Учебники / Кикоин И.К., Кикоин А.К. Физика. 8 класс (1980)

Смысл понятия работы в механике не всегда совпадает с представлением о работе в обыденной жизни. Обычно считают,

тяжелая, утомительная работа. Работой считается выполнение учебных заданий, чтение трудных для понимания книг (хотя чте­ ние занимательной книги никто работой не назовет) и т. д.

В физическом же смысле все подобные действия не являются работой. С точки зрения механики работа совершается только тогда, когда сила действует на движущееся тело. Если, например, человек держит в руках неподвижный груз или толкает тяжелый шкаф, который ему не удается сдвинуть с места, то сила, с кото­ рой человек действует на груз или на шкаф, работу не совер­

шает. Это видно и из выражения (1). Ведь если тело не двига-

-*•.

ется, то перемещение 5 равно нулю, а значит, и работа равна нулю.

равна единице.

За единицу работы принимается работа, совершаемая силой, равной единице, при перемещении точки приложения силы на единицу длины в направлении силы.

В СИ сила измеряется в ньютонах, а перемещение — в мет­ рах. Поэтому за единицу работы принимается работа силы в 1 Н при перемещении точки ее приложения на 1 м. Эта единица ра­

1 эрг= 1 дин • см.

Нетрудно получить соотношение между двумя приведенными единицами работы.

Так как 1 Н = 105 дин, а 1 м = Ю2 см, то 1 Д ж = 1 Н • м= 105 дин • 102 см=107 эрг.

Следовательно, джоуль в десять миллионов раз больше эрга.

1. Одинакова ли совершаемая данной силой работа в двух системах отсчета, движущихся равномерно и прямолинейно друг относительно

друга?

2. Гребцам в лодке, несмотря на все их усилия, не удается заставить лодку двигаться против течения. Но она не движется и вниз по тече­ нию. Совершают ли работу гребцы?

176

3. Вычислить работу, совершаемую тяжелоатлетом, когда он равномер­ но поднимает штангу массой 140 кг на высоту 2 м.

4. Контейнер с кирпичом, масса которого равна 750 кг, поднимается со скоростью 25 м/с. Какая работа совершается за 20 с подъема?

5. Подъемный кран равномерно поднимает бетонную плиту размером 320X100X10 см на высоту 10 м. Вычислить работу, совершаемую при подъеме плиты, если плотность бетона равна 2400 кг/м3.

6. Вычислить работу, совершаемую ребенком, когда он поднимает игрушку массой 200 г на высоту 50 см с ускорением 5 м/с2.

7. На земле лежат 10 кирпичей. Высота каждого из них равна 65 мм, а масса — 3,5 кгг Какую работу нужно совершить, чтобы уложить все кирпичи один на другой?

64.Более общее определение работы

В§ 63 мы рассматривали работу, совершаемую одной силой, направленной в сторону движения тела. В этом случае тело дви­ жется ускоренно. Часто на тело действует не одна, а несколько сил. Как вычислить работу этих сил?

Рассмотрим вначале случай, когда тело движется прямоли­ нейно и равномерно. В этом случае векторная сумма сил, дей­ ствующих на тело, равна нулю. Например, при равномерном подъеме груза с помощью подъемного крана на груз действует сила натяжения троса, направленная в сторону перемещения — вверх, и сила тяжести, направленная против движения — вниз. При перемещении сейфа по полу на сейф действует мускульная сила, с которой человек толкает или тянет сейф, и сила трения скольжения, наЦравленная противоположно движению сейфа.

Совершают ли работу силы, направленные противоположно перемещению?

Чтобы ответить на этот вопрос, вспомним, что если векторная сумма сил, приложенных к телу, равна нулю, то все должно происходить так, как будто на него вовсе не действуют никакие силы. Но тогда и суммарная работа всех сил, приложенных к телу, должна быть равна нулю.

Отсюда следует, что силы, направленные против перемещения, тоже совершают работу, но работа эта имеет знак, противополож­ ный знаку работы, совершаемой силой, направленной по движе­ нию (перемещению) тела. Значит, работа может быть как поло­ жительной, так и отрицательной.

Естественно считать работу положительной, когда направле­ ние силы и направление перемещения совпадают. Работа, совер­

шаемая силой, направленной противоположно перемещению тела, отрицательна.

Отрицательную работу совершает, например, сила тяжести при поднятии груза вверх.

Мы говорили здесь только о работе сил, направленных либо по направлению движения, либо в противоположную сторону. В первом случае работа силы положительна, во втором — отрица­ тельна. Но направление силы может и не совпадать с направле-

177

F2M

#•

Рис. 178

нием перемещения. На рисунке 178 показаны сани, движущиеся

по горизонтальной поверхности, а сила F, приложенная к саням, направлена под углом а к горизонту. Как вычислить работу, ко-

торую совершает сила F, если перемещение санок равно s?

Силу F можно представить как сумму двух сил Fi и /V (рис. 178, а). Так как в вертикальном направлении перемещение

санок равно нулю, то работа силы F2 равна нулю. Поэтому работа силы F равняется работе только силы Л:

Из рисунка видно, что |Fi| = |F|cosa, следовательно,

Работа, совершаемая постоянной силой, равна, произведению абсолютных значений силы и перемещения, умноженному на косинус угла между векторами силы и перемещения.

Заметим, что произведение |/7|cosa равно проекции силы F на направление перемещения. Поэтому можно сказать, что работа силы равна произведению абсолютного значения перемещения и проекции силы на направление перемещения.

Нельзя говорить, что работа куда-то направлена.

Если направление (силы F совпадает с направлением переме­ щения s, то угол а= 0 и cosa= l. Тогда из формулы (2) следует,

что А = | F | • | s [.

Если угол а тупой (см. рис. 178,6), то cosa принимает отри­ цательное значение. Это значит, что работа, совершаемая такой силой, отрицательна. В частности, если а=180°, то cosa= —1

и работа А = —| F | • |s | .

178

179

кающая при деформации пружины сила упругости со­ вершает отрицательную ра­ боту, потому что эта сила направлена вверх, а тело движется вниз. В то же время сила тяжести, тоже действующая на тело, совер­ шает положительную рабо­ ту. Но после того как тело, достигнув определенного наинизшего положения, нач­

нет двигаться вверх, роли приложенных к телу сил переменятся: сила тяжести станет производить отрицательную работу, а сила упругости, направление которой теперь совпадает с направ­ лением движения, будет совершать положительную работу. Сила упругости и сила тяжести могут совершать и положитель­ ную, и отрицательную работу. Но этого нельзя сказать о силе трения, действующей на тело, скользящее вдоль другого, непод­ вижного тела. В этом случае сила трения направлена против движения. Работа этой силы, следовательно, всегда отрицатель­ на. Заметим, что когда работа какой-нибудь силы отрицательна, то говорят, что совершается работа против этой силы. При подъ­ еме груза, например, можно сказать, что сила натяжения троса подъемного крана совершает работу против силы тяжести; сила, с которой локомотив действует на железнодорожный состав, совершает работу против силы трения колес о рельсы и против силы сопротивления воздуха и т. д.

А \ 1. В каком случае сила совершает положительную и в каком — отрица-

^■ тельную работу?

2.Чему равна работа силы, если эта сила направлена под углом к пе­ ремещению тела?

3.Автомобиль движется по ровной горизонтальной дороге. Соверша­ ет ли работу сила тяжести, действующая на автомобиль?

4.Совершает ли работу сила притяжения Луны к Земле при ее движе­ нии по орбите вокруг Земли? Лунную орбиту считать круговой.

5.На рисунке 180 изображено тело, к которому приложено несколько сил. Указать, какие из этих сил совершают положительную работу, ка­

кие — отрицательную.

6. Тело брошено вертикально вверх. Указать, положительную или от­ рицательную работу совершает сила тяжести: а) при подъеме тела, б) при его падении.

7. На груз, скользящий с трением по плоской горизонтальной поверх­ ности, действует сила в 200 Н, направленная под углом 60° к горизонту. Какую работу совершит сила при перемещении тела на 5 м, если дви­ жение происходит с постоянной скоростью? Каков коэффициент трения груза о плоскость, если масса груза 31 кг?

8. Тело, масса которого 50 кг, скользит с трением по наклонной пло­ скости с углом наклона к горизонту 30°. Двигаясь с постоянной ско­ ростью, тело проходит всю длину плоскости, равную 6 м. Вычислить работу силы тяжести при этом движении и силу трения, действующую на тело.

180

65. Работа, совершаемая силами, приложенными к телу, и изменение его скорости. Теорема о кинетической энергии.

—►

Рассмотрим тело, на которое действует сила F,— она может быть и равнодействующей нескольких сил. О силе F можно ска­

зать следующее: во-первых, она сообщает телу ускорение, благо-

—►

даря чему изменяется его скорость; во-вторых, сила F совершает работу, потому что тело перемещается. Можно ожидать, что между работой, произведенной силой, и изменением скорости тела существует какая-то связь. Попытаемся ее установить.

Направим координатную ось X вдоль перемещения тела ~s (рис. 181). Тогда модуль перемещения s равен его проекции s на ось X. Обозначим проекцию силы F на ось X через F, а проекцию ускорения а тела через а. Совершаемая силой F работа равна

А = Fs.

По второму закону Ньютона

F= та.

Сдругой стороны, во второй главе мы нашли, что при прямоли­ нейном равноускоренном движении

где Vi и г>2 — проекции скоростей в начале и в конце рассматри­ ваемого участка пути тела.

Отсюда следует, что

изменение величины—^— » т- е* половины произведения массы

тела на квадрат его скорости. Величина эта носит особое на­

181

т. e. кинетическая энергия тела увеличивается. Так и должно быть, так как сила, направленная в сторону движения тела, уве­ личивает абсолютное значение его скорости. Легко понять, что, когда направление силы противоположно направлению переме­ щения и, следовательно, сила совершает отрицательную работу, кинетическая энергия тела уменьшается.

Из формулы (1) следует, что кинетическая энергия измеря­ ется в тех же единицах, что и работа, т. е. в джоулях.

Теорему о кинетической энергии мы получили, пользуясь вто­ рым законом Ньютона. Поэтому она справедлива независимо от того, какие именно силы действуют на тело: силы упругости, силы трения или силы всемирного тяготения, в частности сила тяжести,

Можно показать также, что теорема о кинетической энергии справедлива и в тех случаях, когда сила не постоянна, а изменя­ ется и ее направление не совпадает с направлением переме­ щения.

Физический смысл кинетической энергии легко понять. Представим себе, что покоящемуся телу (t>o = 0) массой пг

необходимо ^сообщить скорость v; например, сообщить скорость и покоящемуся в стволе орудия снаряду. Для этого нужно совер­ шить определенную работу А. Как определить эту работу?

Из теоремы о кинетической энергии следует, что

Следовательно, кинетическая энергия тела массой m f дви­ жущегося со скоростью v , равна работе, которую должна со­

вершить сила, действующая на покоящееся тело, чтобы сооб­ щить ему эту скорость. Такая же по абсолютной величине работа будет совершена и при остановке тела.

Из теоремы о кинетической энергии следует также, что кине­

тическая энергия — это физическая величина, характеризующая движущееся тело. Ее изменение равно работе, произведенной силой, действующей на тело.

Задача. Какую работу нужно совершить, чтобы поезд, дви­ жущийся со скоростью Ui = 72 км/ч, увеличил свою скорость до 02=108 км/ч? Масса поезда т=1000 т. Какая сила должна быть

182

приложена к поезду, если это увеличение скорости должно про­ изойти на участке длиной 2 км? Движение считать равноуско­ ренным.

Р е ш е н и е . Работу А можно найти по формуле

Подставив сюда приведенные в условии задачи данные, получим:

1- В чем состоит теорема о кинетической энергии?

2.Что такое кинетическая энергия тела?

3.Как изменяется кинетическая энергия тела, если сила, приложенная

кнему, совершает положительную работу?

4.Как изменяется кинетическая энергия тела, если сила, приложенная к нему, совершает отрицательную работу?

5.Изменяется ли кинетическая энергия движущегося тела при изме­ нении направления вектора его скорости?

6.К покоящемуся телу массой 3 кг приложена сила в 40 Н. После этого тело проходит по гладкой горизонтальной плоскости без трения 3 м. Затем сила уменьшается до 20 Н и тело проходит еще 3 м. Найти ки­ нетическую энергию тела и его скорость в конце этого участка.

7.Какая работа должна быть совершена для остановки поезда мас­ сой в 1000 т, движущегося со скоростью 108 км/ч?

8.Вычислить кинетическую энергию искусственного спутника Земли массой 1300 кг, движущегося по круговой орбите на высоте 100 км над Землей.

9. Тело движется равномерно по окружности радиусом 0,5 м, обладая кинетической энергией в 10 Дж. Какова сила, действующая на тело? Как она направлена? Какова работа этой силы?

66. Работа силы тяжести. Потенциальная энергия тела, на которое действует сила тяжести

Теорема о кинетической энергии, как уже указывалось, верна для любых сил, так как теорема эта — прямое следствие второго закона Ньютона. Но работу, совершаемую каждой из известных нам механических сил, можно вычислить, пользуясь не теоремой о кинетической энергии, а теми формулами для этих сил, которые мы получили в главе 5.

Начнем с силы тяжести — силы, с которой Земля действует

на тело вблизи поверхности Земли, где ее можно считать посто-

►

янной и равной mg (т — масса тела, g — ускорение свободного падения).

183

!нем, от которого мы начинаем отсчет высоты, до высоты Л2 над тем же уровнем (рис. 182) тело совершает перемещение, которое по абсо­ лютной величине равно h\ — h2. Так как на­ правления перемещения и силы совпадают, то работа силы тяжести положительна и равна:

может быть и дно ямы, вырытой в земле, и т. д. Ведь в формулу для работы входит разность высот, а она не зависит от того, от­ куда начинать их отсчет. Необходимо лишь высоту тела в разных положениях определять относительно одного и того же уровня. Высоту этого уровня можно принять равной нулю. Его так и на­ зывает н у л е в ы м у р о в н е м .

Можно было бы, например, нулевым считать уровень В (см. рис. 182). Тогда работа выражалась бы равенством

A — m \g \h ,

где h — расстояние по вертикали между уровнями А и В.

Если тело движется вертикально вверх, то сила тяжести на­ правлена против перемещения тела и ее работа отрицательна. При подъеме тела с нулевого уровня на высоту h сила тяжести совершает работу, равную

А — — tn\g\h .

Теперь выясним, какую работу совершает сила тяжести в случае, когда тело движется не по вертикали.

В качестве примера рассмотрим движение тела по наклонной плоскости (рис. 183). Допустим, что тело массой т по наклонной

плоскости высотой h совершает перемещение s, по абсолютной величине равное длине наклонной плоскости. Работу силы тяже­

сти mg в этом случае надо вычислять по формуле A = m \g \X

X |s |cos а. Но из рисунка видно, что

I s I cos а = h.

Поэтому

A = m \g\h .

184

Почему же в технике и быту при подъеме грузов часто поль­ зуются наклонной плоскостью? Ведь работа перемещения груза по наклонной плоскости такая же, как и при движении по вертикали!

Это объясняется тем, что при равномерном движении груза по наклонной плоскости сила, которая должна быть приложена к грузу в направлении перемещения, меньше силы тяжести. Прав­ да, груз при этом проходит больший путь. Больший путь — это плата за то, что по наклонной плоскости груз можно поднимать с помощью меньшей силы.

Работа силы тяжести определяется «потерей высоты» не только при движении по наклонной плоскости. Это справедливо и при движении по любому другому пути. В самом деле, допу­ стим, что тело движется по какому-то произвольному пути, на­ пример по такому, какой изображен на рисунке 185. Весь этот путь мы можем мысленно разбить на ряд малых участков: АА\, А{Аг, АгА3 и т. д. Каждый из них может считаться маленькой на­ клонной плоскостью, а все движение тела на пути АВ можно представить как движение по множеству наклонных плоскостей, переходящих одна в другую. Работа силы тяжести на каждой

такой наклонной плоскости равна произведению m \g\ на измене­ ние высоты тела на ней. Если изменения высот на отдельных участках равны hi, Лг, Лз и т. д., то работы силы тяжести на них

равны m \g\h\, m\g\hz, m |g |/i3 и т. д. Полную работу на всем

Рис. 184

185