Литература и лекции / Аналитическая геометрия и линейная алгебра

Коллектив авторов:

Л.И. Брылевская, И.А. Лапин, Л.С. Ратафьева

Аналитическая геометрия и линейная алгебра

Под общей редакцией Л.С. Ратафьевой Учебное пособие. СПб: СПбГУ ИТМО, 2008 год, 156 с.

Предлагаемое учебное пособие представляет собой базовый конспект лекций по высшей математике для студентов 1-го курса (1 модуль) дневного и вечернего отделения общеинженерных специальностей. В нем рассматриваются следующие темы: «Элементы теории определителей», «Векторная алгебра», «Элементы аналитической геометрии», «Матрицы и системы линейных уравнений», «Линейные пространства и операторы». Содержание пособия соответствует образовательным стандартам и программе по высшей математике для направления 550000 — Технические науки. Содержит достаточно большое количество разнообразных примеров.

При написании пособия использовались материалы учебных пособий, изданных в разное время в СЗПИ, а также книг и учебников, приведенных в списке литературы (без специальных ссылок).

Рекомендовано к печати Ученым Советом естест- веннонаучного факультета СПбГУ ИТМО (протокол №8 от 22 апреля 2008 года)

В 2007 году СПбГУ ИТМО стал победителем конкурса инновационных образовательных программ вузов России на 2007–2008 годы. Реализация инновационной образовательной программы «Инновационная система подготовки специалистов нового поколения в области информационных и оптических технологий» позволит выйти на качественно новый уровень подготовки выпускников и удовлетворить возрастающий спрос на специалистов в информационной, оптической и других высокотехнологичных отраслях экономики.

©Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, 2008 г.

©Л.И. Брылевская, И.А. Лапин, Л.С. Ратафьева, 2008г.

2

4

Глава 1

Элементы теории определителей

Теория определителей возникла в XVIII веке в связи с задачей решения систем линейных алгебраических уравнений. Однако впоследствии определители нашли применение в самых различных разделах математики, в частности, в векторной алгебре, аналитической геометрии и математическом анализе.

§1 Определители второго порядка.

Рассмотрим систему двух линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными x1 и x 2

называется матрицей коэффициентов системы (1).

Матрице (2) ставится в соответствие число, называемое определителем матрицы A , которое обозначается detA и вычисляется по правилу detA =a11a 22 −a12a 21 , т.е. определитель второго порядка равен разности

произведения элементов, стоящих на главной диагонали и на побочной диагонали матрицы A . Определитель матрицы A обозначают так

Найдем решение системы (1). Нетрудно убедиться, что оно выражается через коэффициенты системы так (предполагаем, что detA ≠ 0 ):

Мы видим, что в знаменателе выражений для x1 и x 2 стоит определи-

тель detA , в числителе также стоят определители, которые мы обозначим через x1 и x2 соответственно, т.е.

5

Основные свойства определителей второго порядка

1) Определитель не изменится, если его строки поменять местами с соответствующими столбцами, т.е.

2) При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет знак на противоположный, т.е.

3) Общий множитель всех элементов строки (столбца) можно выносить за знак определителя, т.е. , например,

4) Определитель с одинаковыми строчками (столбцами) равен нулю, т.е.

5) Определитель с нулевой строкой (столбцом) равен нулю, т.е. например, a a

00 = 0 .

6)Если к элементам какой-либо строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число, то определитель не изменится, т.е. например

Все эти свойства доказываются непосредственным вычислением левой и правой части выражений, входящих в рассматриваемые равенства. Докажем, например, свойство 6.

Для этого вычислим определитель, стоящий в левой части равенства:

7

§2 Определители третьего порядка.

Рассмотрим квадратную матрицу (таблицу) третьего порядка

Если в этой матрице вычеркнуть любую строку и любой столбец, то оставшиеся элементы образуют квадратную матрицу второго порядка. Из квадратной матрицы третьего порядка можно получить девять квадратных матриц второго порядка. Введем несколько новых понятий.

Определение 1. Минором элемента aij матрицы третьего порядка

называют определитель матрицы второго порядка, которая получается из данной матрицы вычеркиванием i -ой строки и j -го столбца, т.е.

строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент

(i , j {1,2,3}).

Минор элемента aij обозначается символом M ij . Например, минором элемента a12 матрицы (1) является определитель

Определение 2. Алгебраическим дополнением элемента aij мат-

рицы третьего порядка называют число, равное произведению минора этого элемента на (−1)i +j .

Иначе: алгебраическое дополнение элемента aij – это минор элемента aij , если сумма индексов i + j четная, и минор, взятый с противоположным

Замечание. Можно говорить также о минорах и алгебраических дополнениях элементов матрицы второго порядка, если под определителем матрицы, состоящей из одного элемента (матрицы первого порядка), понимать число, равное этому элементу.

8

Определение 3. Определителем (детерминантом) квадратной матрицы третьего порядка (определителем третьего порядка) называем число, равное сумме попарных произведений элементов первой строки на их алгебраические дополнения. Т.е. по определению имеем

Пример 2. Вычислить определитель матрицы

=1 (0 +1) −3 (0 +3) −1 (0 + 6) =1−9 −6 = −14.

Замечание. Если в формулу (3) подставить выражения алгебраических дополнений через элементы матрицы, то получим

В этой формуле шесть слагаемых, причем каждое из них является произведением трех элементов матрицы: по одному из каждой строки и из каждого столбца; три слагаемых входит со знаком «+», а три со знаком «–». Иногда в курсах высшей алгебры формула (4) принимается в качестве определения определителя третьего порядка.

§3 Основные свойства определителей 3-го порядка.

Нетрудно убедиться, что все свойства определителей 2-го порядка справедливы и для определителей 3-го порядка. Но как более сложный объект, определители 3-го порядка имеют и дополнительные свойства. Сформулируем и докажем все свойства полностью.

1. Определитель не изменяется, если его строки поменять местами с соответствующими столбцами, т.е.

9

где = detA .

Доказывается разложением каждого определителя по элементам первой строки. В результате получаем одно и то же выражение.

2. Определитель равен сумме попарных произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

Докажем, например, равенство

По определению =a11A11 +a12A12 +a13A13 .

=a11(a 22a 33 −a 23a 32 ) −a12 (a 21a 33 −a 23a 31 ) +a13 (a 21a 32 −a 22a 31 ) =

=a11a 22a 33 −a11a 23a 32 −a12a 21a 33 +a12a 23a 31 +a13a 21a 32 −a13a 22a 31 =

=a 31(a12a 23 −a13a 22 ) −a 32 (a11a 23 −a13a 21) +a 33 (a11a 22 −a12a 21) =

=a 31A31 +a 32A32 +a 33A33 , т.е.

=a 31A31 +a 32A32 +a 33A33 .

Истинность данного утверждения для другой строки или любого столбца доказывается аналогично.

3. При перестановке двух строк определитель меняет знак на противоположный.

Доказательство. Пусть в матрице третьего порядка перестановлены первая и третья строки. Покажем, что

Разлагая определитель, стоящий в левой части равенства (3), по элементам первой строки, получим a11A11 +a12A12 +a13A13 .

Разлагая же определитель, стоящий в правой части этого равенства, по элементам третьей строки, получим

10