Учебники / Кикоин И.К., Кикоин А.К. Физика. 8 класс (1980)

t

наблюдателя на берегу траектория движения пловца — это прямая, наклоненная под некоторым углом (не равным 90°) к направлению те­ чения. Это тоже проявление отно­ сительности движения: в различ­ ных системах координат, движущих­ ся друг относительно друга, траек­ тории движения различны.

тельно воды Vz (рис. 36). Абсолютное значение вектора v равно

Из рисунка видно, что

/ '

Следовательно,

v2= Y v \ + v21;6543

1.В чем состоит относительность движения?

2.Как в примере с пловцом движутся вода и берег относительно

пловца?

3.Двигатель самолета сообщает хему скорость относительно воздуха, равную 900 км/ч. С какой скоростью движется самолет относительно Земли при попутном ветре, скорость которого равна 50 км/ч? при таком же встречном ветре?

4.По двум взаимно перпендикулярным шоссейным дорогам движутся равномерно грузовая и легковая автомашины со скоростями, соответ­ ственно равными 54 и 72 км/ч. На каком расстоянии окажутся друг от

друга автомобили через 10 мин после встречи у перекрестка?

5. Помогает или мешает течение переплыть реку? Помогает или мешает течение переплыть реку по кратчайшему пути?

6. Самолет, стартовав в Москве, 4держит по компасу курс на север, летя на высоте 8 км со скоростью V — 720 км/ч. Какими будут координа­ ты самолета относительно аэропорта через 2 ч после начала полета, если во время полета дует западный ветер со скоростью 10 м/с?

30

10.Единицы измерения длины и времени. Понятие о системе единиц

Из того, что до сих пор говорилось о движении, ясно, что при его изучении нужно определять по крайней мере две величины: перемещение и время.

Длины перемещений, как и промежутки времени, выражаются какими-то числами. Эти числа получают в результате измерений.

Измерить величину — значит сравнить ее каким-нибудь спо­ собом с однородной величиной, условно принятой за единицу измерения.

Можно, например, измерить длину школьного коридора, срав­ нив ее с длиной шага. Сосчитав, сколько шагов укладывается на длине коридора, мы узнаем, во сколько раз длина коридора боль­ ше длины шага. Это число (во сколько раз) и выражает длину коридора в шагах.

Следовательно, прежде всего необходимо выбрать единицу для измеряемой величины. Ее можно выбрать совершенно про­ извольно. Например, для измерения длины в разные времена и в разных странах применяли самые разнообразные единицы.

^Единицей длины служили и длина шага, и длина ступни челове­ ка, и расстояние от локтя до конца среднего пальца, и расстояние, проходимое пешеходом за день, и т. д. Когда мы читаем в коме­ дии А. С. Грибоедова «Горе от ума»:

Строжайше б запретил я этим господам На выстрел подъезжать к столицам.

мы понимаем, что здесь персонаж комедии Фамусов пользуется в качестве единицы длины расстоянием, которое пролетает снаряд, выпущенный из пушки,— эту своеобразную единицу длины охот­ но применяли в старину военные.

В настоящее время принята единая для всех стран единица длины — м е т р (м).

1 метр — это расстояние между двумя штрихами, нанесенны­ ми на стержне особой формы, изготовленном из сплава платины и иридия.

Этот, как говорят, э т а л о н д л и н ы хранится в Междуна­ родном бюро мер и весов во Франции. В других странах имеются точные копии этого эталона. По ним и устанавливается длина бесчисленных линеек-метров, которыми обычно и измеряют длину. ^

Кроме основной единицы длины — метра, широко пользуются единицами, которые в 10, 100, 1000 и т. д. раз больше или меньше метра ( к и л о м е т р , с а н т и м е т р , м и л л и м е т р , м и к р о ­ ме тр) .

Единицу времени тоже можно выбрать произвольно. Но нель­ зя, разумеется, изготовить эталон времени в виде какого-то пред­ мета, вроде линейки-метра. Эталоном времени должна служить продолжительность какого-либо правильно повторяющегося про-

31

цесса, если она строго постоянна. В настоящее время в качестве такого процесса выбрано движение Земли вокруг Солнца: один оборот Земля совершает за год. Но за единицу времени прини­ мают не год, а определенную часть этого промежутка времени — с е к у н д у (с): 1 год=31556925,9747 с (для очень грубых расче­ тов можно считать, что 1 год=я • 107 с).

В быту и технике часто применяют другие единицы времени: м и н у т у (мин) и ч а с (ч): 1 мин = 60 с и 1 ч = 3600 с.

Кроме длины и времени, мы уже имели дело еще с одной ве­ личиной — скоростью. Нужно ли для нее выбирать специальную единицу?

Этого, оказывается, можно не делать, потому что скорость, как мы знаем, связана с длиной и временем формулой:

Из этой формулы видно, что если за 1 с какое-нибудь тело совершает перемещение длиной 1 м, то скорость тела окажется

равной единице^ Скорость такого движения и можно при­

нять за единицу скорости.

За единицу скорости принимают скорость такого равномерного прямолинейного движения, при котором тело за 1 с совершает перемещение в 1 м.

Не выбирают специальной единицы, например, и при изме­ рении объема, так как объем связан с длиной и его можно изме­ рять в кубических метрах. В каких же случаях надо выбирать специальную единицу измерения, а в каких не надо?

Между физическими величинами существуют определенные зависимости, потому что все явления природы связаны так или иначе между собой. Связь между величинами выражают в виде математических формул. Такие же формулы будут связывать между собой и единицы измерений физических величин. Поэтому единицы измерений одних величин можно выразить через едини­

единицы измерений. Единицы же для всех других величин (п р о- и з в о д н ы х величин) можно тогда установить на основании математических формул, которые связывают их с основными величинами.

Совокупность установленных таким образом единиц для всех физических величин называют с и с т е м о й е д и н и ц .

Системы единиц могут быть разные. Они зависят как от того, какие физические величины выбраны в качестве основных, так и от выбора единиц измерения основных величин.

В настоящее время принята М е ж д у н а р о д н а я с и с т е ­ ма е д и н и ц (сокращенно обозначается СИ — Система Интер-

32

национальная). Она строится на основе семи основных величин, в число которых входят длина и время. В СИ единицей длины является метр, а единицей времени — секунда. С остальными основными величинами, на которых основана СИ, и с их едини­ цами измерения мы ознакомимся позднее.

В физике, кроме СИ, пользуются и другой системой единиц,

число основных величин. Но за единицу длины в ней принят не метр, а сантиметр. (Подробности о единицах длины и времени см. на обороте обложки.)

САМ ОЕ ВАЖНОЕ В ПЕРВОЙ ГЛАВЕ

Явление механического движения тел (материальных точек) состоит в том, что положение тела относительно других тел, т. е. его координаты, с течением времени изменяется.

Чтобы найти координаты тела в любой момент времени, нужно знать начальные координаты и вектор перемещения тела. Изме­ нение координаты тела равно проекции вектора перемещения на ось координат.

Самый простой вид движения — это прямолинейное равно­ мерное движение. При таком движении нужно определять лишь одну координату потому, что координатную ось можно направить вдоль направления движения тела. Координату х тела (матери­ альной точки) в любой момент времени t можно вычислить по формуле

x = x0+ vt9

где хо — начальная координата тела, a v — проекция вектора его скорости на ось X. При вычислениях по этой формуле знаки вхо­ дящих в нее величин определяются условием задачи.

Всякое движение относительно'. Это значит, что перемещение и скорость тела относительно различных систем координат, дви­ жущихся друг относительно друга, различны.

Относителен и покой. Если относительно какой-то системы координат тело покоится, то существуют и такие системы отсчета* относительно которых оно движется.

2 Ф и зи ка , 8 кл .

Глава 2

ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ НЕРАВНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ

Введение

Прямолинейное равномерное движение, при котором переме­ щение линейно зависит от времени в соответствии с формулой

s = vt, встречается сравнительно редко. Гораздо чаще приходится иметь дело с движением, при котором перемещения тела за рав­ ные промежутки времени могут быть различными. Так обычно движутся поезда, автомобили, самолеты и т. д. При таком дви­ жении нельзя сказать, что перемещение пропорционально времени.

Движение, при котором тело за равные промежутки времени совершает неодинаковые перемещения, называют неравномер­ ным движением.

Вэтом случае формулой s=±vt для вычисления перемещения пользоваться нельзя. Как же вычислять перемещение при нерав­ номерном движении и что для этого нужно знать?

11.Скорость при неравномерном движении

Внекоторых случаях, когда имеют дело с неравномерным дви­

жением, пользуются так называемой с р е д н е й с к о р о с т ь ю . Если тело совершило некоторое перемещение s за промежуток времени t, то, разделив s на t, мы получим среднюю скорость:

Таким образом, средняя скорость показывает, чему равно перемещение, которое тело в среднем совершает за единицу вре­ мени *.

Если, например, поезд, двигаясь по прямой, проходит 600 км за 10 ч, то это значит,, что в среднем он за каждый час прохо­ дит 60 км.

Но ясно, что какую-то часть времени поезд вовсе не двигался, а стоял на остановке; трогаясь со станции, поезд увеличивал свою

1 Часто, говоря о средней скорости, например, автомобиля или пешехода,

vcp —* t *

34

скорость, приближаясь к ней — уменьшал ее. Все это при опре­ делении скорости мы не принимаем во внимание и считаем, что

поезд каждый час проходит по 60 км, каждые полчаса — по

♦

30 км и т; д. Пользуясь формулой vcp мы как бы считаем, что поезд совершает равномерное движение с постоянной скоростью, равной иСр, хотя, быть может, за все время движения не

зультат только для того участка траектории, для которого опре­ делена средняя скорость. Если, пользуясь значением средней скорости в 60 км/ч, вычислять перемещение поезда не за 10 ч, а за 2, 4 или 5 ч, то мы получим неверный результат. Это объясня­ ется тем, что средняя скорость за время 10 ч не равна средним скоростям за 2, 4 и 5 ч.

Мы сделали попытку свести неравномерное движение к рав­ номерному и для этого ввели среднюю скорость движения. Но это нам не помогло: зная среднюю скорость, нельзя решать главную задачу механики — определять положение тела в любой момент времени. Можно ли каким-нибудь другим способом свести не­ равномерное движение к равномерному?

Этого, оказывается, сделать нельзя, потому что механическое движение — это процесс непрерывный. Непрерывность движения состоит в том, что если, например, тело (или точка), двигаясь прямолинейно с возрастающей скоростью, перешло из точки А в точку В, то оно непременно должно побывать во всех промежу­ точных точках, лежащих между А и В, без всяких пропусков. Но это еще не все. Предположим, что, подходя к точке Ау тело двигалось равномерно со скоростью 5 м/с, а после прохождения точки В оно двигалось тоже равномерно, но со скоростью 30 м/с. При этом на прохождение участка АВ тело потратило 15 с. Сле­ довательно, на отрезке АВ скорость тела за 15 с изменилась на 25 м/с. Но так же как тело при своем движении не могло мино­ вать ни одну из точек на его пути, его скорость должна была принять все значения скорости между 5 и 30 м/с. Тоже без вся­ ких пропусков! В этом и состоит непрерывность механического движения: ни координаты тела, ни его скорость не могут изме­ няться скачками. Отсюда можно сделать очень важный вывод. Различных значений скорости в интервале от 5 до 30 м/с имеется бесчисленное множество (в математике говорят, бесконечно много значений). Но между точками А и В имеется и бесчислен­ ное множество (бесконечно много) точек, а 15-секундный интер-

Рис. 37

вал времени, в течение которого тело переместилось из точки А в точку В, состоит из бесчисленного множества моментов вре­ мени (время тоже течет без скачков!).

Следовательно, в каждой точке траектории движения и в каждый момент времени скорость тела имела определенное значение.

Скорость тела в данный момент времени или в данной точке траектории называют мгновенной скоростью.

При равномерном прямолинейном движении скорость тела определяется отношением его перемещения к промежутку време­ ни, за который совершено это перемещение. Что же означает скорость в данной точке или в данный момент времени?

Допустим, что некоторое тело (как всегда, мы имеем в виду какую-то определенную точку этого тела) движется прямолиней­ но и поступательно, но не равномерно. Как вычислить его мгно­ венную скорость в некоторой точке А его траектории? Выделим небольшой участок / на этой траектории, включающий точку А

(рис. 37). Малое перемещение тела на этом участке обозначим

->

через 51, а малый промежуток времени, в течение которого оно

совершено, через Д^‘. Разделив Si на Д^, мы получим среднюю скорость на этом участке: ведь скорость изменяется непрерывно и в разных местах участка / она различна.

Уменьшим теперь длину участка /. Выберем участок 2

(см. рис. 37), тоже включающий в себя точку А. На этом участке —► —► —■>

перемещение равно S2 ( \sz\ < |s i |) и проходит его тело за проме­

нам среднюю скорость для этого меньшего участка. Еще меньше изменение скорости на протяжении участка 3 (также включаю-

1 Знак А (греческая буква «дельта») означает «изменение», «кусочек», «промежуток».

36

щего в себst точку А), меньшего, чем участки 1 и 2. Разделив

перемещение s3 на промежуток времени Д/3, мы опять получим среднюю скорость на этом малом участке траектории.

Будем постепенно уменьшать промежуток времени, за кото­ рый мы рассматриваем перемещение тела. Одновременно с ним будет уменьшаться и перемещение тела. В конце концов пройден­ ный точкой тела участок траектории, примыкающий к точке А, стянется в саму точку А. Тогда-то средняя скорость и станет мгновенной скоростью в точке Л, в которой тело находится в данный момент времени. Ведь на достаточно малом участке изме­ нение скорости будет настолько мало, что его можно не учиты­ вать, значит, можно считать, что скорость не изменяется.

Мгновенная скорость, или скорость в данной точке, равна от­ ношению достаточно малого перемещения на участке траекто­ рии, примыкающем к этой точке, к малому промежутку вре­ мени, в течение которого совершается это перемещение.

Понятно, что скорость равномерного прямолинейного движе­ ния — это одновременно его мгновенная и средняя скорость.

Мгновенная скорость — величина векторная. Ее направление совпадает с направлением перемещения (движения) в данной точке. В дальнейшем, говоря о скорости неравномерного движе­ ния, мы будем подразумевать мгновенную скорость.

Прием, к которому мы прибегли, чтобы пояснить смысл мгновенной скорости, состоит, таким образом, в следующем. Участок траектории и время, в течение которого он проходится, мы мысленно постепенно уменьшаем до тех пор, пока участок уже нельзя отличить от точки и неравномерное движение — от рав­ номерного. Таким приемом всегда пользуются, когда изучают явления, в которых играют роль какие-нибудь непрерывно изме­ няющиеся величины *.

Нам остается теперь выяснить, что необходимо знать для нахождения мгновенной скорости тела в любой точке траектории и в любой момент времени.

71- Что такое средняя скорость?

2.Можно ли, зная среднюю скорость движения тела за определенный

промежуток времени, найти перемещение, совершенное телом за лю­ бую часть этого промежутка?

3.В чем состоит непрерывность движения?

4.Что такое мгновенная скорость?

5.Половину времени при переезде из одного пункта в другой автомо­ биль проехал с постоянной скоростью 60 км/ч. С какой постоянной скоростью он должен двигаться оставшееся время, если средняя ско­ рость движения равна 65 км/ч?

скоростью 60 км/ч. Определить среднюю скорость автомобиля.

1 Краткое, но выразительное описание этого приема, составляющего ос­ нову так называемого дифференциального исчисления, можно найти на пер­ вой странице третьей части III тома романа Л. Н. Толстого «Война и мир».

37

12. Ускорение. Равноускоренное движение

При неравномерном движении мгновенная скорость тела непрерывно изменяется: от точки к точке, от одного момента времени к другому. Как же вычислить мгновенную скорость тела?

Мы видели, что для вычисления перемещения тела в любой момент времени нужно было знать, как быстро оно изменяется с течением времени. Точно так же для вычисления скорости в любой момент времени нужно знать, как быстро она изменяется, или, другими словами, каково изменение скорости в единицу времени.

Для простоты мы будем рассматривать такое неравномерное движение тела, при котором его скорость за любые равные про­ межутки времени изменяется одинаково. Такое движение назы­ вается р а в н о у с к о р е н н ы м .

Движение тела, при котором его скорость за любые равные промежутки времени изменяется одинаково, называют равноус­ коренным движением.

Если в некоторый начальный момент времени скорость тела

,7->

равна v0) а через промежуток времени t она оказывается равной v,

(см. § 5). Обозначают ускорение буквой a: -> ->

(1)

Ускорением тела при его равноускоренном движении назы­ вают величину, равную отношению изменения скорости тела к промежутку времени, в течение которого это изменение про­ изошло.

Если ускорение тела по абсолютному значению велико, то это значит, что тело быстро набирает скорость (когда оно разгоня­ ется) или быстро теряет ее (при торможении) *.1

1 Если скорость тела за равные промежутки времени изменяется неоди­ наково, то на одних участках пути скорость может изменяться быстро, на

средним ускорением за время t.

Применительно к ускорению можно использовать тот же прием, которым мы воспользовались, когда говорили о мгновенной скорости. Это приведет нас к выводу, что в каждой точке траектории и в каждый момент времени тело,

38

то можно вычислить значение скорости v тела в любой момент времени. Действительно, из формулы (1) следует, что

единице, если равно единице абсолютное значение изменения ско­ рости и равен единице промежуток времени.

За единицу ускорения принимают ускорение такого равно­ ускоренного движения, при котором за единицу времени скорость изменяется на единицу скорости.

В СИ скорость измеряется в метрах в секунду, а время — в секундах, так что ускорение измеряется в метрах в секунду за секунду или в метрах на секунду в квадрате (м/с2). В системе единиц СГС скорость измеряется в сантиметрах в секунду, а вре­ мя в секундах, поэтому единицей ускорения является 1 см/с2.

Мы уже говорили, что при вычислениях удобнее пользоваться уравнениями, в которые входят не векторы, а их проекции на оси координат.

При прямолинейном движении векторы Оо и v направлены вдоль одной прямой, которая является в то же время и траекто­ рией движения. Вдоль этой же прямой удобно направить и коор­ динатную ось (например, ось Л').

В § 5 мы видели, что проекция суммы двух векторов на какую-

Так как все три вектора v, Vo и а лежат на одной прямой (оси X), то абсолютные значения их проекций равны абсолют­ ным значениям самих векторов, а знаки проекций определяются

тем, как направлены эти векторы по отношению к выбранной оси.

—>■ —

Если знаки проекций векторов v0 и а совпадают, то абсолют­ ное значение скорости тела возрастает с течением времени —

тело разгоняется. Если же знаки проекций векторов v0 и а проти­

которое движется неравномерно, имеет некоторое определенное ускорение, величина которого может изменяться от точки к точке, от момента к момен­ ту. Ускорение, с которым тело движется в данной точке траектории или в дан­ ный момент времени, называют мгновенным ускорением.

39

V .