Литература и лекции / Series
.pdfПример ортогональных функций
Пусть |
('(x); Ã(x)) = |
Z0 1 |
'(x)Ã(x)dx : |
|||
Полиномы (многочлены) Лежандра P0(x) = 1 ; |
P1(x) = 2x¡1 ; P2(x) = 6x2 ¡6x+1 ; |
|||||
P3(x) = 20x3 ¡ 30x2 + 12x ¡ 1 ; P4(x) = 70x4 ¡ |
140x3 + 90x2 ¡ 20x + 1 ; : : : попарно |
|||||
ортогональны, поскольку |
(Pi(x); Pj(x)) = 0 |
ïðè i 6= j : Интересно отметить, что |
||||
(Pi(x); Pi(x)) = |
1 |
: |
|
|
|
|
2i+1 |
|
|
|
|
Определение
Функциональный ряд
Φ(x) = a20 + X+1 (an cos (nx) + bn sin (nx))
n=1
принято называть тригонометрическим рядом Фурье.
Круглые скобки под знаком суммы в выражении для Φ(x) в литературе нередко опускаются.
Теорема об ортогональности членов тригонометрического ряда Фурье
Пусть Z¼
('(x); Ã(x)) = '(x)Ã(x)dx :
¡¼
Тогда ортогональны любые два члена объедин¼нного семейства функций
cos(nx) (ïðè n = 0; 1; 2; 3; : : : ) è sin(mx) (ïðè m = 1; 2; 3; : : : ).
Доказательство
Пусть m 2 Z; n 2 Z; m 6= n :
¼ |
¼ |
|
|
|
(cos(mx); cos(nx)) =Z |
cos(mx) cos(nx)dx =Z |
1 |
(cos((m ¡ n)x) + cos((m + n)x)) dx = |
|
|
|
|||
2 |
||||
¡¼ |
¡¼ |
|
|
|
31
= 2 |
µ |
|
|
|
m |
|
¡n |
|
|
+ |
|
|
m + n |
¶¯ |
¼ |
¼= |
|
|
2(m |
¡n) |
¯ |
¼ |
¼+ |
|
|
2(m + n) |
¯ |
¼ |
¼= |
||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
sin((m |
|
|
n)x) |
|
|
sin((m + n)x) |
|
|
|
sin((m |
n)x) |
|
sin((m + n)x) |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯¡ |
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
¯¡ |
|
|
|
|
|
|
¯¡ |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=0 |
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
=0 |
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
=0 |
|
|
|
¯ |
|
|
|||||||||
|
|
z |
|
|
}| |
|
|
|
|
|
{ |
¡ z |
|
|
|
}| |
|
|
{ |
|
|
z |
|
|
|
}| |
|
|
{ |
|
¡ z |
|
|
|
}| |
|
{ |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
2( |
|
|
|
|
) |
|
|
2( |
|
|
) |
|
2( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
= |
sin((m ¡ n)¼) |
|
|
sin(¡(m ¡ n)¼) |
|
+ |
sin((m + n)¼) |
|
|
sin(¡(m + n)¼) |
= 0 : |
|
|
(22) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
m |
¡ |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
¡ |
n |
|
|
|
|
m + n) |
|
|
|
|
|
|
|
2(m + n) |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z¼ Z¼
(sin(mx); sin(nx)) = sin(mx) sin(nx)dx =
= 2 µ |
|
m ¡n |
¡¼ |
|
m + n |
¶¯ |
¼ |
¡¼ |
|
|
|
¡ |
|
¼= |
|||||
1 |
¡ |
|
|
sin((m + n)x) |
¯¡ |
|
|||
sin((m n)x) |
|
¯ |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
12 (cos((m ¡ n)x) ¡ cos((m + n)x)) dx =
2(m |
¡n) |
¯ |
¼ |
¼¡ |
|
2(m + n) |
¯ |
¼ |
¼= |
sin((m n)x) |
|
sin((m + n)x) |
|
||||||
|
¡ |
¯¡ |
|
|
|
¯¡ |
|
||
|
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
z |
|
|
|
}| |
|
|
|
{ |
|
¡ z |
|
|
|
|
}| |
|
|
{ |
|
¡ z |
|
|
|
|
|
|
}| |
|
|
|
{ |
|
z |
|
|
|
|
|
}| |
|
|
|
|
{ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
2( |
|
|
|
) |
|
|
2( |
|
|
) |
|
2( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
= |
sin((m ¡ n)¼) |
|
|
|
sin(¡(m ¡ n)¼) |
|
|
|
|
sin((m + n)¼) |
+ |
sin(¡(m + n)¼) |
= 0 : |
|
|
(23) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m + n) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
¡ |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
¡ |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2(m + n) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¼ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¼ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
(sin(mx); cos(nx)) =Z sin(mx) cos(nx)dx =Z |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
(sin((m + n)x) + sin((m ¡ n)x)) dx = |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 µ¡ |
|
|
m + n |
¡¼ |
|
|
¡ |
|
|
|
m n |
|
|
¶¯ |
¡¼ |
|
¡ |
|
2(m + n) |
¯ |
|
¡¼ |
|
2(m n) |
|
¯ |
|
¼ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¼ |
¼ |
|
|
|
¼ |
|
|
¼ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
1 |
|
|
|
|
|
cos((m + n)x) |
+ |
|
|
cos((m ¡ n)x) |
|
|
|
= |
|
|
|
cos((m + n)x) |
|
|
cos((m ¡ n)x) |
|
= |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯¡ |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
¯¡ |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
cos((m + n)¼) |
|
|
cos( |
|
|
(m + n)¼) |
¯ |
|
cos((m |
|
|
|
n)¼) |
|
|
cos(¯ |
(m |
|
|
n)¼) |
|
|
|
¯ |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
+ |
¯ |
|
¡ |
|
¡ |
|
|
= |
¯ |
|
|
||||||||||||||||
|
¡ 2(m + n) |
|
|
|
|
|
|
|
2(m + n) |
|
|
|
|
|
|
|
2(m |
|
n) |
|
|
|
2(m |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
¡ |
n) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
µ¡ |
|
|
2(m + n) |
+ |
|
|
|
|
|
2(m + n) |
¶+ |
µ¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
2(m |
|
|
|
¶ |
= 0 : |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2(m ¡n) |
|
|
|
|
|
¡n) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
cos((m + n)¼) |
|
|
|
cos(+(m + n)¼) |
|
|
|
|
|
|
|
|
cos((m |
|
n)¼) |
|
|
|
cos(+(m |
|
|
n)¼) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
} |
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
{z |
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
} |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(24) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ограничение n =6 0 не ставилось, следовательно, равенство нулю скалярных
произведений (cos(mx); cos(0 ¢ x)) |
è (sin(mx); cos(0 ¢ x)) подтверждается. |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|Z; |
{z |
=}0 |
|
| {z } |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
´1 |
|
|
|
|
|
´1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Пусть теперь |
|
2 |
|
m |
6 |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
¼ |
|
|
|
|
|
|
¼ |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
cos(2mx) ¼ |
|
|||||
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
||
(sin(mx); cos(mx)) =Z sin(mx) cos(mx)dx =Z |
|
|
sin(2mx)dx = |
|
|
¢ |
¡ |
2m |
¯ |
¼= |
||||||||||||||
2 |
2 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
¼ |
|
|
|
|
|
|
¼ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯¡ |
|
32
= |
¡ |
cos(2m¼) |
+ cos(¡2m¼) |
= |
¡ |
cos(2m¼) |
+ cos(+2m¼) |
= 0 : |
||||
|
4m |
|
4m |
|
|
4m |
|
4m |
|
|
Теорема |
о ряде Фурье для непрерывной функции |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||
|
Пусть |
f : [¡¼; ¼] ! R; пусть f(x) непрерывна на |
|||||||||||||||
Тогда |
|
8x 2 (¡¼; ¼) справедливо равенство |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(x) = Φ(x) ; |
|
|
ãäå |
Φ(x) = |
|
a0 |
+ |
+1 |
(an cos (nx) + bn sin (nx)) ; |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
2 |
n=1 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
¼ |
|
|
|
|
|
X |
|
1 |
¼ |
|
|
|
|
a |
|
= |
|
f |
|
x dx ; |
a |
= |
f(x) cos(nx)dx ; |
b |
|
|||||
|
|
¼ Z |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
0 |
|
|
( |
) |
|
|
n n¸1 |
¼ |
Z |
|
n |
||||
|
|
|
|
|
¡¼ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¡¼ |
|
|
[¡¼; ¼] .
(25)
Z¼
= ¼1 f(x) sin(nx)dx :
¡¼
|
|
Кроме того, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(¡¼) + f(¼) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Φ( |
¡ |
¼) = Φ(¼) = |
: |
|
|
|
|
|
(26) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Доказательство |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Возьм¼м, для начала, два вспомогательных интеграла при m 6= 0 : |
|
|||||||||||||||||||||||
|
¼ |
|
¼ |
1 |
|
|
|
|
1 |
|
sin(2mx) |
|
¼ |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
¡ |
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¢ (1 + cos(2mx))dx = 2 ¢ µx + |
|
|
|
|
|
|
¼ = ¼ ; |
|
||||||||||
Z |
cos2(mx)dx = Z |
2 |
2m |
|
¶¯ |
|
|
(27) |
||||||||||||||||
|
¼ |
|
¼ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
¼ |
|
¼ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯¡ |
|
|||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
sin(2mx) |
¯ |
¼ |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
¡ |
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¢ (1 ¡ cos(2mx))dx = 2 ¢ µx ¡ |
|
|
|
|
|
|
¼ = ¼ : |
|
||||||||||
Z |
sin2(mx)dx = Z |
2 |
2m |
|
|
¶¯ |
|
|
(28) |
|||||||||||||||
Далее, возьм¼м и приравняем интегралы по промежутку [ |
|
¼; ¼¯ |
] левой и правой |
|||||||||||||||||||||
|
¼ |
¼ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯¡ |
|
|
|||
частей равенства (25): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Z Ã 20 + |
n=1 (an cos (nx) + bn sin (nx))!dx : |
|
|||||||||||||||||
|
|
Z f(x)dx = |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
¼ |
|
|
|
|
|
|
¼ |
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
¼ |
|
|
|
|
|
¡ |
¼ |
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
33
Получим
|
|
Z |
f(x)dx = Z |
|
20 dx +Z |
Ãn=1 an cos(nx)!dx +Z |
Ãn=1 bn sin(nx)!dx = |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
¼ |
|
|
|
|
|
|
¼ |
a |
¼ |
+1 |
|
|
|
|
¼ |
+1 |
|
|
|
|||||||
¡ |
¼ |
|
|
|
|
¡ |
¼ |
|
|
¼ |
|
X |
|
|
|
|
¼ |
|
X |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
¼ |
|
+1 |
¼ |
|
|
+1 |
|
|
|
¼ |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
0 |
|
Z |
|
dx + n=1 an ¢Z cos(nx)dx + n=1 bn ¢Z sin(nx)dx = |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¡¼ |
|
|
|
X |
¡¼ |
|
|
X |
|
¡¼ |
|
|
|
|
|||||
|
a |
|
|
¼ |
|
+1 |
|
|
|
|
¼ |
|
|
|
|
|
+1 |
|
¼ |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
¼ |
|
|
|
|
|
|
¼ |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
0 |
|
|
¯ |
¡ |
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
||||||
= |
|
¢ x¯ |
|
|
|
+ n=1 an ¢Z cos(nx) cos(0 ¢ x)dx + n=1 bn ¢Z sin(nx) cos(0 ¢ x)dx = a0 ¢ ¼ ; |
|||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
¼ |
|||||||||||||||||||||||||
откуда |
|
|{z} |
|
|
|
| |
|
|
{z |
|
|
|
} |
| |
|
|
|
{z |
|
} |
|||||||||
|
|
|
|
=2¯ |
¼ |
|
|
|
|
|
¡ |
=0; (22) |
|
|
|
¡ |
|
|
|
=0; (24) |
|
||||||||
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¼ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a0 = |
1 |
Z |
f(x)dx : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¼ |
|
|
|
|
|
|
|
|
¡¼
Далее, возьм¼м и приравняем интегралы по промежутку [¡¼; ¼] левой и правой частей равенства (25), предварительно домноженных на cos(mx) ïðè m ¸ 1 :
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z¼ f(x) cos(mx)dx = |
|
|
|
|
|
|
à |
|
|
|
|
|
¡¼ |
|
|
|
|
|
¼ |
a |
|
|
+1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
¡¼ |
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
20 cos(mx) + |
|
|
||||||
|
|
|
= Z |
|
n=1 (an cos(nx) cos(mx) + bn sin(nx) cos(mx))!dx : |
|||||||
Получим |
|
|
|
|
|
|
Z¼ f(x) cos(mx)dx = |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¡¼ |
|
|
|
¼ |
a |
|
|
¼ |
|
+1 |
¼ |
|
+1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= |
Z |
0 |
cos(mx)dx+ |
à |
|
an cos(nx) cos(mx)!dx+ |
à |
bn sin(nx) cos(mx)!dx = |
||||
2 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
Z |
|
n=1 |
Z |
|
n=1 |
|
|
¡¼ |
|
|
|
¡¼ |
|
X |
¡¼ |
|
X |
34
|
¼ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+1 |
¼ |
|
|
|
|
|
|
|
|
+1 |
|
¼ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
= |
|
0 |
Z cos(mx) cos(0 ¢ x)dx +n=1 an ¢Z cos(nx) cos(mx)dx + n=1 bn¢Z sin(nx) cos(mx)dx = |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
¡¼ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
} |
X |
¡¼ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
¡¼ |
|
|
|
|
|
|
|
} |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
| |
|
|
|
=0¼;{z(22) |
|
|
|
|
|
|
|
|
¼ |
| |
|
|
=0;{z(24) |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
= a1 ¢Z |
cos(x) cos(mx)dx + |
|
: : : |
|
+ am¡1 ¢Z cos((m ¡ 1)x) cos(mx)dx + |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=0; (22) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
¡¼ |
|
|
|
|
|
|
| |
|
{z |
} |
¡¼ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=0; (22) |
} |
|
|
|
=0; |
(22) |
|
|
|
|
|
|
} |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
¼ |
| |
|
|
|
|
|
{z |
|
|
|
¼ |
|
|
| |
|
|
|
{z |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
+ am¢Z |
cos(mx) cos(mx)dx + am+1 ¢Z |
cos((m + 1)x) cos(mx)dx + : |
: : |
|
|
= am ¢ ¼ ; |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
=0; |
(22) |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
¡¼ |
|
|
|
|
|
|
} |
|
|
|
|
¡¼ |
|
|
|
|
|
|
|
} |
|
| {z } |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=¼; |
(27) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=0; (22) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
откуда |
| |
|
|
|
|
|
{z |
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
{z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¼ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
am = |
1 |
Z |
f(x) cos(mx)dx : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¼ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¡¼
Далее, возьм¼м и приравняем интегралы по промежутку [¡¼; ¼] левой и правой частей равенства (25), предварительно домноженных на sin(mx) ïðè m ¸ 1 :
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z¼ f(x) sin(mx)dx = |
|
|
|
|
|
à |
|
|
|
|
|
¡¼ |
|
|
|
¼ |
a |
|
|
+1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
¡¼ |
|
|
|
|
|
X |
|
||
|
|
|
20 sin(mx) + |
|
|||||||
|
|
|
= Z |
|
n=1 (an cos(nx) sin(mx) + bn sin(nx) sin(mx))!dx : |
||||||
Получим |
|
|
|
|
|
|
Z¼ f(x) sin(mx)dx = |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¡¼ |
|
|
¼ |
a |
|
|
|
|
¼ |
+1 |
¼ |
+1 |
|
|
¼ |
|
|
|
|
¼ |
¼ |
||||
|
0 |
|
|
|
|
|
X |
X |
|||
= Z |
2 |
sin(mx)dx +Z |
Ãn=1 an cos(nx) sin(mx)!dx +Z |
Ãn=1 bn sin(nx) sin(mx)!dx = |
|||||||
¡ |
|
|
|
|
¡ |
|
|
¡ |
|
35
|
¼ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+1 |
¼ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+1 |
|
¼ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
= |
|
0 |
Z sin(mx) cos(0 ¢ x)dx + n=1 an¢Z cos(nx) sin(mx)dx +n=1 bn ¢Z sin(nx) sin(mx)dx = |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
¡¼ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
¡¼ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
¡¼ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
| |
|
|
|
|
|
{z |
|
|
|
|
|
} |
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
{z |
|
|
|
|
|
} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¼ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
=0; |
(24) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=0; (24) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
¼ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
= b1 ¢Z |
sin(x) sin(mx)dx + : : : |
+ bm¡1 ¢Z sin((m ¡ 1)x) sin(mx)dx + |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
=0; (23) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
¡¼ |
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
{z |
} |
¡¼ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=0; (23) |
|
|
|
|
|
|
=0; |
(23) |
|
|
|
|
|
} |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
¼ |
| |
|
|
|
|
|
|
{z |
} |
|
|
|
|
¼ |
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
{z |
|
|
|
||||||||||||
|
|
+ bm¢Z sin(mx) sin(mx)dx + bm+1 ¢Z |
sin((m + 1)x) sin(mx)dx + : |
: : |
|
= bm ¢ ¼ ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
=0; |
(23) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
¡¼ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¡¼ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| {z } |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=¼; (28) |
|
} |
|
|
|
|
|
|
|
|
=0; |
(23) |
|
|
} |
|
|
||||||||||||||||||
откуда |
| |
|
|
|
|
|
|
{z |
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
{z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¼ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
bm = |
|
f(x) sin(mx)dx : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¼ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¡¼
Мы доказали, что из справедливости равенства (25) выводятся формулы для a0 ; an ; bn : Строго говоря, на основе выведенных формул следовало бы доказать справедливость равенств (25), (26). Эта часть доказательства теоремы опускается.
Теорема о ряде Фурье для разрывной функции
Пусть f : [¡¼; ¼] ! R; пусть f(x) имеет на [¡¼; ¼] конечное количество
точек разрыва 1 го рода.
Тогда равенство (25) справедливо для всех точек промежутка (¡¼; ¼);
кроме, может быть, точек разрыва. |
|
|
|
|
||||||
Åñëè x0 точка разрыва 1 го рода из промежутка |
(¡¼; ¼); òî |
|||||||||
|
|
x |
1 |
|
lim f(x) |
lim f(x) : |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Φ( |
0) = 2 |
|
|||||||
Кроме того, |
|
¢ µx!x0+0 |
|
+x!x0¡0 |
¶ |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
x!¼¡0 |
¶ |
||
Φ(¡ ) = Φ( ) = 2 ¢ µx!¡¼+0 |
||||||||||
|
¼ |
|
¼ |
1 |
|
lim |
f(x) + lim |
f(x) |
: |
|
|
|
|
|
36
Без доказательства.
Замечание Если построен ряд Фурье, удовлетворяющий равенству (25), то принято гово-
рить, что функция f(x) разложена в ряд Фурье.
Замечание
Если функция f(x) ч¼тная на промежутке [¡¼; ¼] ; то ряд Фурье содержит только постоянное слагаемое и слагаемые с косинусами:
Φ(x) = a20 + X+1 an cos (nx) :
n=1
Если функция f(x) неч¼тная на промежутке [¡¼; ¼] ; то ряд Фурье содержит
только слагаемые с синусами:
X+1
Φ(x) = |
bn sin (nx) : |
|
n=1 |
Пример 22
Разложить в ряд Фурье функцию f(x) = x на промежутке (¡¼; ¼) :
Решение
Функция f(x) непрерывна, поэтому в любой точке открытого промежутка (¡¼; ¼) значение функции совпад¼т со значением е¼ ряда Фурье Φ(x): Вместе с тем, f(¡¼) =6 f(¼) ; следовательно, Φ(§¼) =6 f(§¼) :
В разложении неч¼тной функции участвуют только неч¼тные функции, поэтому
an = 0 ; n = 0; 1; 2; 3; : : : ;
bn = ¼ |
Z |
x sin(nx)dx = ¼ |
Z |
x d µ¡ |
n |
¶ = ¡¼n Z |
x d cos(nx) = |
||
|
¼ |
|
¼ |
|
|
|
¼ |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
cos(nx) |
1 |
|
|
|
¡¼ |
|
¡¼ |
|
|
|
¡¼ |
|
37
|
|
0x cos(nx)j¡¼ |
¼ |
cos(nx)dx1 |
|
|
µx cos(nx)j¡¼ |
|
|
|
¶ = |
|
1 |
¼ ¡ Z |
|
1 |
1 |
sin(nx)j¡¼ ¼ |
|||||
= ¡ |
|
= ¡ |
|
¼ ¡ |
|
||||||
¼n |
¼n |
n |
|||||||||
|
|
@ |
¡¼ |
A |
0 |
|
|
11 |
|
||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
¼ |
|
cos(¼n) |
|
( |
|
¼) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
= ¡ |
¼n B |
¢ |
¡ |
¡ |
||||||||||
|
|
=(¡1)n |
|
|
||||||||||
|
@ |
|
|
| |
|
{z |
|
} |
|
|
|
|
| {z |
} |
|
@| {z } | {z }AA |
n¡1 |
2 |
; |
|||||||||||
|
¼n |
1 |
|
¼n |
|
¼n |
|
C |
|||||||||
¢ cos(¡ |
|
|
) ¡ |
n |
sin( |
|
|
|
) ¡ sin(¡ |
|
|
) |
= (¡1) |
¢ |
n |
|
|
=(¡1)n |
|
|
=0 |
|
|
=0 |
|
|
|
|
|
|
|
таким образом, |
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
X |
2 |
|
nx |
|
: |
|
|
|
n¡1 |
|
|
|||||
Φ( |
|
) = |
(¡1) |
¢ |
n |
¢ sin( |
|
) |
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
На практике точно вычислить сумму бесконечного количества слагаемых ряда Фурье уда¼тся лишь для некоторых x : Надежды на удачу при любом x неоправданы.
Поэтому взамен суммы ряда приходится довольствоваться частичной суммой из N слагаемых, и от числа N зависит точность приближения суммы ряда.
Íà Ðèñ. 3; 4; 5 показаны графики функции y = x è y =XN (¡1)n¡1 ¢ n2 ¢ sin(nx)
ïðè N = 3; 10; 100; соответственно.
n=1
Ðèñ. 3
38
Ðèñ. 4
Ðèñ. 5
Графики построены в среде wolframalpha.com. В частности, для N = 3 это сделано при помощи команды
Plot[{x, Sum[(-1) (n-1)*2/n*Sin[n*x], {n,1,3}]}, {x,-2*pi,2*pi}]
Из рисунков видно, что линия "змейка", изображающая частичную сумму ряда Фурье, "âü¼òñÿ" вс¼ ближе к графику базовой функции y = x по мере роста чис-
39
ла слагаемых в частичной сумме. Но близость эта наблюдается только на открытом промежутке (¡¼; ¼) ; благо, ничего иного теория и не гарантировала.
Попутно отметим один интересный факт. Если
+1 |
|
|
|
|
|
|
X |
2 |
|
nx |
|
x ; |
|
n¡1 |
|
|
||||
(¡1) |
¢ |
n |
¢ sin( |
|
) = |
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
что равносильно |
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
1 |
|
|
|
x |
|
||
|
n¡1 |
|
|
|
nx |
|
|
|
; |
|
(¡1) |
¢ n |
¢ sin( |
|
) = |
2 |
|
||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
8x 2 (¡¼; ¼) ; то равенство (29) справедливо и при x = ¼=2 : Тогда
X |
1)n |
1 |
|
n¼ |
|
¼ |
|
|
+1 |
¢ sin ³ |
´ = |
|
|||||
|
(¡ ¡ |
|
|
|
|
: |
||
n=1 |
n |
|
2 |
4 |
(29)
(30)
"Разверн¼м" сумму в (30) и увидим закономерность в ней:
1 ¢ sin µ |
1 |
2¢ |
|
¶ |
¡ |
2 |
¢ sin |
µ2 |
2¢ |
|
¶ + 3 |
¢ sin µ3 |
2¢ |
|
¶ |
¡ |
4 ¢ sin |
|||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
¼ |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
¼ |
1 |
|
|
|
|
|
|
¼ |
|
|
|
1 |
||
|
| |
|
{z |
|
|
|
} |
|
|
| |
|
|
{z |
|
|
|
} |
| |
|
{z |
|
|
|
} |
|
| |
µ ¶
4 ¢ ¼ +
{z2 }
+ 5 |
¢ sin µ5 |
2¢ |
=1 |
¡ |
6 ¢ sin |
µ6 |
2¢ |
=0 |
|
|
|
7 ¢ sin µ7 |
2¢ |
=¡1 |
|
¢ sin |
µ8 |
2¢ |
=0 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
¶ |
|
|
¶ + |
|
|
¶ ¡ 8 |
|
¶ + : : : = 4 |
: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
¼ |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
¼ |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¼ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
¼ |
¼ |
|
||||
Ýòî |
|
| |
|
{z |
|
|
|
} |
|
| |
|
|
|
{z |
|
|
|
|
} |
|
|
|
|
| |
|
|
|
{z |
|
|
|
} |
|
| |
|
|
{z |
|
|
|
} |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=¡1 |
|
|
|
|
|
|
|
=0 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
означает, что |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
¼ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
+ |
¡ |
|
+ |
¡ |
+ : : : = |
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
3 |
5 |
7 |
|
9 |
11 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Полученный результат подтверждает равенство (17), доказанное в Примере 20 совершенно другим способом.
Пример 23
Разложить в ряд Фурье функцию f(x) = x2 на промежутке [¡¼; ¼] :
Решение
Функция f(x) непрерывна, значения е¼ на концах промежутка [¡¼; ¼] одинаковы, поэтому в любой точке промежутка [¡¼; ¼] значение функции совпад¼т со
40