Учебники / Кикоин И.К., Кикоин А.К. Физика. 8 класс (1980)

правочной станции автомобили встретились и после этога про­ должали свой путь. Определить положение каждого автомобиля через 30 мин после встречи и расстояние между ними в этот момент (рис. 25).

Р е ш е н и е . За начало координат примем заправочную стан­ цию, а момент встречи автомобилей — за начало отсчета време­ ни. Координатную ось (обозначим ее буквой X ) направим слева направо. Тогда координаты автомобилей через 0,5 ч после встре­ чи можно вычислить по формулам:

*1 = *01 + t»it и х2= х02+ v2t.

Начальные координаты Xoi и Xoz у обоих автомобилей равны нулю. Поэтому

Хг = Vjt и х2 — v2t.

Проекция г>1 скорости первого автомобиля положительна, потому что вектор его скорости направлен так же, как ось X. Она равна +60 км/ч. Проекция Vz скорости второго автомобиля отрицатель­ на, так как вектор его скорости направлен против положительно­ го направления оси X, так что v2 = —90 км/ч.

Следовательно,

^ = 60 — • 0,5 ч = 30 км,

х2 — — 90 - • 0,5 ч = —45 км.

Расстояние I между автомобилями равно разности их ко­ ординат: «|

I = *1*® х2= 30 км — (— 45 км) = 75 км.

Задача 2. Два автомобиля движутся по взаимно перпендику­ лярным дорогам по направлению к перекрестку этих дорог. В не­ который момент времени первый автомобиль, движущийся со скоростью v\= 40 км/ч, находился на расстоянии 400 м от пере­ крестка. Второй автомобиль в тот же момент времени находился на расстоянии 700 м от перекрестка. С какой скоростью движется второй автомобиль, если оба автомобиля подъезжают к пере­ крестку одновременно?

20

Р е ш е н и е. За начало координат примем пере­ кресток дорог, оси коор­ динат направим вдоль до­ рог (рис. 26). Первый ав­ томобиль движется вдоль оси X, второй -г- вдоль оси У. Поэтому при дви­ жении первого автомоби­ ля изменяется только его координата х :

х= х0 + vxt,

апри движении второго

автомобиля изменяется лишь его координата у:

У= Уо + v4-

Вмомент t=to, соответствующий встрече автомобилей, их координаты равны нулю. Следовательно,

О= х0+ 1>Л,

0 = у0 + v2t0.

Из первого уравнения найдем to:

и подставим его значение во второе уравнение. Получим

О = Уо — - j J - *о -

Отсюда

П р ­

ианальная координата первого автомобиля отрицательна: Хо— —400 м, а проекция его скорости на ось X положительна: 14= +40 км/ч,- Начальная координата у0 второго автомобиля положительна и равна +700 м. Следовательно,

Знак «минус» означает, что второй автомобиль движется в на­ правлении, противоположном направлению оси Y.

1* Следует ли считать величину I, вычисленную в задаче 1, векторной? 2. В чем различие между перемещением и пройденным путем при пря­ молинейном движении?

21

3. Объяснить, в чем различие между величинами, определяемыми вы-

-*■

4.Какая имеется связь между скоростью тела и изменением его по­ ложения в пространстве?

5.Группа туристов, двигаясь с постоянной по абсолютной величине скоростью 5 км/ч, сначала в течение 1 ч идет на север, затем в тече­ ние 0,5 ч идет на восток (под углом 90° к направлению на север) и, на­ конец, в течение 1 ч 30 мин — на юг (под углом 180°). Где окажется группа после прохождения этих трех участков? Сколько времени ей

потребуется на возвращение в исходную точку по прямой?

6. Автомобилист, двигаясь со скоростью 30 км/ч, проехал половину пути до места назначения за 2 ч. С какой скоростью он должен про­ должать движение, чтобы за такое же время достигнуть цели и вер­ нуться обратно?

7. Графическое представление движения

V

Для большей наглядности движение можно описывать с по­ мощью г р а ф и к о в . Если по горизонтальной оси (оси'абсцисс) откладывать в определенном масштабе время, прошедшее с начала отсчета времени, а по вертикальной оси (оси ординат) — тоже в соответствующем масштабе — значения координаты тела, полученный график будет выражать зависимость координаты

(рис. 27). Это значит, что изменяется только его координата х. В моменты времени /=0, fi=10 с, /2=20 с, *з=30 с и т. д. тело находится соответственно в точках, координаты которых: *о= 3 м (точка Л), *1 = 4 м, лг2 = 5 м и т. д.

Для того чтобы получить график движения тела, будем откладывать значения х по вертикальной оси, а по горизонталь­ ной оси — значения времени t. График этого движения представ­ ляет собой прямую линию, показанную на рисунке 28. Это значит,

22

моменты времени, предшество­

найдем, что тело за 3 с до того,

можно судить и о скорости дви­ жения. Ясно, что скорость тем

ше этот угол, тем больше изме­

с различными скоростями. Гра­ фики 7, 2 и 3 показывают, что тела движутся вдоль оси X в положительном направлении. Тело, график движения кото­ рого — прямая 4, движется в направлении, противополож­ ном направлению оси X. Из

графиков движения можно найти и перемещения движущегося тела за любой промежуток времени.

Из рисунка 29 видно, например, что тело 3 за время между 1 и 5 с совершило перемещение в положительном направлении, по абсолютной величине равное 2 м, а тело 4 за это же время совер­ шило перемещение в отрицательном направлении, равное по абсолютной величине 4 м.

Наряду с графиками движения часто пользуются г р а ф и к а ­ ми с к о р о с т и . Их получают, откладывая по оси ординат про­ екцию скорости тела, а по оси абсцисс по-прежнему время. Такие графики показывают, как изменяется скорость с течением вре­ мени, т. е. как скорость зависит от времени. В случае прямоли­ нейного равномерного движения эта «зависимость» состоит в том, что скорость с течением времени не меняется. Поэтому

23

график скорости представляет собой прямую, параллельную оси времени (рис. 30). График / на этом рисунке относится к случаю, когда тело движется в сторону положительного направления оси X. График II относится к случаю, когда тело движется в противоположном направлении (проекция скорости отрица­ тельна).

По графику скорости тоже можно узнать абсолютное значе­ ние перемещения тела за данный промежуток времени. Оно численно равно площади заштрихованного прямоугольника (рис. 31): верхнего, если тело движется в сторону положитель­ ного направления, и нижнего — в противоположном случае. Дей­ ствительно, площадь прямоугольника равна произведению его сторон. Но одна из сторон в определенном масштабе равна времени t, а другая — скорости v. А их произведение vt как раз и равно абсолютному значению перемещения тела.

С 1. Какому движению соответствует график, изображенный пунктиром

^на рисунке 29?

2* Пользуясь графиками (см. рис. 29), найти расстояние между телами

3. По графику, изображенному на рисунке 28, определить модуль и на­ правление скорости тела.

8.Относительность движения

В§ 2 мы видели, что положение тела (точки) в пространстве всегда задается относительно какого-то другого тела, выбранно­ го телом отсчета. Для этого через тело отсчета проводят оси координат. Принято говорить, что с этим телом отсчета связана система координат.

Но за тело отсчета мы можем принять любое тело и с каждым

из них связать свою систему координат. Тогда положение одного и того же тела мы можем одновременно рассматривать в разных системах координат. Ясно, что относительно разных тел отсчета в разных системах координат у одного и того же тела могут быть совершенно различные координаты. Например, положение авто­

24

мобиля на дороге можно определить, указав, что ой находится на расстоянии /4к северу от населенного пункта А (рис. 32). В то же время можно сказать, что автомобиль расположен на рассто­ янии /2 к востоку от пункта В. Это значит, что положение тела относительно: оно различно относительно разных тел отсчета и связанных с ними разных систем координат.

Но относительно не только положение тела. Относительно и его движение. В чем состоит относительность движения?

Ребенок, впервые попавший на реку во время ледохода, стоя на берегу, спросил: «На чем это мы едем?» Очевидно, ребенок «выбрал» в качестве тела отсчета плывущую по реке льдину. Находясь в покое относительно системы отсчета, связанной с берегом, ребенок двигался вместе с берегом относительно «вы­ бранной» им системы отсчета — льдины.

На практике часто приходится рассматривать движение одно­ го и того же тела относительно разных тел отсчета, которые сами движутся друг относительно друга. Так, артиллеристу важно знать, как движется снаряд не только относительно Земли, на которой его орудие стоит неподвижно, но и относительно танка, в который он стреляет и который сам движется относительно Земли; пилот интересуется движением самолета и относи­ тельно Земли, и относительно воздуха, который сам движется, и т. д.

Движения одного и того же тела относительно разных тел отсчета, движущихся одно относительно другого, могут быть со­ вершенно различными. Могут быть различными и траектории, и скорости движения этого тела.

Рассмотрим движения одного и того же тела относительно двух тел отсчета, которые сами движутся друг относительно друга. Примем для простоты, что одно тело отсчета неподвижное, а второе движется относительно первого прямолинейно и равно­ мерно.

Вот простой пример. Человек плывет вниз по течению реки с некоторой скоростью, которую он поддерживает постоянной, ра­ ботая руками и ногами (если бы он не работал руками и ногами, он бы просто лежал на воде и относи­ тельно воды находился в покое).

Примем за неподвижное тело отсче­ та берег, а за подвижное — воду.

Как же движется пловец относи­ тельно берега и относительно воды? Представим себе, что за движением пловца следят два наблюдателя: один — на берегу, а другой — в лод­ ке, которая без гребца плывет по течению реки. Относительно воды лодка покоится, а относительно

25

Рис. 33

берега она движется поступательно и равномерно с такой же скоростью, как и сама вода.

Проведем мысленно через точку О на берегу, в которой рас­ положился наблюдатель, оси координат ХУ, причем ось X напра­ вим вдоль течения реки (рис. 33). С лодкой (с водой) мы тоже свяжем систему координат Х'О'У', оси X' и У' которой парал­ лельны осям, X и У.

Найдем перемещение пловца относительно этих двух систем отсчета за одно и то же время t.

Наблюдатель в лодке через время t отметит, что пловец отно-

сительно него совершил перемещение Si. Разделив это перемеще-

-►

ние на время, он получит скорость пловца vc

(Vi— это скорость пловца относительно воды (лодки), т. е. в под­ вижной системе координат Х'О'У') .

Наблюдатель на берегу отметит, что за это время t перемещение пловца равно s, а сама лодка совершила перемещение sz

относительно берега. Из рисунка 33 видно, что перемещение s пловца относительно берега, т. е. в системе координат XOY, рав­ но сумме обоих перемещений:

S = sx -f s2.

Разделив s на t, наблюдатель на берегу получит скорость о плов­ ца относительно берега:

26

Рис. 34

—----- это, очевидно, скорость лодки (воды) относительно непод-

вижной системы координат (берега). Обозначим ее через v2.

-4*

Значит, г>2— это скорость подвижной системы координат относи­ тельно покоящейся.

Следовательно,

Эта формула называется формулой сложения скоростей. Точно такую же формулу сложения скоростей мы получили бы

и в том случае, если бы пловец плыл против течения (рис. 34).

Скорость движения тела относительно неподвижной системы координат равна геометрической сумме двух скоростей: скоро­ сти тела относительно подвижной системы координат и скорости самой подвижной системы относительно неподвижной.

Мы видим, что скорости тела относительно различных систем отсчета, движущихся друг относительно друга, различны. В этом и проявляется относительность движения.

В рассмотренном нами примере движущееся тело (пловец) и

Величины v, Oi и 02 в этой формуле могутбытькак положитель-

27

ными, так и отрицательными в зависимости от направлений век- -+■ —►

торов V, Vi И У2 по отношению к оси X.

Может случиться и так, что тело, которое движется в одной системе координат, находится в покое относительно другой. Если бы тот же пловец перестал работать руками и ногами и просто лежал бы на воде, то относительно лодки он находился бы в покое, а относительно берега он двигался бы со скоростью течения. Наоборот, если бы пловец плыл со скоростью течения, но в противоположном направлении, то в покое он находился бы относительно берега, а относительно воды он двигался бы со ско-

ростью oi= —02. Следовательно, относительно не только движе­ ние, но и покой. Если тело относительно какой-то системы коор­ динат покоится, то всегда можно найти такие системы координат, относительно которых оно движется. Это значит, что абсолютно покоящихся тел не существует. Движение свойственно всем телам и вообще всему, что существует в природе, т. е. всему материаль­ ному миру.

9. Относительность движения (продолжение)

Не всегда скорости движущегося тела и подвижной системы координат направлены вдоль одной прямой как в примере, рас­ смотренном в предыдущем параграфе.

Нашему пловцу могло понадобиться переплыть реку с одного берега на другой, так что двигаться он должен все время перпен­ дикулярно течению, т. е. перпендикулярно оси X (рис. 35). Попрежнему движение пловца считаем равномерным.

Каким будет это движение для наблюдателя в лодке (относи­

ке Л, и в точке В, и в любой другой точке. Через промежуток времени t, когда лодка будет находиться в точке С, пловец ока­

щение Si = CC' (см. рис. 35). Разделив перемещение Sy на время /,

наблюдатель в лодке получит скорость Vi пловца относительно подвижной системы координат X '0'Y

Направлена она вдоль оси У'.

Совсем другим будет представляться движение пловца, пере­ плывающего реку, наблюдателю, находящемуся на берегу. Для

28

Рис. 35

этого наблюдателя перемещаться будет и ось У'. В «его» системе координат перемещение пловца за то же время t представится

направленным отрезком O 'C ^ s, а перемещение лодки — отрез-

—> -*■

ком OC=s2 (рис. 35). Пловца отнесло вниз по течению. Из рисунка 35 видно, что перемещение s равно геометрической сумме перемещения St пловца относительно подвижной системы коорди-

нат X'O'Y' и перемещения s2 самой системы координат X'O'Y' относительно неподвижной системы XOY. Следовательно, и те­ перь так же, как и в примере, рассмотренном в предыдущем параграфе,

- > - > - >

S = $1 -f- s2.

Скорость пловца v относительно системы XOY равна:

->

Мы видим, что правило сложения скоростей осталось таким же, как и раньше. Однако теперь алгебраически скорости скла-

дывать нельзя, так как векторы Vi и о2 не параллельны друг Другу.

В примере, который мы рассмотрели, не только скорости дви­ жения, но и траектории пловца различны в разных системах координат. Если для наблюдателя в лодке траекторией движения пловца является прямая, перпендикулярная течению реки, то для

29