Учебники / Кикоин И.К., Кикоин А.К. Физика. 8 класс (1980)

воположны, то абсолютное значение скорости тела с течением времени уменьшается — тело тормозится.

Но раз тело тормозится, то его скорость в некоторый момент времени должна стать равной нулю (тело должно остановиться). Из формулы (3) видно, что это произойдет при at — —vо, или в

момент времени t -------- J -. (Конечно, время t положительно, так

как знаки v0 и а противоположны.) Так как ускорение по модулю и направлению постоянно, то тело, остановившись, станет дви­ гаться в противоположную сторону. Это видно из того, что, когда

t f > |—~—|, величина \at\ станет больше, чем |оо|, и проекция

скорости v изменит свой знак на обратный. Так движется, напри­ мер, тело, брошенное вертикально вверх: долетев до высшей точки траектории, тело начинает двигаться вниз.

Обычно движение с возрастающей по абсолютному значению скоростью называют ускоренным движением, а движение с убывающей скоростью — замедленным движением. Но в меха­ нике любое прямолинейное неравномерное движение называ­ ется ускоренным. Трогается ли автомобиль с места или тормо­ зит, в обоих случаях он движется с ускорением. Ускоренное пря­ молинейное движение от замедленного отличается лишь знаком проекции вектора ускорения на выбранную ось.

Мы видели раньше, что движение относительно и поэтому скорости одного и того же движения различны относительно раз­ ных систем отсчета, движущихся одна относительно другой.

А ускорение? Относительно ли оно?

Ускорение тела определяется разностью двух значений его скорости в различные моменты времени. При переходе от одной системы координат к другой, движущейся относительно первой прямолинейно и равномерно, изменяются оба значения скорости. Но изменяются они на одну и ту же величину. Разность же их остается неизменной. Поэтому и ускорение остается неизменным.

Во всех системах отсчета, движущихся друг относительно друга прямолинейно и равномерно, ускорение тела одинаково.

Но ускорения тела будут различными в системах отсчета, дви­ жущихся с ускорением друг относительно друга. В этом случае ускорения складываются так же, как скорости (см. § 8, 9).

Задача 1. Автомобиль проезжает мимо наблюдателя, дви­ гаясь со скоростью 10 м/с. В этот момент водитель нажимает на тормоз и автомобиль начинает двигаться с ускорением 1 м/с2. Сколько времени пройдет до остановки автомобиля?

Р е ш е н и е . Выберем за начало отсчета то место, в котором находится наблюдатель, и направим ось координат в сторону дви­ жения автомобиля. Тогда проекция скорости автомобиля будет положительна: о=10 м/с. Так как скорость автомобиля уменьша­ ется, то проекция его ускорения отрицательна: а= — 1 м/с2.

40

Для вычисления времени остановки воспользуемся формулой

v = ив + at.

Отсюда для t получаем выражение:

Автомобиль остановится через 10 с после начала торможения. Задача 2. Тело движется прямолинейно с постепенно умень­ шающейся скоростью. Ускорение постоянно и по модулю равно 4 м/с2. В некоторый момент времени модуль скорости тела равен 20 м/с. Найти скорость тела через 4 и 8 с после этого момента. Р е ш е н и е . Направим ось координат по направлению на-

чальной скорости. Тогда проекция вектора начальной скорости оо положительна и равна модулю вектора скорости: t»o=20 м/с. Для определения скорости тела воспользуемся формулой

v — v0 + at.

Так как скорость тела при движении уменьшается, то проекция

вектора ускорения а отрицательна и равна —4 м/с2. Поэтому скорость тела через 4 с будет равна

(знак «минус» означает, что к этому моменту времени тело уже двигалось в направлении, противоположном начальному).

Направление движения тела изменилось на противоположное через 5 с после того момента, в который его скорость была равна 20 м /с.

41

ускорение характеризует это изменение?

3.Чем отличается «замедленное» прямолинейное движение от «уско­ ренного»?

4.Что такое равноускоренное движение?

5.Троллейбус, трогаясь с места, движется с постоянным ускорением

торможении в течение 4 с. С каким постоянным ускорением движется

пути увеличил свою скорость с 15 до 25 м/с. За какое время произошло

лось прямолинейно с ускорением 10 м/с2 в течение 0,5 ч при начальной скорости, равной нулю?

13. Перемещение при равноускоренном движении

Самое важное для нас — это уметь вычислять координаты тела. Это и есть главная задача механики. Но чтобы решить ее, надо уметь вычислять перемещение тела. Как же вычислить перемещение при равноускоренном движении?

Формулу для определения перемещения проще всего получить, если воспользоваться графическим методом.

В § 7 мы видели, что при прямолинейном равномерном движе­ нии перемещение тела численно равно площади фигуры (прямо­ угольника), расположенной под графиком скорости., Верно ли это для равноускоренного движения?

При равноускоренном движении тела, происходящем вдоль координатной оси X, скорость с течением времени не остается постоянной, а меняется со временем согласно формуле

о = о0 4-at.

Напомним, что в этой формуле v, i»o и а — проекции векторов

—*• -►

v, v0 и а на ось X.

Поэтому графики скорости имеют вид, показанный на рисун­ ке 38. Прямая 1 на этом рисунке соответствует движению с поло­ жительным ускорением (скорость увеличивается), прямая 2 — движению с отрицательным ускорением (скорость убывает). Оба графика относятся к случаю, когда в момент времени t = 0 тело имело скорость Vo.

Выделим на графике скорости равноускоренного движения маленький участок ab (рис. 39) и опустим из точек а и b перпен­ дикуляры на ось t. Длина отрезка cd на оси t численно равна тому малому промежутку времени, за который скорость изменилась от ее значения в точке а до ее значения в точке Ь. Под участком графика ab получилась узкая полоска abed.

Если промежуток времени, численно равный отрезку cd, до­ статочно мал, то в течение этого времени изменение скорости

42

тоже мало. Движение в течение такого малого промежутка времени можно считать равномерным и полоска abed мало отли­ чается от прямоугольника. Площадь полоски поэтому равна абсолютному значению перемещения тела за время, соответству­ ющее отрезку cd.

Но на такие узкие полоски можно разбить всю площадь фигуры, расположенной под графиком скорости. Следовательно, перемещение за все время / численно равно площади тра­ пеции ОАВС. Площадь же трапеции, как известно из геометрии, равна произведению полусуммы ее оснований на высоту. В нашем случае длина одного из оснований численно равна v0f длина дру­ гого — v. Высота же ее численно равна t. Отсюда следует, что перемещение s равно:

o __ fV ± £ _ / s - 2 г

Подставим в эту формулу вместо v равную ей величину Vo-\-at. Тогда

Разделив почленно числитель на знаменатель, получим

(1)

При пользовании этой формулой нужно помнить, что s, v0 и а могут быть как положительными, так и отрицательными — это

проекции векторов s, v0 и а на ось X. Рисунок 39 соответствует положительному знаку проекции вектора ускорения (скорость со временем увеличивается). На рисунке 40 изображен график равноускоренного движения с отрицательной проекцией вектора ускорения и положительной проекцией вектора начальной скоро­ сти («замедленное» движение).

43

Если начальная скорость vo равна нулю, то формула (1) при нимает вид:

График такого движения представлен на рисунке 41.

Теперь, когда мы получили формулу для вычисления переме­ щения, нам легко получить и формулу для вычисления коорди­ наты х тела в любой момент времени. Мы видели (см. § 4), что,

По этой формуле и находят положение тела в любой момент времени при прямолинейном равноускоренном движении. Чтобы найти х, нужно знать начальные координату и скорость (х0 и v0) и ускорение а.

Задача 1. Водитель автомобиля, движущегося со скоростью 72 км/ч, увидел красный сигнал светофора и нажал на тормоз. После этого автомобиль начал уменьшать скорость, двигаясь с ускорением 5 м/с2. Какое расстояние автомобиль пройдет за пер- -вые 2 с после начала торможения? Какое расстояние автомобиль

пройдет да полной остановки?

Р е ш е н и е . Координатную ось X напра­ вим по направлению движения автомобиля (рис. 42), а за начало отсчета координаты примем ту точку дороги, в которой началось торможение. Начало отсчета времени отнесем к моменту, когда водитель нажал на тормоз.

44

Скорость Vo автомобиля направлена так же, как ось Хуа уско­ рение автомобиля направлено против направления оси, так что

Найдем теперь, какое расстояние автомобиль пройдет до пол­ ной остановки. Для этого нужно знать время ti движения до остановки. Его можно определить из формулы

v = v0+ at.

В момент остановки скорость v равна нулю, так что

0 = о0 + ati

и

Vp

Задача 2. Определить перемещение тела, график скорости ко­ торого показан на рисунке 43.

Р е ш е н и е . Из рассмотрения графика следует, что сначала мо­ дуль скорости тела уменьшается со временем. Это значит, что вектор ускорения направлен против векто­ ра скорости и проекция а отрица­ тельна. Перемещение s вычислим по формуле:

s = v0t+ -2 £ -.

45

Из рисунка 43 видно, что при t —х ско­ рость v равна нулю. Но v = v0+at. По­

этому 0 = ао+ ат, откуда Все

время движения равно 2т. Следова­ тельно,

Ответ показывает, что график, изобра­ женный на рисунке 43, соответствует движению тела сначала в одном на­ правлении, а затем на такое же рас­ стояние в противоположном направле­ нии, в результате чего тело оказывает­ ся в исходной точке. Подобный график может, например, относиться к движе­ нию тела, брошенного вертикально вверх.

1. Построить в одних координатных осях графики скорости двух тел, движущихся равноускоренно: первое тело с началь­ ной скоростью 1 м/с и ускорением 0,5 м/с2, а второе — с начальной скоро­ стью 9 м/с и ускорением —1,5 м/с2. Опре­ делить: а) какой путь пройдет второе тело до остановки; 6) через сколько времени скорости обоих тел станут оди­ наковыми и какой путь пройдет за это время первое тело.

2. На рисунке 44 изображены графики скорости движения трех тел. Каков ха­ рактер движения этих тел? Что можно сказать о скоростях движения тел в мо­ менты времени, соответствующие точкам А и В? Определить ускорения и написать уравнения движений (формулы для ско­ рости и перемещения) этих тел.

3. Пользуясь приведенными на рисунке

45 графиками скоростей трех тел, выпол­ нить следующие задания: а) определить ускорения этих тел; б) составить для каждого ’Тела формулу зависимости ско­ рости от времени; в) найти, в чем сход­ ны и в чем различаются движения, со­ ответствующие графикам 2 и 3?

4. На рисунке 46 показаны графики ско­ рости движения трех тел. По этим гра­ фикам: а) определить, чему соответству­ ют отрезки ОА( Об и ОС на осях коор­

46

динат; б) найти ускорения, с которыми движутся тела; в} написать уравнения движения для каждого тела.

5.Самолет при взлете проходит взлетную полосу за 15 с и в момент отрыва от земли имеет скорость 100 м/с. С каким ускорением двигался самолет и какова длина взлетной полосы?

6.Автомобиль остановился у светофора. После того как загорелся зеленый сигнал, он начинает двигаться с ускорением 1,5 м/с2 и движет­ ся так до тех пор, пока скорость его не станет равной 16 м/с, после чего он продолжает движение с постоянной скоростью. На каком рас­ стоянии от светофора окажется автомобиль через 15 с после появления

зеленого сигнала?

7. Снаряд, скорость которого равна 1000 м/с, пробивает стену блин­ дажа за 10~3 с и после этого имеет скорость 200 м/с. Считая движение снаряда в толще стены равноускоренным, найти толщину стены.

8. Ракета движется с ускорением 45 м/с2 и к некоторому моменту вре­ мени достигает скорости в 900 м/с. Какой путь она пройдет в следую­ щие 2,5 с?

9. На каком расстоянии от Земли оказался бы космический корабль через 30 мин после старта, если бы он все время двигался прямоли­ нейно с ускорением 9,8 м/с2?

14. Измерение ускорения

Один из способов измерения ускорения — это так называемый с т р о б о с к о п и ч е с к и й ме т о д . Он состоит в том, что дви­ жущееся тело в темноте освещают через равные промежутки времени световой вспышкой. Ясно, что тело будет видно только в тех положениях, в которых оно оказывается освещенным. Если тело в процессе его движения фотографировать (затвор фото­ аппарата должен быть открыт в течение всего времени движе­ ния), то на фотографической пленке будут видны последова­ тельные положения тела через равные промежутки времени.

Как по этим положениям тела определить его ускорение? Направим ось координат вдоль прямой, по которой движется

тело (рис. 47). Пусть в какой-то момент времени тело находится в точке А и скорость его в этот момент равна vA (начальная ско­ рость). Тогда перемещение Si за первый промежуток времени т равно:

Во второй промежуток времени т тело движется из В в С, имея начальную скорость vB, равную vA-\-ax. Его перемещение s2 равно:

47

лом, равна разности модулей перемещений s2 и

Рисунок 48 представляет собой копию с фотогра­ фии падающего шара, полученной методом вспы­ шек. Рядом помещена сфотографированная шкала для измерения расстояния.

15. Средняя скорость при прямолинейн равноускоренном движении. Связь

! J между перемещением и скоростью

Рис. 48 Часто бывает необходимо знать среднюю ско­ рость при равноускоренном движении. Как ее вы­ числить? Мы знаем, что

где оСр— проекция вектора средней скорости на ось координат. Но, с другой стороны, как мы видели (см. § 13),

Средняя скорость при равноускоренном движении равна по­ лусумме начальной и конечной скоростей.

Такое простое выражение для средней скорости получается благодаря тому, что график скорости — это прямая линия, г. е. скорость и время связаны линейной зависимостью.

Иногда бывает нужно вычислить перемещение тела, движу­ щегося равноускоренно, когда неизвестно, сколько времени про­ текло от начала движения, но известны значения начальной и конечной скорости тел^а. Формулу, позволяющую вычислить

48

Найдем из последней формулы значение t:

t = . ? ~ Vо

а

и подставим его в формулу (2). Получаем:

Отсюда

2

0

S — (5)

2 a

Мы получили формулу, позволяющую вычислить перемеще­ ние (а значит, и координату, потому что x=x0+ s ), если извест­ ны начальная и конечная скорость тела и его ускорение.

Пользуясь формулой (5), можно также найти значение ско­ рости в любой точке, через которую проходит тело. Из форму­ лы (5) следует:

v2 —v\ = 2as, или v2= i>2 + 2 as,

откуда

| о | = У + 2 as.

Если начальная скорость тела VQ равна нулю, то

Задача. При подходе к станции машинист выключил двига­ тель локомотива, после чего поезд стал двигаться с постоянным ускорением 0,1 м/с2. Какое перемещение поезд совершил до остановки, если в момент выключения двигателя скорость поез­ да была 20 м/с? Через сколько времени поезд остановился?

Р е ш е н и е . Координатную ось направим вдоль направле-

ния вектора скорости поезда Vo. Так как после выключения дви­ гателя скорость поезда уменьшается, то проекция его ускоре­ ния отрицательна. За начало отсчета времени примем момент

Подставляя сюда приведенные в задаче данные и учитывая, что в момент остановки поезда его скорость v равна нулю, получаем:

49