Производная этой функции: положительна, если , и отрицательна для , это означает, что с ростом цены выручка вначале увеличивается (несмотря на падение спроса) и в достигает максимального значения , дальнейшее увеличение цены не имеет смысла, т. к. оно ведет к сокращению выручки. Темп изменения выручки выражается второй производной .

– темп положительный, – темп отрицательный. На промежутке (0; 1/2) функция возрастает все медленнее, то есть дальнейшее повышение цены невыгодно. Сначала выручка убывает с отрицательным темпом для , а затем темп убывания становится положительным, и для P > 0,9 выручка убывает все быстрее и приближается к нулю при неограниченном увеличении цены. Для наглядной демонстрации сказанного выше составим таблицу и построим график.

p
U’(p)	+	0	‑	‑0,47	‑
U’’(p)	‑		‑	0	+
U(p)	возрастает выпукла	0,3 max	убывает выпукла	0,2 точка перегиба	убывает вогнута

Вывод. На промежутке функция возрастает все медленнее. Соответствующая часть графика выпукла. Как уже отмечалось, дальнейшее повышение цены невыгодно. Сначала выручка убывает с отрицательным темпом (для ), а затем темп убывания V(p) становится положительным. Для р > 0,9 выручка убывает все быстрее и приближается к нулю при неограниченном увеличении цены. На промежутке функция U(p) вогнута. В точке график перегибается

Таким образом мы пришли к тому, что очень важной производственной задачей является умение определить при каком объеме производства удельные затраты будут минимальными и до каких пределов можно расширять производство.

Заключение

В ходе своей работы я рассмотрела различные производственные задачи, функции, анализы и доказала, что производная действительно помогает решать экономические задачи и показала её роль в экономике.

В результате проведенного исследования можно сделать следующие выводы:

1. Производная является важнейшим инструментом экономического анализа, позволяющим углубить геометрический и математический смысл экономических понятий, а также выразить ряд экономических законов с помощью математических формул.

2. При помощи производной можно значительно расширить круг рассматриваемых при решении задач функций.

3. Экономический смысл производной состоит в следующем: производная выступает как скорость изменения некоторого экономического процесса с течением времени или относительно другого исследуемого фактора.

4. Наиболее актуально использование производной в предельном анализе, то есть при исследовании предельных величин (предельные издержки, предельная выручка, предельная производительность труда или других факторов производства и т. д.).

5. Производная находит широкое приложение в экономической теории. Многие, в том числе базовые, законы теории производства и потребления, спроса и предложения оказываются прямыми следствиями математических теорем (например, представляет интерес экономическая интерпретация теоремы Ферма, выпуклости функции и т. д.).

6. Знание производной позволяет решать многочисленные задачи по экономической теории.

Список использованной литературы

1. 1. https://www.studmed.ru/download/kursovaya-rabota-proizvodnaya-funkcii-i-ee-primenenie-v-ekonomike_0c451ea4b19.html

2. 2. Малыхин В. Л. Математика в экономике. — М.: ИНФРА-М, 2001.

3. 3. Розен В. В. Математические модели принятия решений в экономике. — М.: Книжный дом «Университет». Высш. шк., 2002

4. 4. Солодовников А. С., Бабайцев В. А., Браилов А. В. Математика в экономике. В 2-х ч. — М.: Финансы и статистика, 2001

5. 5. https://www.bibliofond.ru/download_list.aspx?id=4903066.

6. 6. Замков О. О., Толстопятенко А. В., Черемных Ю. Н. Математические методы в экономике 3-е изд., М.: Дело и Сервис, 2001.