Учебники / Кикоин И.К., Кикоин А.К. Физика. 8 класс (1980)

пути можно найти, сложив все эти работы:

A = m \g \h 1 + m \g ‘\hi + m \'g\h3 + ... = т |'2 |(Л 1 + Л1+А3+ ...).

Но

hi + h2 + h3 + ... = h.

Следовательно,

A = m ]g\h.

Таким образом, работа силы тяжести не зависит от траекто­

рии движения тела и всегда равна произведению модуля силы тяжести на разность высот в исходном и конечном положениях.

При движении вниз работа положительна, при движении вверх — отрицательна.

Если после подъема вверх тело возвращается в исходную точку, то работа на таком замкнутом пути («туда и обратно») равна нулю. Это одна из особенностей силы тяжести: работа силы тяжести на замкнутой траектории равна нулю.

Равенство

выражающее работу силы тяжести, приложенной к некоторому телу, можно представить в другом виде. Раскрыв скобки и пере­ ставив порядок членов, мы получим:

A = — (m \g\hi — m \g \h 1).

Теперь в правой части равенства мы видим выражение, которое представляет собой изменение величины произведения массы

тела m на модуль ускорения свободного падения g и на высоту й, на которую поднято тело. Выходит, что работа силы тяжести равна взятому с противоположным знаком изменению величи­

ны m \g \h l.

Выше (см. § 65) мы назва­

ть2 ли величину — —» изменение

которой равно работе силы, кинетической энергией движу­ щегося тела. Теперь мы видим, что есть еще одна величина, изменение которой (хотя и с обратном знаком) тоже равно

работе силы — в данном слу-

...— . .I.

1 Напомним, что изменением ка­ кой-либо величины называют раз­ ность между ее последующим значе­ нием и предыдущим, а не наоборот.

186

чае силы тяжести. Поэтому величину m \g\h также называют

энергией, но не кинетической, а п о т е н ц и а л ь н о й : m \g\h — это потенциальная энергия поднятого на высоту h над нуле­ вым уровнем тела, на которое действует сила тяжести. Для

Следовательно, работа силы тяжести равна взятому с проти­

воположным знаком изменению потенциальной энергии.

Знак «минус» перед величиной изменения потенциальной энергии означает, что при положительной работе силы тяжести эта энергия уменьшается. Наоборот, при отрицательной работе силы тяжести (тело брошено вверх!) потенциальная энергия тела увеличивается. Кинетическая энергия «ведет себя» как раз проти­ воположным образом.

с обратным знаком, равно работе, произведенной силой тяжести. Можно также сказать, что потенциальная энергия тела, на

которое действует сила тяжести, равна работе, совершаемой силой тяжести при опускании тела на нулевой уровень.

Напомним, что на с. 182 похожие определения были даны для кинетической энергии.

В отличие от кинетической энергии, которая зависит от скоро­ сти движения теЛа, потенциальная энергия от скорости не зави­ сит, так что ею может обладать и покоящееся тело. Потенциаль­ ная энергия зависит от положения тела относительно нулевого уровня, т. е. от координат тела, ведь высота h — как раз и есть координата тела.

Мы видели, что нулевой уровень можно выбрать произвольно. Может оказаться, что тело находится ниже нулевого уровня и его координата отрицательна. В этом случае отрицательной будет и потенциальная энергия тела. Знак потенциальной энергии и ее абсолютная величина зависят от выбора нулевого уровня. Рабо­ та же, которая совершается при перемещении тела, определяется изменением потенциальной энергии тела. Она от выбора нулевого уровня не зависит.

л1. Зависит ли работа силы тяжести от длины пути, пройденного телом?

4 w ° т массы тела?

2. Тело, брошенное под некоторым углом к горизонту, описало пара­ болу и упало на землю. Чему равна работа силы тяжести, если началь­ ная и конечная точки траектории лежат на одной горизонтали?

3. Какая сила совершает работу при движении тела без трения по на-

187

клонной плоскости? Зависит ли величина этой работы от длины на­ клонной плоскости?

4. Как связана работа силы тяжести с потенциальной энергией тела? 5. Как изменяется потенциальная энергия тела при его движении вверх? 6. Что происходит с потенциальной энергией тела при его свободном падении?

7. Чем отличается потенциальная энергия поднятого тела от кинетиче­ ской энергии?

8. Груз массой 2,5 кг падает с высоты 10 м. На сколько изменится его потенциальная энергия через 1 с после начала падения (начальная ско­ рость груза равна нулю)?

9. Какая работа совершается, когда человек массой 75 кг поднимается по лестнице от входа в дом до 6 этажа, если высота каждого этажа 3 м. Движение человека считать равномерным (объяснить, почему важ­ но последнее указание).

67.Работа силы упругости. Потенциальная энергия упруго деформированного тела

Сила упругости, как мы знаем, возникает при деформации тел. По своему абсолютному значению она пропорциональна величине деформации (удлинению), а направлена в сторону, противопо­ ложную направлению смещения точек тела при деформации.

На рисунке 186, а показана пружина в ее естественном, недеформированном состоянии. Правый конец пружины закреплен, а к левому прикреплено тело. Направим ось координат ОХ, как показано на рисунке. Если пружину сжать, сместив рукой левый ее конец на расстояние Xi (рис. 186,6), то возникнет сила упру­ гости, действующая со стороны пружины на тело и равная:

где k — жесткость пружины.

Предоставим теперь пружину самой себе. Тогда конец пружи­ ны будет смещаться влево. При перемещении витков пружины

188

при движении тела изменяется от точки к точке. Если в началь­ ной точке абсолютное значение силы было равно kx\> то в конеч­ ной точке (в точке В) оно стало равным kx2.

Для вычисления работы силы упругости нужно взять среднее значение модуля силы упругости и умножить его на *i—х2 (см. § 64).

А = I ^ у п р . ср I ' (*1

Сила упругости пропорциональна деформации пружины. По­ этому среднее значение модуля силы упругости можно найти,

Там для среднего значения скорости равноускоренного движе­ ния мы получили формулу

иср - 2 ’

где i>o — начальное и oj — последующее значения скорости. По­ добно этому среднее значение модуля силы упругости можно определить по формуле

kx2

Здесь в правой части равенства стоит изменение величины со знаком «минус».

В § 66 величину m \g\h, изменение которой со знаком «минус», как мы видели, равно работе силы тяжести, мы назвали потен-

189

упругости равна взятому с противоположным знаком изменению потенциальной энергии пружины.

kx^

Обозначив и здесь потенциальную энергию —^— буквой Ер, мы снова можем написать:

А = - { Е р, - Е р1).

Как и величина m \g \h yпотенциальная энергия упруго дефор­ мированного тела зависит от координат. Ведь и хг в форму­ ле (1) — это удлинения пружины, но в то же время это и коорди­ наты конца пружины. Можно поэтому сказать, что потенциаль­ ная энергия во всех случаях зависит от координат.

Из формулы (1) видно, что работа силы упругости зависит только от начальной и конечной координат. Поэтому о работе силы упругости можно сказать то же, что говорилось о работе силы тяжести,— она не зависит от формы траектории и при дви­ жении тела под действием силы упругости по з а м к н у т о й траектории работа этой силы равна нулю.

Мы видели, что потенциальная энергия тела, на которое дей­ ствует сила тяжести, зависит от произвольно выбранного поло­ жения нулевого уровня. Точно так же в рассматриваемом нами случае деформированной пружины можно было бы совершенно произвольно выбрать уровень, от которого отсчитывались бы координаты конца пружины. Но здесь за нулевой уровень есте­ ственно выбрать положение конца пружины, когда ее деформация равна нулю. Так мы и поступили.

Потенциальная энергия упруго деформированного тела — это физическая величина, изменение которой, взятое с противо­ положным знаком, равно работе, произведенной силой упру­ гости.

Можно сказать также, что потенциальная энергия упруго

деформированного тела равна работе, которую совершает сила упругости при переходе тела в состояние, в котором деформа­ ция тела равна нулю. Это состояние принимается за «нулевое».654321

1.Как определяют среднее значение силы упругости?

2.В чем сходство работ, совершаемых силой упругости и силой тя­ жести?

3.Чему равна работа силы упругости, если тело, на которое рна дей­

ствует, пройдя некоторое расстояние, вернулось в исходную точку?

4.Чему равна потенциальная энергия упруго деформированного тела? Как связана работа силы упругости с потенциальной энергией упругой деформации?

5.Что общего у потенциальных энергий тела, на которое действует сила тяжести, и тела, на которое действует сила упругости?

6.Мальчик определил максимальную силу, с которой он может растя­ гивать динамометр. Она оказалась равной 400 Н. Какая работа совер­ шается при растяжении пружины? Жесткость пружины динамометра

равна 10 000 Н/м.

190

7. К пружине, верхний конец которой закреп­ лен, подвешено тело массой 18 кг. При этом длина пружины равна 10 см. Когда же к ней подвешивают тело массой 30 кг, ее длина ста­ новится равной 12 см. Вычислить работу, кото­ рую нужно совершить, чтобы растянуть пру­ жину от 10 до 15 см.

8. На рисунке 187 показан график зависимости силы упругости, возникающей при сжатии пру­ жины детского пистолета, от ее деформации. Вычислить работу, которая совершается при сжатии пружины на 2 см. Доказать, что эта ра­ бота численно равна площади треугольника ЛОВ.

9. Имеются две пружины с одинаковой жест­ костью. Одна из них сжата на 5 см, а вторая растянута на 5 см. Чем различаются удли­ нения этих пружин и их потенциальные энергии?

10.К пружинным весам подвешен груз. При этом груз опустился и стрелка весов остановилась на цифре 3. На сколько увеличилась потен­ циальная энергия пружины весов, если шкала весов градуирована ш ньютонах, а расстояние между соседними делениями шкалы равно 5 мм?

11.Сжатая пружина, жесткость которой равна 10 000 Н/м, действует на прикрепленное к ней тело с силой 400 Н. Чему равна потенциальная энергия пружины? Какая работа была совершена при ее сжатии? Ка­

кую работу совершит сила упругости пружины, если пружине дать воз­ можность распрямиться?

68.Потенциальная энергия — энергия взаимодействия. Общее определение энергии

Когда в предыдущих параграфах говорилось об энергии — кинетической или потенциальной,— мы говорили об энергии от­ дельных тел. Это, однако, не совсем верно.

Если речь идет о кинетической энергии —, то ее действи­

тельно можно приписать телу, которое движется с определенной скоростью v (относительно выбранной системы отсчета).

Потенциальной же энергией тело само по себе обладать не может.

Потенциальная энергия определяется силой, действующей на тело со стороны другого тела. Но взаимодействующие тела рав­ ноправны. Поэтому потенциальной энергией обладают только

И потенциальной энергией обладает не отдельно тело и не от­ дельно Земля, а система тел, состоящая из тела и Земли. Если систему отсчета и нулевой уровень связывают с поверхностью Земли, то для краткости говорят, что потенциальной энергией обладает, само тело, находящееся вблизи поверхности Земли. Так мы и поступали выше.

191

к

В случае упруго деформированного тела, например пружины, потенциальной энергией обладает не каждая точка тела, а цели­ ком все тело, состоящее из взаимодействующих друг с другом точек.

Так как сила взаимодействия зависит от координат тел, то и потенциальная энергия зависит от их координат. Этим потен­ циальная энергия отличается от кинетической.

Таким образом, потенциальная энергия системы тел равна всей работе, которая может быть совершена при переходе систе­ мы тел на нулевой уровень.

В случае кинетической энергии нулевой уровень — это состоя­ ние, при котором скорость тела равна нулю.

Вообще энергия тела или системы тел равна всей работе, которая может быть совершена при переходе тела или системы тел на нулевой уровень.

69. Закон сохранения полной механической энергии

В начале главы указывалось, что для энергии справедлив закон сохранения. Выясним, в чем он заключается.

Рассмотрим, как изменяется энергия тел, взаимодействующих только друг с другом. Напомним, что такие тела образуют замк­ нутую систему тел (см. гл. 8).

Взаимодействующие друг с другом тела могут обладать одно­ временно и кинетической, и потенциальной энергией. Например, искусственный спутник Земли обладает кинетической энергией потому, что он движется. Кроме того, система спутник — Земля обладает потенциальной энергией, потому что спутник и Земля взаимодействуют силой всемирного тяготения. Сталкивающиеся шары обладают одновременно и кинетической энергией, потому что они движутся, и потенциальной энергией, потому что они упруго деформированы.

Но если тела, образующие замкнутую систему, взаимодей­ ствуют друг с другом, то они как-то движутся друг относительно друга. При этом могут изменяться как их скорости, так и коор­ динаты. Следовательно, может изменяться как кинетическая, так и потенциальная энергия тел.

Обозначим через Epi потенциальную энергию взаимодейст­ вующих тел в некоторый момент времени, а через Ем их общую кинетическую энергию в этот же момент времени. Пусть Ерг и Ek2 — соответственно потенциальная и кинетическая энергия этих же тел в какой-нибудь другой момент времени.

В § 67 и 68 нами было установлено, что когда тела взаимо­ действуют силой упругости или силой тяжести, совершенная эти­ ми силами работа А равна взятому с противоположным знаком

192

С другой стороны, согласно теореме о кинетической энергии работа этой же силы равна изменению кинетической энергии:

Из сравнения формул (1) и (2) видно, что изменение кинети­ ческой энергии и изменение потенциальной энергии равны друг другу по абсолютному значению, но имеют противоположные

Если потенциальная энергия тел увеличивается, их кинетическая энергия на столько же уменьшается, и наоборот. Можно поэтому сказать, что происходит как бы превращение одного вида энер­ гии в другой.

Отсюда следует, что сумма кинетической и потенциальной анергии тел, составляющих замкнутую систему и взаимодейству­ ющих друг с другом силами всемирного тяготения и силами упругости, остается постоянной. В этом состоит з а к о н с о х р а ­ н е н и я э ц е р г и и .

Обычно сумму кинетической и потенциальной энергии систе­ мы тел называют п о л н о й м е х а н и ч е с к о й э н е р г и е й .

Полная механическая анергия замкнутой системы тел, взаи­ модействующих силами тяготения и упругости, остается неиз­ менной.

Превращение потенциальной энергии в кинетическую или кинетической в потенциальную — одно из самых замечательных явлений в природе. Это главное отличительное свойство энергии. В дальнейшем мы ознакомимся со многими другими примерами превращений одного вида энергии в другой.

Закон сохранения и превращения энергии позволяет лучше понять физический смысл работы. Из того факта, что одна и та же работа приводит к увеличению кинетической энергии и такому же уменьшению потенциальной энергии, следует, что

работа равна энергии, превратившейся из одного вида в другой.

В восьмой главе мы ознакомились с законом сохранения им­ пульса замкнутой системы тел. Теперь мы получили второй закон сохранения — закон сохранения энергии. Эти два закона носят самый общий характер и являются абсолютно точными даже тогда,, когда законы механики Ньютона перестают быть справедливыми.

Закон сохранения полной энергии можно использовать для решения многих механических задач.

Задача 1. Какой высоты Л достигнет тело, брошенное вверх

—*

сначальной скоростью ио?

Ре ш е н и е . Примем за начало отсчета высоты точку, откуда брошено тело. В этой точке потенциальная энергия тела равна

ти\

нулю, а кинетическая энергия его равна — ^— • Значит, полная

энергия тела равна О Н— “ ~2—*® верхней точке на высо­

те h потенциальная энергия тела равна m \g \h 9 а кинетическая равна нулю. Полная энергия в верхней точке равна, следова-

тельно, т | g | h. По закону сохранения полной энергии

Отсюда

2 | t |

Такое выражение для высоты подъема тела, брошенного вверх, мы получили и раньше (§ 16), но более сложным путем.

Задача 2. Шар массой т= 3 кг падает с высоты h = 3 м на столик, укрепленный на пружине (рис. 188), и сжимает ее. Опре­ делить максимальное сжатие пружины, еслиее жесткость равна

тывать от столика (рис. 188). В момент падения шара на столик

пружина будет максимально сжата, кинетическая энергия шара

станет равна нулю, а его потенциальная энергия равна —т | g | /.

Потенциальная энергия пружины будет в этот момент макси- kl2

мальной и равной—^— • По закону сохранения энергии

Ы2

Но кинетическая энергия шара m v * должна быть

равна той потенциальной энергии, которой он об­ ладал, когда находился на высоте Л:

194

Решив полученное квадратное уравнение и подставив значе­ ния данных из условия задачи, найдем /«0,5 м.

Задача 3. Подъемный кран поднимает груз массой т с вы­ соты Ло до высоты Л. При этом скорость груза увеличивается

от значения t>q до значения о. Какую работу совершает сила F натяжения троса, к которому подвешен груз?

Р е ш е н и е . Систему тел груз — Земля в данном случае нельзя считать замкнутой: кроме силы тяжести mg (силы взаимо­

действия с Землей), на груз действует внешняя сила F со сторо­ ны натянутого троса, который в систему не входит. Общая сила,

действующая на груз, равна F-\-mg. Так как силы F и mg направ­ лены в противоположные стороны, то работа равнодействующей этих сил равна

A = (\F \ — m \g \)(h — h0).

По теореме о кинетической энергии эта работа А равна измене­ нию кинетической энергии груза:

(МГ| - т | ? | ) ( * - « — Т - -----

Отсюда получаем

\f\( h — h0) = m \g \h — m \g \h 0+ ~ --------

Выражение, стоящее в левой части равенства, представляет собой работу внешней силы, а в правой части — изменение пол­ ной механической энергии системы. Следовательно, когда си­ стема тел не замкнута, ее полная механическая энергия изме­ няется на величину работы внешней силы.

Если, как это часто бывает, груз при подъеме движется с по­ стоянной скоростью (о = 1>о), то работа внешней силы равна изменению только потенциальной энергии системы.87654321

1.Что такое полная4механическая энергия тела?

2.В чем состоит закон сохранения полной энергии тела при его дви­ жении под действием силы тяжести?

3.Тело падает с некоторой высоты над землей, в момент падения его

скорость равна 30 м/с. С какой высоты падает тело?

4.Снаряд, получивший при выстреле из орудия начальную скорость

280м/с, летит вертикально вверх. На какой высоте над .местом выстре­ ла его кинетическая энергия будет равна потенциальной?

5.Тело массой 2 кг падает с высоты 30 м над землей. Вычислить кине­

тическую энергию тела в момент, когда оно находится на высоте 15 м над землей, и в момент падения на землю.

6.Баба копра при падении с высоты 8 м обладает кинетической энер­ гией в 18 000 Дж. Какова масса бабы копра?

7.Сохраняется ли полная механическая энергия тела при движении

под действием силы тяжести и силы упругости одновременно?

. Растянутая пружина, сокращаясь, увлекает за собой тело массой

50 г по горизонтальной плоскости без трения. В тот момент, когда де-