13. Коэффициент детерминации

Коэффициентом детерминации называют величину, которая обозначается и характеризует долю вариации зависимой переменной, объяснённую уравнением регрессии:

Если доля неучтённых и случайных факторов Var(e) велика и приближается к Var(y), то коэффициент детерминации близок к нулю. А если доля неучтённых и случайных факторов Var(e) мала, то коэффициент детерминации близок к единице. Следовательно, коэффициент детерминации меняется от 0 до 1. Чем ближе коэффициент детерминации ближе к 1, тем выше качество построенной регрессии. Чем ближе коэффициент детерминации к 0, тем качество построенной регрессии хуже.

Универсальная формула:

14. Коэффициент корреляции

Для оценки тесноты линейной связи между переменными определяем коэффициент корреляции. Для оценки степени линейной зависимости между переменными используется коэффициент корреляции, который обозначается r_xyи который рассчитываетсяпо формуле:

,

Изменяется от -1 до 1.

r_xy – безразмерная величина, показывает степень линейной зависимости между переменными. Чем ближе r_xy к ±1, тем сильнее линейная зависимость. Чем ближе r_xy к 0, тем линейная зависимость слабее. Если r_xy = ±1, то имеет место функциональная линейная зависимость. Если r_xy = 0, то линейная зависимость отсутствует. Если r_xy>0, то связь между переменными положительная, прямая зависимость. Если r_xy<0 – отрицательная, обратная зависимость.

15. Проверка значимости коэффициента детерминации

Так как коэффициент детерминации является случайной величиной, то необходимо проверить, действительно ли он значим и отличен от нуля. Для этого проводим проверку, используя процедуру проверки гипотез.

1 Формируем гипотезу : =0, состоящую в том, что истинный коэффициент детерминации равен нулю.

2 В качестве критерия проверки гипотезы используют случайную величину F Величина F имеет распределение Фишера с двумя степенями свободы ν₁=1, ν₂=n-2.

3 Выберем уровень значимости проверки гипотезы: α(альфа)=0,05 или 0,01

4 На основании α(альфа), ν_1, ν₂ по таблице распределения Фишера выбираем Fкритическое

5 Подставим в уравнение F значение коэффициента детерминации, полученное на основе статистических данных. Получим Fрасчётное. Сравниваем Fрасчётное и Fкритическое и если F расчётное >Fкритическое, то с вероятностью 1-α гипотезу считаем неверной, то есть истинный коэффициент детерминации существенно отличен от 0, уравнение регрессии значимо и переменные, включённые в уравнение регрессии, достаточно объясняют поведение зависимой переменной.

Если F расчётное <F критическое, то гипотеза принимается, уравнение регрессии считается незначимым

16. Проверка значимости коэффициента корреляции.

Проведем проверку значимости коэффициента корреляции :

1. Формулируем гипотезу, состоящую в том, что истинный коэффициент корреляции равен нулю:

.

2. Подставим значение коэффициента корреляции, вычисленное по выборке:

3. Выбираем уровень значимости α=0,05.

4. Для α/2 и для ν=n-2 в таблице распределения Стьюдента находим t_кр.

Если истинный коэффициент корреляции существенно отличен от 0, линейная зависимость между x и y тесная.

Замечание 1:

В парном линейном регрессионном анализе проверка значимости коэффициента b, коэффициента корреляции и коэффициента детерминации являются эквивалентными.

Замечание 2:

Легко показать, что коэффициент детерминации равен квадрату коэффициента корреляции

r_xy – безразмерная величина, показывает степень линейной зависимости между переменными.

Чем ближе r_xy к ±1, тем сильнее линейная зависимость.

Чем ближе r_xy к 0, тем линейная зависимость слабее.

Если r_xy = ±1, то имеет место функциональная линейная зависимость.

Если r_xy = 0, то линейная зависимость отсутствует.

Если r_xy>0, то связь между переменными положительная, если r_xy<0 – отрицательная.