Учебники / Кикоин И.К., Кикоин А.К. Физика. 8 класс (1980)

что тело двигалось по прямой М\М2. Траектория движения тела, т. е. линия, по которой оно действительно двигалось, может не совпадать с этой прямой. Следующий пример поясняет это.

На рисунке 9 изображена географическая карта района Чер­ ного моря. Расстояние между Одессой и Севастополем по пря­ мой составляет 270 км, и, для того чтобы попасть из Одессы в Севастополь, нужно совершить перемещение, направленное при­ мерно на юго-восток и численно равное 270 км. Если мы отпра­ вимся в путешествие на теплоходе, то его действительное движе­ ние может происходить по прямой, совпадающей с перемещением. Но из Одессы в Севастополь можно ехать и на поезде. Линия железной дороги проходит через Николаев, Херсон, Джанкой и Севастополь. Ее протяженность 660 км. При путешествии по же­ лезной дороге траектория движения уже не будет совпадать с перемещением.

Ясно, что если нас интересует конечное положение поезда от­ носительно Одессы, то оно определяется перемещением Одесса— Севастополь. Если мы знаем, что перемещение направлено по прямой Одесса — Севастополь и составляет 270 км, то этих сведе­ ний достаточно для того, чтобы узнать, где расположен поезд. Но если нам сказано, что поезд прошел путь в 660 км, то это не поможет нам узнать, где он находится: из Одессы поезд мог от­ правиться в Москву, Киев, Харьков или в любой другой город.2

веденную величину: перемещением или длиной пути?

10

2. Штурман, определяя утром положение корабля, обнаружил, что ко­ рабль находится в точке, расположенной на 100 км к северу от пункта, в котором находился корабль накануне вечером. Что выражает при­ веденное здесь число: абсолютное значение перемещения или прой­ денный путь?

3. Дежурный по гаражу, принимая автомашину у закончившего работу шофера, записал увеличение показания счетчика на 300 км. Что озна­ чает эта запись: пройденный путь или абсолютное значение переме­ щения?

4. Вектор перемещения точки движущегося тела и изменение ее координат

Мы уже указывали, что если известен вектор перемещения

тела s (тело рассматривается как материальная точка) и из­ вестны координаты начального положения тела, то можно найти и координаты его последующего положения. Поясним это на примере движения тела на плоскости.

Изобразим систему координат XOY (рис. 10). Пусть началь­

ное положение тела Мо определяется координатами Хо и уо. При-

—>■

ставим к точке Мо вектор s перемещения тела. Как найти коор­

динаты х и у последующего положения тела (точки М )?

—>■

Опустим из начала М0 и конца М вектора 5 перпендикуляры MoNo и MN на ось X и перпендикуляры Мо^-о и ML на ось Y.

х =х0+ NoN.

Вектор перемещения s может быть направлен не так, как показано на рисунке 10 (см. рис. 11) Из рисунка 11 видно, что

и

координата х конца вектора s в этом случае равна разности

х0 и N0N:

х «= х0 —NQN.

Длина отрезка N0N между проекциями начала и конца век­

тора на ось, взятая со знаком «-|-» или «—», называется проек-

цией вектора s на ось X.

Проекция считается положительной, если от проекции нача­ ла к проекции конца вектора нужно идти по направлению оси, и отрицательной в противоположном случае.

Проекция вектора s на ось X на рисунке 10 положительна и равна +N0N, а на рисунке 11 она отрицательна и равна —NoN. Следовательно, во всех случаях координату х получим, сложив

начальную координату х0 с проекцией вектора s на ось X. Проекцию вектора мы будем обозначать той же буквой, что

и вектор, но без стрелки и с индексом, показывающим, к какой

Ясно, что если координата тела с течением времени увеличива­ ется, то изменение координаты, а следовательно, и проекция век­ тора на ось положительны. Если координата уменьшается, то ее изменение и проекция вектора имеют отрицательное значение.

На рисунке 10 показано такое перемещение тела, при кото­ ром обе координаты х и у при движении увеличиваются. Поэто-

му обе проекции вектора s — и sXf и sy — положительны. Вектор

же 5 на рисунке 11 таков, что координата х движущегося тела уменьшается, а координата у увеличивается, так что проекция sx отрицательна, a sy положительна.

12

Y

S

■

x

Рис. 12

Если вектор перемещения параллелен одной из осей коорди­ нат (или лежит на ней), то абсолютные значения проекции век­ тора и самого вектора равны. Знак же проекции определяется совсем просто: проекция вектора Положительна, если вектор на­ правлен так же, как ось (рис. 12), и отрицательна в противопо­ ложном случае (рис. 13). Ясно, что проекции этого вектора на другие оси равны нулю, при таком движении изменяется только одна координата. В подобных случаях нет необходимости ста­ вить индекс у обозначения проекции вектора. Например, в слу­ чае, показанном на рисунке 12, можно написать:

Sx==S.

Если по условию задачи для описания движения достаточно одной координатной оси, мы, как правило, не будем писать ин­ декса у проекции вектора на эту ось.

То, что говорилось о векторе перемещения и его проекциях, относится к любым векторам. Нужно только помнить, что длина проекции должна выражаться в тех же единицах и в том же масштабе, что и сам вектор.

Q1. Что называют проекцией вектора на ось?

^2. Как связан вектор перемещения тела с его координатами?

3. Каковы по модулю и по знаку проекции вектора перемещения, если

он направлен параллельно одной из ко­ ординатных осей?

4. Определить знаки проекций на ось X векторов перемещения, изображенных на рисунке 14. Как при этих перемеще­ ниях изменяются координаты тела?

5. В начальный момент времени тело находилось в точке с координатами

х——2 м и у=4 м. Тело переместилось

вточку с координатами х=2 м и у = 1 м. Найти проекции вектора перемещения на оси X и^У. Начертить вектор переме­ щения тела.

13

торый путь, так что проекция вектора перемещения на ось X ока­ залась равной 5,2 м, а на ось Y — равной 3 м. Найти координаты конеч­ ного положения тела. Начертить вектор перемещения. Каков его модуль?

5. Действия над векторами и их проекциями

Перемещение — особая величина. Особая потому, что пере­ мещение, как и всякий вектор, задается не только определенным числом, но и направлением. Таких величин в физике известно много.

Напомним, что векторные величины изображают отрезками прямых со стрелками, как это сделано на рисунке 7, а и б. Дли­ на отрезка в определенном масштабе показывает абсолютное значение (модуль) векторной величины, а стрелка указывает ее направление.

Два вектора равны, если равны их модули и они одинаково направлены.

Величины, не имеющие направления в пространстве, т. е. про­

Из курса математики VII класса известно, что действия над векторами выполняют по особым правилам, не похожим на пра­ вила, которые применяются при действиях над обычными числа­ ми. Напомним эти правила.

1. Сложение векторов. Векторы складываются геометриче-

ски. Если нужно сложить два вектора а и б, их располагаю^ так, чтобы они исходили из одной точки, как это показано на рисунке 15. Затем, считая, что расположенные таким образом векторы образуют две стороны параллелограмма, достраивают параллелограмм и проводят диагональ из точки, где совмещены начала обоих векторов. Эта диагональ и есть сумма векторов или р е з у л ь т и р у ю щ и й вектор.

14

вектора с отрицательный. Следовательно, проекция суммы век­ торов на заданную ось равна алгебраической сумме проекций слагаемых векторов на ту же ось. Поэтому, для того чтобы найти проекцию суммы векторов, нет необходимости находить резуль­ тирующий вектор и определять его проекцию. Надо просто сло­ жить проекции всех векторов, учитывая их знаки.

—►

2. Вычитание векторов. Чтобы найти вектор с, равный раз-

ности двух векторов а и Ь, нужно сложить векторы а и ( — Ь) (рис. 21):

- > - > - > - > ->

с — а — Ь = а-1- ( — Ь).

Вектор ( —Ь) равен по модулю и направлен противоположно вектору Ь.

По такому же правилу производят вычитание коллинеарных векторов (рис. 22, а, б).

Если нам нужно найти проекцию разности двух векторов _> ->

а и Ь, то, так же как в случае сложения векторов, нет необходи­ мости выполнять геометрические построения. Нетрудно убедить­ ся в том, что проекция разности векторов на ось равна алгебраи­ ческой разности их проекций на эту ось.

3. Умножение вектора на скаляр. Вектор а, умноженный на скаляр k, представляет собой вектор, модуль которого равен про­ изведению модуля вектора на модуль скаляра:

\ka\ = \k\-\a\.

Вектор ka направлен так же, как вектор а, если знак k положи­ тельный. Если же знак k отрицательный, то вектор ka направлен в сторону, противоположную вектору а.

16

Проекция вектора b= ka на ось равна умноженной на k

проекции вектора а на эту ось: bx=kax.

Итак, действия над векто­ рами производят по правилам геометрии. Действия же над проекциями векторов произво­ дят по обычным правилам ал­ гебры.

Если известны проекции ах

6.Перемещение при прямолинейном равномерном движении

потому что именно он связан с изменением координат движуще­ гося тела. Проекции вектора перемещения точки на координат­ ные оси просто равны изменениям ее координат.

Как же найти вектор перемещения? Что для этого нужно знать? Ответ на этот вопрос зависит от того, какое движение совершает тело.

Рассмотрим сначала самый простой вид движения — п р я м о ­ л и н е й н о е р а в н о м е р н о е д в и же н и е .

Прямолинейным равномерным движением называют движе­ ние, при котором тело за любые равные промежутки времени совершает одинаковые перемещения.

При движении тела вдоль прямой в одном направлении пере­ мещение тела непрерывно возрастает. Чтобы найти перемещение за время /, надо знать, как быстро оно возрастает. Быстроту этого возрастания определяют отношением перемещения к зна­ чению промежутка времени t, в течение которого оно произошло.

скалярная, то скорость тоже векторная величина:

Скоростью равномерного прямолинейного движения тела на­ зывают величину, равную отношению перемещения тела к про­

17

ч

межутку времени, в течение котррого это перемещение про­ изошло К

Скорость, таким образом, показывает, какое перемещение тело совершает в единицу времени.

Следовательно, для того чтобы найти перемещение тела за

данное время t, надо знать его скорость v. Тогда перемещение тела можно вычислить по формуле

По формулам, написанным в векторной форме, вычисления вести нельзя. Ведь векторная величина имеет не только числен­ ное значение, но и направление. При вычислениях удобно поль­ зоваться формулами, в которые входят не векторы, а их проек­ ции на оси координат, так как над проекциями ,можно произво­ дить алгебраические действия.

При прямолинейном движении траекторией является прямая линия. Естественно поэтому направить координатную ось вдоль этой прямой. В этом случае при движении тела будет изме­ няться только одна координата, например координата х, если выбранную ось обозначить через X. Вдоль этой оси будут на­ правлены и вектор скорости, и вектор перемещения тела.

Так как векторы s п vt равны, то равны и их проекции на ось X, т. е.

«д. = v j.

Мы выбрали координатную ось X так, чтобы она была на­ правлена вдоль той прямой, по которой движется тело. В таком случае, как мы условились, индекс при проекциях векторов пере­ мещения и скорости можно не ставить, так что вместо sx и vx можно писать s и v. Тогда

Теперь можно получить формулу для вычисления коорди­ наты точки х в любой момент времени. Мы знаем (см. § 4), что

X = Хо + sxt

следовательно,

Необходимо помнить, что в формуле (4) v — это проекция вектора скорости. А она, как всякая проекция вектора, может быть положительной и отрицательной. Если вектор скорости

1 Точнее, скоростью равномерного прямолинейного движения называют вектор, направленный так же, как перемещение тела, и равный по модулю отношению численных значений перемещения и промежутка времени, в тече­ ние которого это перемещение произошло. Обычно, однако, пользуются более коротким, хотя и менее точным определением, данным выше.

18

направлен так же, как ось X (рис. 24, а), то проекция его на ось X положительна. Если же направление вектора скорости противоположно направлению оси X (рис. 24,6), то его проек­ ция на эту ось отрицательна. Координата начального положе­ ния тела тоже может быть положительной и отрицательной: в начальный момент времени тело может находиться и по одну, и по другую стороны от начала отсчета.

Формула (4) позволяет найти положение тела (материаль­ ной точки) в любой момент времени при прямолинейном равно­ мерном движении. Для этого нужно знать начальную коорди­ нату тела (точки) х0 и проекцию вектора скорости на ось, вдоль которой движется тело (нужно, следовательно, знать вектор скорости!). Эта же формула показывает, какой смысл имеет величина «скорость».

Если движение происходит вдоль оси X, то проекция вектора

шло. Следовательно, при прямолинейном равномерном движении

проекция скорости тела на ось координат равна изменению коор­ динаты тела за единицу времени. Можно сказать, что скорость показывает быстроту изменения координаты.

Когда тело движется вдоль оси, то по значению проекции его скорости на эту ось можно найти и сам вектор скорости. Ведь их абсолютные значения совпадают, а знак проекции опре­ деляет направление скорости. Поэтому в дальнейшем в таких случаях мы часто для краткости будем называть скоростью значение ее проекции на ось. По тем же причинам проекцию перемещения мы часто будем называть перемещением. .

Подчеркнем еще раз, что для решения задали механики необходимо знать вектор скорости, а не его модуль. Спидомет­ ры, устанавливаемые в автомобилях, показывают именно мо­ дуль скорости. Им «все равно», куда движутся автомобили. По их показаниям поэтому нельзя определить ни направления дви­ жения автомобиля, ни его положения в любой момент времени.

Задача 1. По дороге навстречу друг другу движутся два автомобиля: один со скоростью 60 км/ч, другой — 90 км/ч. У за-

19