9. Интерпретация параметров парной линейной регрессии.

Параметр b показывает среднее изменение результата у с изменением фактора х на единицу. Параметр а = у, когда х = 0. Если х не может быть равен 0, то а не имеет экономического смысла. Интерпретировать можно только знак при а: если а > 0. то относительное изменение результата происходит медленнее, чем изменение фактора, т. е. вариация результата меньше вариации фактора, и наоборот.

Линейный коэффициент корреляции находится в пределах: . Чем ближе абсолютное значение к единице, тем сильнее линейная связь между факторами (при ±1 имеем строгую функциональную зависимость).

Для оценки качества подбора линейной функции рассчитывается квадрат линейного коэффициента корреляции R², называемый коэффициентом детерминации. Коэффициент детерминации характеризует долю дисперсии результативного признака y, объясняемую регрессией, в общей дисперсии результативного признака. Соответственно величина 1-R² характеризует долю дисперсии y , вызванную влиянием остальных, не учтенных в модели, факторов.

Чтобы иметь общее суждение о качестве модели из относительных отклонений по каждому наблюдению, определяют среднюю ошибку аппроксимации. Средняя ошибка аппроксимации - среднее отклонение расчетных значений от фактических. Допустимый предел значений средней ошибки аппроксимации не более 8-10%.

Средний коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов изменится результат (результативный признак) от своей средней величины при изменении фактора x (признак-фактор) на 1% от своего среднего значения.

Оценка значимости уравнения регрессии в целом производится на основе - критерия Фишера, которому предшествует дисперсионный анализ. Фактическое значение F-критерия Фишера сравнивается с табличным значением Fкр при уровне значимости α и степенях свободы k1=m k2=n-2 . При этом, если фактическое значение F-критерия больше табличного, то признается статистическая значимость уравнения в целом.

Для оценки статистической значимости коэффициентов регрессии и корреляции рассчитываются t-критерий Стьюдента и доверительные интервалы каждого из показателей. Величина стандартной ошибки совместно с t-распределением Стьюдента при n-2 степенях свободы применяется для проверки существенности коэффициента регрессии и для расчета его доверительного интервала. Если tкр>tфакт, то то признается случайная природа формирования a или b. Если же tкр<tфакт, то a и b не случайно отличаются от нуля и сформировались под влиянием систематически действующего фактора x.

ЕЩЕ МОЖНО СМОТРЕТЬ ВОПРОС 8

10. Нелинейная регрессия и ее преобразование к линейному виду.

Нелинейная регрессия — это вид регрессионного анализа, в котором экспериментальные данные моделируются функцией, являющейся нелинейной комбинацией параметров модели и зависящей от одной и более независимых переменных. Данные аппроксимируются методом последовательных приближений.

Данные состоят из свободных от ошибок независимых переменных x и связанных наблюдаемых зависимых переменных (откликов) y. Каждая переменная y моделируется как случайная величина со средним значением, задаваемым нелинейной функцией f(x,β). Методическая погрешность может присутствовать, но её обработка выходит за границы регрессионного анализа.

Если между экономическими явлениями существуют нелинейные соотношения, то они выражаются с помощью соответствующих нелинейных функций. Различают два класса нелинейных регрессий:

1. Регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам, например

– полиномы различных степеней –

– равносторонняя гипербола –

–полулогарифмическая функция –

2. Регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам, например

– степенная –

– показательная –

– экспоненциальная –

-обратная –

Некоторые задачи нелинейной регрессии могут быть сведены к линейным путём подходящего преобразования формулировки модели.

Рассмотрим некоторые (наиболее часто используемые на практике) нелинейные модели, для которых возможно сведение к линейным. Для того чтобы свести нелинейную модель к линейной (линеаризовать модель) обычно с помощью некоторых преобразований переменных нелинейную модель представляют в виде линейного соотношения между преобразованными переменными, оценивают коэффициенты этого соотношения и затем, с помощью обратного преобразования, находят оценки параметров исходной нелинейной модели.

Сразу заметим, что не всякая нелинейная модель может быть оценена подобным образом, в ряде случаев невозможно подобрать подходящее преобразование, линеаризующее модель. В этом случае приходится использовать методы нелинейной оптимизации.

Оценка моделей, нелинейных по объясняющим переменным, но линейных по оцениваемым параметрам не представляет особой сложности: в этом случае обычно используют замену переменных для сведения модели к линейной и оценки параметров с помощью обычного МНК (примененного к модели с замененными переменными).

Несколько более сложным случаем является оценка параметров в случае нелинейности модели по параметрам, так как непосредственной применение МНК для их оценивания невозможно. В этом случае подходящим преобразованием (обычно связанным с логарифмированием по основанию e ) иногда удается привести модель к линейному виду.