Учебники / Кикоин И.К., Кикоин А.К. Физика. 8 класс (1980)

18. Движение по окружности. Угол поворота. Радиан

При описании движения тела по окружности можно пользо­ ваться вектором перемещения, как и при описании прямолиней­ ного движения. Но часто более удобным оказывается харак­ теризовать изменение положения тела (материальной точки) при движении по окружности другой величиной — у г л о м п о в о р о т а .

Представим себе, что некоторое тело движется по окружно­ сти радиусом г (рис. 62). Проведем из центра О окружности радиус к какой-нибудь точке тела А и будем следить не только за самим телом, но и за радиусом, проведенным к точке А. Мы увидим, что, по мере того.как тело движется, радиус поворачи­ вается. Если, например, тело за промежуток времени t переме­ стилось из точки А в точку В, то за это же время радиус повер­ нулся на угол <р. Этот угол мы будем называть углом поворота радиуса. О движении тела можно, следовательно, сказать, вопервых, что тело за промежуток времени t прошло путь I по

дуге АВ окружности, во-вторых, что оно совершило перемеще­

ние s, модуль которого равен длине хорды АВ, и, в-третьих, что радиус, проведенный к точке тела, совершил поворот на угол <р.

Угол поворота можно выражать в градусах. Но во многих

к ее радиусу не зависит от радиуса окружности и равно 2я да 6,28. Ясно, что отношение длины дуги, составляющей часть окружно­ сти, к радиусу этой окружности тоже не зависит от радиуса и определяется только углом между радиусами, вырезающими эту дугу. Например, два радиуса, образующие угол <р=60° (рис. 63), вырезают на окружностях 1 и 2 дуги, длины которых равны

60

Отношение же длин этих дуг к радиусам для обеих окружностей одно и то же.

Оно равно -у - = -g -. Если

бы угол между радиусами был равен 45°, то отношение длин дуг к радиусам было бы равно

тот же угол, и отношение длины дуги, которую описывает конец стрелки, к длине стрелки (радиусу) равно -у -.

Теперь понятно, почему отношение длины I дуги, вырезаемой углом между двумя радиусами, к радиусу окружности удобно принять за меру угла между радиусами:

(1)

Из формулы (1) видно, что ф=1, когда /=г. Поэтому за еди­ ницу угла принимают угол между двумя радиусами круга, выре­ зающими на окружности дугу, длина которой равняется радиусу. Эту единицу измерения угла и называют радианом (сокращен­ но рад).

Найдем, как связан радиан с градусом. Когда радиус совер­ шает полный оборот, то угол его поворота составляет 360°. С дру-

гой стороны, он равен —у = 2я радиан.

Следовательно,

2л рад = 360°

и

а

61

Если угол <р между двумя радиусами выражен в радиа­ нах, то длина / дуги, вырезан­ ной этим углом из окружности радиусом R, как следует из формулы (1), равна

Иногда при решении физи­ ческих задач нужно находить разность двух векторов одина^ ковой длины, угол между ко­ торыми очень мал (близок к нулю). Это удобно сделать, когда угол выражен в радиа­

нах.

—>■

На рисунке 65, а показаны два таких вектора а и Ь:

Й = 1Н

Найдем их разность, которую обозначим через с:

с = а — о.

Вспомним (см. § 5), что для того, чтобы найти вектор с, нужно к —► —► —►

вектору а прибавить вектор ( —£>), или, что то же, к вектору ( — Ь) прибавить вектор а (рис. 65, б). Тогда

7= ВА.

Чтобы вычислить длину вектора с, проведем окружность с центром в точке О (рис. 65, б) радиусом, равным |а | (или | 6|). Так как угол <р между векторами мал, то длина вектора с мало отличается от длины дуги А В:

\с \^ А В .

Но согласно формуле (2)

АВ = | а| ф = |6|ф .

Следовательно,

| с| ж |1в| ф = |Ч ф .

Абсолютное значение разности двух равных по модулю век­ торов, образующих малый угол, равно произведению модуля вектора на выраженный в радианах угол между ними.

«2

А как направлен вектор с? Для того чтобы ответить .на этот вопрос, рассмотрим треугольник АОВ. Он равнобедренный, и, следовательно, углы при основании АВ равны между собой:

I, ОАВ — </ ОВА —а.

Сумма же углов любого треугольника равна я, т. е. а + а + ф = я.

но, при достаточно малом угле ф между векторами а и b (ф<^;1)

можно считать, что вектор с перпендикулярен векторам а и Ь.

Итак, вектор разности двух равных по модулю векторов, угол

между которыми мал, направлен перпендикулярно этим век­ торам.

1.Выразить в - радианах угол, на который поворачивается часовая стрелка часов за 0,5 ч; за 1 ч; за 4 ч.

2.Сколько радиан составляет угол 120°?

3.Найти модуль разности двух векторов скорости, абсолютные значе­

ния которых одинаковы и равны 15 м/с, если эти векторы образуют между собой угол 5°.

4. Модуль разности двух равных по абсолютной величине векторов перемещения равен 2 см, а угол между векторами составляет 2°. Най­ ти модуль самих векторов перемещения.

19.Угловая и линейная скорости при равномерном движении по окружности

В§ 18 было указано, что движение точки по окружности (изменение ее положения) можно характеризовать углом ф пово­ рота радиуса, проведенного к этой точке. При равномерном дви­ жении точки по окружности углы поворота радиуса за любые

равные промежутки времени будут одинаковы. Разделив угол поворота ф на время t, за которое совершен поворот, мы получим так называемую угловую скорость вращения этого радиуса. Ее обозначают обычно буквой о.

Часто для краткости говорят, что © — это угловая скорость не радиуса, а самой точки.

Под угловой скоростью точки, равномерно движущейся по окружности, понимают отношение угла поворота радиуса, прове-

63

денного к точке, к промежутку времени, в течение которого со­ вершен этот поворот.

Если угол <р выражен в радианах, а время t — в секундах, то угловая скорость © измеряется в радианах в секунду (рад/с).

В отличие от угловой скорости со скорость, измеряемую отно-

ки) по окружности его линейная скорость совпадает с абсолют­ ным значением вектора мгновенной скорости точки. Между угло­ вой скоростью © и линейной скоростью У имеется очень простая связь. Если в выражение для угловой скорости подставить

связать угловую скорость с числом оборотов в единицу времени. Действительно, при одном обороте радиус поворачивается на угол в 2я рад. Значит, совершив в единицу времени, например, п оборотов, радиус повернется на угол 2лп рад. Поэтому угловая скорость © и число оборотов в единицу времени п связаны выра­ жением

© = 2пп.

Число оборотов в единицу времени (п) обычно называют так­ же ч а с т о т о й в р а щ е н и я . Величина, обратная частоте, определяет время, за которое тело делает один оборот. Это время

1 А 1. Что такое угловая скорость? В каких единицах ее измеряют?

***2. Как связаны между собой угловая и линейная скорость?

3.Вычислить угловую и линейную скорость движения Земли вокруг

Солнца. Радиус орбиты Земли считать равным 150 000 000 км.

4. Какова линейная скорость конца минутной стрелки часов на Спасской башне Московского Кремля, если длина стрелки 3,5 м? Сравнить угло­ вую скорость этой стрелки с угловой скоростью минутной стрелки на­ ручных часов.

20.Ускорение при равномерном движении тела по окружности

Вернемся теперь к нашей задаче — найти ускорение тела (которое мы считаем материальной точкой), движущегося по окружности с постоянной по модулю скоростью.

64

Ускорение, как известно, опреде­ ляется по формуле

где vо — скорость тела в некоторый

начальный момент времени, a v— его скорость через промежуток вре­

мени t.

—> —►

Изменение скорости v—v0 для

Рис. 66

краткости обозначим Av. Значок

А (дельта) заменяет слово «изменение». Тогда

Av

t

Предположим, что тело движется по окружности радиусом г и что в некоторый момент времени оно находится в точке А

(рис. 66). Чему равно ускорение в этой точке?

—►

Скорость v0 в этой точке направлена по касательной к окруж­ ности в точке А. Через t с тело оказывается в точке В, и скорость

его v теперь направлена по касательной к окружности в точке В.

наковы) .

Для того чтобы найти ускорение а, нужно вычислить разность —► —>■ % —►

векторов v—v0 = Av и разделить ее на t. Вектор Av можно полу-

—V

чить, прибавив к вектору —VQвектор v. Так как нам нужно найти ускорение в точке А (мгновенное ускорение), точки Л и В, через которые последовательно проходит движущееся тело, надо взять

настолько близкими друг к другу, чтобы дуга АВ как бы стяну­ лась в точку.

Выясним сначала, как направлено это ускорение.

Проведем из центра О окружности радиусы к точкам А и В.

векторам v0и v. Угол между векторами v и vQравен углу ф между радиусами ОА и ОВ, так как они образованы взаимно перпенди­ кулярными сторонами.

Точки Л и В расположены очень близко друг к другу и угол ф

поэтому мал (близок к нулю), а абсолютные значения векто-

-*• ->•

ров v и v0 равны

Й = Й 1 = v, где V — линейная скорость точки.

Поэтому вектор разности этих

векторов До, как было показано в § 18, направлен перпендикулярно к

вектору Vo и по абсолютной величи­ не равен

| Д о"| = \v — v01= Уф. Ускорение точки направлено так

же, как вектор Др. Мы приходим, таким образом, к выводу, что уско­ рение тела, равномерно движущего­ ся по окружности, в любой точке перпендикулярно вектору скорости

в этой же точке и, следовательно, направлено по радиусу окруж­ ности к ее центру. Его поэтому называют ц е н т р о с т р е м и ­ т е л ь н ы м у с к о р е н и е м .

При равномерном движении тела по окружности ускорение в любой ее точке перпендикулярно скорости движения и направ­ лено к центру окружности.

Эта интересная особенность ускорения при движении по окружности с постоянной по модулю скоростью показана на рисунке 67.

Абсолютное значение ускорения мы получим, если разделим —>

|Ди| = Уф на t — промежуток времени, за который вектор скорости изменился и стал равным v:

Но —2----- это угловая скорость о. Следовательно,

[ а | — V©.

Абсолютное значение ускорения тела (материальной точки), равномерно движущегося по окружности, равно произведению его линейной скорости на угловую скорость вращения радиуса, проведенного к телу.

Так как угловая и линейная скорости связаны соотношением

V=toг (г — радиус окружности), то, подставив это выражение в

—►

формулу | а | = V<o, получим

| а | = со2г.

Но (о = Поэтому формулу для центростремительного ускоре­ ния можно записать еще и так

V*

г

66

При равномерном движении по окружности тело движется с ускорением, которое направлено по радиусу к, центру окруж­

ности и модуль которого определяется выражением |а|=о)2г, или

можно утверждать, что такое тело движется по окружности, радиус которой г определяется формулой

r= _ z i_

'-> • IаI

Значит, если нам известны начальная скорость тела и абсо­ лютное значение его центростремительного ускорения, мы можем изобразить окружность, по которой тело будет двигаться, и най­ ти его положение в любой момент времени (начальное положе­ ние тела должно быть, конечно, известно). Тем самым будет решена основная задача механики.

Напомним, что ускорение при равномерном движении по окружности нас интересует потому, что всякое движение по кри­ волинейной траектории можно представить как движение по дугам окружностей различных радиусов.

Теперь мы можем сказать, что при равномерном движении в любой точке криволинейной траектории тело движется с уско­ рением, направленным к центру той окружности, частью которой является участок траектории вблизи этой точки. Абсолютное же значение ускорения зависит от скорости тела в этой точке и от радиуса соответствующей окружности. На рисунке 68 показана некоторая сложная траектория и указаны векторы центростре­ мительного ускорения в различных точках траектории.

Задача. Самолет, выходя из пике, движется по траектории, которая в нижней своей части является дугой окружности радиу- * сом 500 м (рис. 69). Вычислить ускорение самолета в наинизшей

точке, если его скорость равна 800 км/ч, и сравнить полученное значение с ускорением свободного падения.

Р е ш е н и е . Ускорение самолета вычисляем по формуле

Подставив сюда значения

2.Если при движении тела по окружности модуль его скорости изме­ няется, будет ли ускорение тела направлено к центру окружности?

3.Можно ли считать движение по окружности с постоянным по моду­

лю ускорением равноускоренным движением?

вращения.

5. Автомобиль движется по закруглению дороги радиусом 100 м со скоростью 54 км/ч. Какова величина центростремительного ускорения автомобиля?

6. Период обращения первого корабля-спутника «Восток» вокруг Зем­ ли равнялся 90 мин. Среднюю высоту корабля-спутника над Землей можно считать равной 320 км. Радиус Земли 6400 км. Вычислить ско­ рость корабля.

7. Какова скорость движения автомобиля, если его колеса радиусом

30 см делают 10 оборотов в 1 с?

8. Два шкива, радиусы которых rj = 5 см и г2—10 см, соединены беско­ нечным ремнем. Период вращения шкива меньшего радиуса равен 0,5 с. Какова скорость перемещения точек ремня? Каков период вра­ щения второго шкива?

9. Луна движется вокруг Земли на расстоянии 384 000 км от нее, совер­ шая один оборот за 27,3 суток. Вычислить центростремительное уско­ рение Луны.

21.Об относительности движения тела при вращении системы отсчета

В§ 8 и 9 мы уже говорили об относительности движения при прямолинейном движении тел. Мы видели, что движения одного и того же тела относительно разных систем отсчета, движущих­ ся прямолинейно друг относительно друга, могут существенно различаться.

68

Рассмотрим теперь движение тела относительно вращающей­ ся системы отсчета. Возьмем стержень, вдоль которого может скользить надетый на него шарик. Закрепим шарик на стержне и приведем стержень во вращение в горизонтальной плоскости вокруг одного из его концов (рис. 70, а) . В системе координат XOY, связанной с горизонтальной плоскостью, в которой вра­ щается стержень, шарик движется по окружности и его скорость в любой момент времени направлена перпендикулярно стерж­ ню. В то же время в системе координат, связанной с вращаю­ щимся стержнем, шарик покоится.

Предоставим теперь шарику возможность скользить вдоль стержня. В тот момент, когда стержень находится в положении /

(рис. 70, б), он сообщает шарику скорость vA, перпендикулярную стержню. Так как шарик не скреплен со стержнем, то он дви­ жется в том направлении, куда направлен вектор его скорости*

ичерез промежуток времени /, когда стержень будет нахо­ диться в положении II, шарик окажется в точке В. Из рисунка видно, что гипотенуза 0\В треугольника АО\В больше его катета 0\А. Следовательно, шарик во время поворота стержня сместился к его краю на некоторое расстояние. Выходит, что при повороте стержня шарик приобрел скорость вдоль стержня

исоскальзывает с него. Когда стержень окажется в положе­ нии III, шарик будет находиться в точке С, т. е. еще больше уда­ лится от точки Ои чем в положении II стержня, и т. д. Получает­ ся, что относительно неподвижной системы координат XOY ша­ рик движется по сложной траектории, точки которой все больше

ибольше удаляются от оси вращения стержня. Траектория дви­

жения шарика — это раскручивающаяся спираль. В то же время в системе координат, связанной с вращающимся стержнем, шарик будет двигаться прямолинейно, вдоль стержня (вдоль оси координат 0 \ Х \ ) . Вдоль стержня будет направлена и ско­ рость шарика в этой системе отсчета. Из рассмотренного опыта следует, что скорости и траектории тела (шарика) относитель­ но неподвижной и вращающейся систем отсчета различны.

69