Скачиваний:
0
Добавлен:
30.06.2023
Размер:
469.81 Кб
Скачать

Пример ортогональных функций

Пусть

('(x); Ã(x)) =

Z0 1

'(x)Ã(x)dx :

Полиномы (многочлены) Лежандра P0(x) = 1 ;

P1(x) = 21 ; P2(x) = 6x2 ¡6x+1 ;

P3(x) = 20x3 ¡ 30x2 + 12x ¡ 1 ; P4(x) = 70x4 ¡

140x3 + 90x2 ¡ 20x + 1 ; : : : попарно

ортогональны, поскольку

(Pi(x); Pj(x)) = 0

ïðè i 6= j : Интересно отметить, что

(Pi(x); Pi(x)) =

1

:

 

 

 

 

2i+1

 

 

 

 

Определение

Функциональный ряд

Φ(x) = a20 + X+1 (an cos (nx) + bn sin (nx))

n=1

принято называть тригонометрическим рядом Фурье.

Круглые скобки под знаком суммы в выражении для Φ(x) в литературе нередко опускаются.

Теорема об ортогональности членов тригонометрического ряда Фурье

Пусть Z¼

('(x); Ã(x)) = '(x)Ã(x)dx :

¡¼

Тогда ортогональны любые два члена объедин¼нного семейства функций

cos(nx) (ïðè n = 0; 1; 2; 3; : : : ) è sin(mx) (ïðè m = 1; 2; 3; : : : ).

Доказательство

Пусть m 2 Z; n 2 Z; m 6= n :

¼

¼

 

 

 

(cos(mx); cos(nx)) =Z

cos(mx) cos(nx)dx =Z

1

(cos((m ¡ n)x) + cos((m + n)x)) dx =

 

 

2

¡¼

¡¼

 

 

 

31

= 2

µ

 

 

 

m

 

¡n

 

 

+

 

 

m + n

¶¯

¼

¼=

 

 

2(m

¡n)

¯

¼

¼+

 

 

2(m + n)

¯

¼

¼=

1

 

 

sin((m

 

 

n)x)

 

 

sin((m + n)x)

 

 

 

sin((m

n)x)

 

sin((m + n)x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¡

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯¡

 

 

 

 

 

¡

 

 

¯¡

 

 

 

 

 

 

¯¡

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

=0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=0

 

 

 

 

¯

 

 

 

=0

 

 

 

 

 

¯

 

 

=0

 

 

 

¯

 

 

 

 

z

 

 

}|

 

 

 

 

 

{

¡ z

 

 

 

}|

 

 

{

 

 

z

 

 

 

}|

 

 

{

 

¡ z

 

 

 

}|

 

{

 

 

 

 

 

 

2(

 

 

 

 

)

 

 

2(

 

 

)

 

2(

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

sin((m ¡ n)¼)

 

 

sin(¡(m ¡ n)¼)

 

+

sin((m + n)¼)

 

 

sin(¡(m + n)¼)

= 0 :

 

 

(22)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

¡

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

¡

n

 

 

 

 

m + n)

 

 

 

 

 

 

 

2(m + n)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z¼ Z¼

(sin(mx); sin(nx)) = sin(mx) sin(nx)dx =

= 2 µ

 

m ¡n

¡¼

 

m + n

¶¯

¼

¡¼

 

 

¡

 

¼=

1

¡

 

 

sin((m + n)x)

¯¡

 

sin((m n)x)

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

12 (cos((m ¡ n)x) ¡ cos((m + n)x)) dx =

2(m

¡n)

¯

¼

¼¡

 

2(m + n)

¯

¼

¼=

sin((m n)x)

 

sin((m + n)x)

 

 

¡

¯¡

 

 

 

¯¡

 

 

 

¯

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

}|

 

 

 

{

 

¡ z

 

 

 

 

}|

 

 

{

 

¡ z

 

 

 

 

 

 

}|

 

 

 

{

 

z

 

 

 

 

 

}|

 

 

 

 

{

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2(

 

 

 

)

 

 

2(

 

 

)

 

2(

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

sin((m ¡ n)¼)

 

 

 

sin(¡(m ¡ n)¼)

 

 

 

 

sin((m + n)¼)

+

sin(¡(m + n)¼)

= 0 :

 

 

(23)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m + n)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

¡

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

¡

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2(m + n)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¼

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¼

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(sin(mx); cos(nx)) =Z sin(mx) cos(nx)dx =Z

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(sin((m + n)x) + sin((m ¡ n)x)) dx =

 

 

2

 

2 µ¡

 

 

m + n

¡¼

 

 

¡

 

 

 

m n

 

 

¶¯

¡¼

 

¡

 

2(m + n)

¯

 

¡¼

 

2(m n)

 

¯

 

¼

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¼

¼

 

 

 

¼

 

 

¼

=

1

 

 

 

 

 

cos((m + n)x)

+

 

 

cos((m ¡ n)x)

 

 

 

=

 

 

 

cos((m + n)x)

 

 

cos((m ¡ n)x)

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯¡

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯¡

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¡

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¡

 

 

 

¯¡

 

 

 

 

 

 

 

 

cos((m + n)¼)

 

 

cos(

 

 

(m + n)¼)

¯

 

cos((m

 

 

 

n)¼)

 

 

cos(¯

(m

 

 

n)¼)

 

 

 

¯

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

¡

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¡

 

 

 

 

+

¯

 

¡

 

¡

 

 

=

¯

 

 

 

¡ 2(m + n)

 

 

 

 

 

 

 

2(m + n)

 

 

 

 

 

 

 

2(m

 

n)

 

 

 

2(m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¡

 

 

 

 

¡

 

 

 

 

 

 

¡

n)

 

 

 

 

 

 

 

 

=

µ¡

 

 

2(m + n)

+

 

 

 

 

 

2(m + n)

+

µ¡

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

2(m

 

 

 

= 0 :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2(m ¡n)

 

 

 

 

 

¡n)

 

 

 

 

 

cos((m + n)¼)

 

 

 

cos(+(m + n)¼)

 

 

 

 

 

 

 

 

cos((m

 

n)¼)

 

 

 

cos(+(m

 

 

n)¼)

 

 

 

 

 

 

 

 

|

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

{z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

}

 

 

|

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¡

 

 

 

 

{z

 

 

 

 

 

 

 

¡

 

 

 

 

}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(24)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ограничение n =6 0 не ставилось, следовательно, равенство нулю скалярных

произведений (cos(mx); cos(0 ¢ x))

è (sin(mx); cos(0 ¢ x)) подтверждается.

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

|Z;

{z

=}0

 

| {z }

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

´1

 

 

 

 

 

´1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть теперь

 

2

 

m

6

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¼

 

 

 

 

 

 

¼

1

 

 

 

1

 

 

cos(2mx) ¼

 

 

 

¡

 

 

 

 

 

 

¡

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

(sin(mx); cos(mx)) =Z sin(mx) cos(mx)dx =Z

 

 

sin(2mx)dx =

 

 

¢

¡

2m

¯

¼=

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

¼

 

 

 

 

 

 

¼

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯¡

 

32

=

¡

cos(2)

+ cos(¡2)

=

¡

cos(2)

+ cos(+2)

= 0 :

 

4m

 

4m

 

 

4m

 

4m

 

 

Теорема

о ряде Фурье для непрерывной функции

 

 

 

 

 

 

Пусть

f : [¡¼; ¼] ! R; пусть f(x) непрерывна на

Тогда

 

8x 2 (¡¼; ¼) справедливо равенство

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f(x) = Φ(x) ;

 

 

ãäå

Φ(x) =

 

a0

+

+1

(an cos (nx) + bn sin (nx)) ;

 

 

 

 

 

 

 

2

n=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

¼

 

 

 

 

 

X

 

1

¼

 

 

 

a

 

=

 

f

 

x dx ;

a

=

f(x) cos(nx)dx ;

b

 

 

 

¼ Z

 

 

 

 

 

 

0

 

 

(

)

 

 

n 1

¼

Z

 

n

 

 

 

 

 

¡¼

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¡¼

 

 

[¡¼; ¼] .

(25)

Z¼

= ¼1 f(x) sin(nx)dx :

¡¼

 

 

Кроме того,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f(¡¼) + f(¼)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Φ(

¡

¼) = Φ(¼) =

:

 

 

 

 

 

(26)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Доказательство

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Возьм¼м, для начала, два вспомогательных интеграла при m 6= 0 :

 

 

¼

 

¼

1

 

 

 

 

1

 

sin(2mx)

 

¼

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¡

 

¡

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¢ (1 + cos(2mx))dx = 2 ¢ µx +

 

 

 

 

 

 

¼ = ¼ ;

 

Z

cos2(mx)dx = Z

2

2m

 

¶¯

 

 

(27)

 

¼

 

¼

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

¼

 

¼

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯¡

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

sin(2mx)

¯

¼

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¡

 

¡

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¢ (1 ¡ cos(2mx))dx = 2 ¢ µx ¡

 

 

 

 

 

 

¼ = ¼ :

 

Z

sin2(mx)dx = Z

2

2m

 

 

¶¯

 

 

(28)

Далее, возьм¼м и приравняем интегралы по промежутку [

 

¼; ¼¯

] левой и правой

 

¼

¼

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯¡

 

 

частей равенства (25):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¡

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z Ã 20 +

n=1 (an cos (nx) + bn sin (nx))!dx :

 

 

 

Z f(x)dx =

 

 

 

¼

 

 

 

 

 

 

¼

 

 

+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¼

 

 

 

 

 

¡

¼

 

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¡

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

33

Получим

 

 

Z

f(x)dx = Z

 

20 dx +Z

Ãn=1 an cos(nx)!dx +Z

Ãn=1 bn sin(nx)!dx =

 

 

 

¼

 

 

 

 

 

 

¼

a

¼

+1

 

 

 

 

¼

+1

 

 

 

¡

¼

 

 

 

 

¡

¼

 

 

¼

 

X

 

 

 

 

¼

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¡

 

 

 

 

 

 

¡

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

¼

 

+1

¼

 

 

+1

 

 

 

¼

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

0

 

Z

 

dx + n=1 an ¢Z cos(nx)dx + n=1 bn ¢Z sin(nx)dx =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¡¼

 

 

 

X

¡¼

 

 

X

 

¡¼

 

 

 

 

 

a

 

 

¼

 

+1

 

 

 

 

¼

 

 

 

 

 

+1

 

¼

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¼

 

 

 

 

 

 

¼

 

 

 

 

 

 

0

 

 

¯

¡

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

 

 

=

 

¢ x¯

 

 

 

+ n=1 an ¢Z cos(nx) cos(0 ¢ x)dx + n=1 bn ¢Z sin(nx) cos(0 ¢ x)dx = a0 ¢ ¼ ;

2

 

 

 

¼

откуда

 

|{z}

 

 

 

|

 

 

{z

 

 

 

}

|

 

 

 

{z

 

}

 

 

 

 

=2¯

¼

 

 

 

 

 

¡

=0; (22)

 

 

 

¡

 

 

 

=0; (24)

 

 

 

 

 

¯

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¼

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a0 =

1

Z

f(x)dx :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¼

 

 

 

 

 

 

 

 

¡¼

Далее, возьм¼м и приравняем интегралы по промежутку [¡¼; ¼] левой и правой частей равенства (25), предварительно домноженных на cos(mx) ïðè m ¸ 1 :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z¼ f(x) cos(mx)dx =

 

 

 

 

 

 

Ã

 

 

 

 

 

¡¼

 

 

 

 

 

¼

a

 

 

+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¡¼

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

 

 

20 cos(mx) +

 

 

 

 

 

= Z

 

n=1 (an cos(nx) cos(mx) + bn sin(nx) cos(mx))!dx :

Получим

 

 

 

 

 

 

Z¼ f(x) cos(mx)dx =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¡¼

 

 

 

¼

a

 

 

¼

 

+1

¼

 

+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

Z

0

cos(mx)dx+

Ã

 

an cos(nx) cos(mx)!dx+

Ã

bn sin(nx) cos(mx)!dx =

2

 

 

 

 

 

 

 

Z

 

n=1

Z

 

n=1

 

¡¼

 

 

 

¡¼

 

X

¡¼

 

X

34

 

¼

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+1

¼

 

 

 

 

 

 

 

 

+1

 

¼

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

0

Z cos(mx) cos(0 ¢ x)dx +n=1 an ¢Z cos(nx) cos(mx)dx + n=1 bn¢Z sin(nx) cos(mx)dx =

 

2

 

¡¼

 

 

 

 

 

 

 

 

 

}

X

¡¼

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

¡¼

 

 

 

 

 

 

 

}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

|

 

 

 

=0¼;{z(22)

 

 

 

 

 

 

 

 

¼

|

 

 

=0;{z(24)

 

 

 

 

 

= a1 ¢Z

cos(x) cos(mx)dx +

 

: : :

 

+ a1 ¢Z cos((m ¡ 1)x) cos(mx)dx +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=0; (22)

 

 

 

 

 

 

 

 

¡¼

 

 

 

 

 

 

|

 

{z

}

¡¼

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=0; (22)

}

 

 

 

=0;

(22)

 

 

 

 

 

 

}

 

 

 

 

 

 

¼

|

 

 

 

 

 

{z

 

 

 

¼

 

 

|

 

 

 

{z

 

 

 

 

 

 

 

+ am¢Z

cos(mx) cos(mx)dx + am+1 ¢Z

cos((m + 1)x) cos(mx)dx + :

: :

 

 

= am ¢ ¼ ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=0;

(22)

 

 

 

 

 

 

 

¡¼

 

 

 

 

 

 

}

 

 

 

 

¡¼

 

 

 

 

 

 

 

}

 

| {z }

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=¼;

(27)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=0; (22)

 

 

 

 

 

 

 

откуда

|

 

 

 

 

 

{z

 

 

 

 

 

 

 

 

|

 

 

 

 

{z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¼

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

am =

1

Z

f(x) cos(mx)dx :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¼

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¡¼

Далее, возьм¼м и приравняем интегралы по промежутку [¡¼; ¼] левой и правой частей равенства (25), предварительно домноженных на sin(mx) ïðè m ¸ 1 :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z¼ f(x) sin(mx)dx =

 

 

 

 

 

Ã

 

 

 

 

 

¡¼

 

 

 

¼

a

 

 

+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¡¼

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

20 sin(mx) +

 

 

 

 

= Z

 

n=1 (an cos(nx) sin(mx) + bn sin(nx) sin(mx))!dx :

Получим

 

 

 

 

 

 

Z¼ f(x) sin(mx)dx =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¡¼

 

 

¼

a

 

 

 

 

¼

+1

¼

+1

 

¼

 

 

 

 

¼

¼

 

0

 

 

 

 

 

X

X

= Z

2

sin(mx)dx +Z

Ãn=1 an cos(nx) sin(mx)!dx +Z

Ãn=1 bn sin(nx) sin(mx)!dx =

¡

 

 

 

 

¡

 

 

¡

 

35

 

¼

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+1

¼

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+1

 

¼

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

0

Z sin(mx) cos(0 ¢ x)dx + n=1 an¢Z cos(nx) sin(mx)dx +n=1 bn ¢Z sin(nx) sin(mx)dx =

 

2

 

¡¼

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

¡¼

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

¡¼

 

 

 

 

 

 

 

 

|

 

 

 

 

 

{z

 

 

 

 

 

}

 

 

|

 

 

 

 

 

 

 

{z

 

 

 

 

 

}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¼

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=0;

(24)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=0; (24)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¼

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= b1 ¢Z

sin(x) sin(mx)dx + : : :

+ b1 ¢Z sin((m ¡ 1)x) sin(mx)dx +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=0; (23)

 

 

 

 

 

 

 

¡¼

 

 

 

 

 

 

|

 

 

{z

}

¡¼

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=0; (23)

 

 

 

 

 

 

=0;

(23)

 

 

 

 

 

}

 

 

 

 

 

¼

|

 

 

 

 

 

 

{z

}

 

 

 

 

¼

 

 

 

 

 

 

|

 

 

 

{z

 

 

 

 

 

+ bm¢Z sin(mx) sin(mx)dx + bm+1 ¢Z

sin((m + 1)x) sin(mx)dx + :

: :

 

= bm ¢ ¼ ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=0;

(23)

 

 

 

 

 

¡¼

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¡¼

 

 

 

 

 

 

 

 

 

| {z }

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=¼; (28)

 

}

 

 

 

 

 

 

 

 

=0;

(23)

 

 

}

 

 

откуда

|

 

 

 

 

 

 

{z

 

 

 

 

 

|

 

 

 

 

 

 

{z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¼

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

Z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

bm =

 

f(x) sin(mx)dx :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¼

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¡¼

Мы доказали, что из справедливости равенства (25) выводятся формулы для a0 ; an ; bn : Строго говоря, на основе выведенных формул следовало бы доказать справедливость равенств (25), (26). Эта часть доказательства теоремы опускается.

Теорема о ряде Фурье для разрывной функции

Пусть f : [¡¼; ¼] ! R; пусть f(x) имеет на [¡¼; ¼] конечное количество

точек разрыва 1 го рода.

Тогда равенство (25) справедливо для всех точек промежутка (¡¼; ¼);

кроме, может быть, точек разрыва.

 

 

 

 

Åñëè x0 точка разрыва 1 го рода из промежутка

(¡¼; ¼); òî

 

 

x

1

 

lim f(x)

lim f(x) :

 

 

 

 

 

 

 

 

Φ(

0) = 2

 

Кроме того,

 

¢ µx!x0+0

 

+x!x0¡0

 

 

 

 

 

 

 

 

x!¼¡0

Φ(¡ ) = Φ( ) = 2 ¢ µx!¡¼+0

 

¼

 

¼

1

 

lim

f(x) + lim

f(x)

:

 

 

 

 

36

Без доказательства.

Замечание Если построен ряд Фурье, удовлетворяющий равенству (25), то принято гово-

рить, что функция f(x) разложена в ряд Фурье.

Замечание

Если функция f(x) ч¼тная на промежутке [¡¼; ¼] ; то ряд Фурье содержит только постоянное слагаемое и слагаемые с косинусами:

Φ(x) = a20 + X+1 an cos (nx) :

n=1

Если функция f(x) неч¼тная на промежутке [¡¼; ¼] ; то ряд Фурье содержит

только слагаемые с синусами:

X+1

Φ(x) =

bn sin (nx) :

 

n=1

Пример 22

Разложить в ряд Фурье функцию f(x) = x на промежутке (¡¼; ¼) :

Решение

Функция f(x) непрерывна, поэтому в любой точке открытого промежутка (¡¼; ¼) значение функции совпад¼т со значением е¼ ряда Фурье Φ(x): Вместе с тем, f(¡¼) =6 f(¼) ; следовательно, Φ(§¼) =6 f(§¼) :

В разложении неч¼тной функции участвуют только неч¼тные функции, поэтому

an = 0 ; n = 0; 1; 2; 3; : : : ;

bn = ¼

Z

x sin(nx)dx = ¼

Z

x d µ¡

n

= ¡¼n Z

x d cos(nx) =

 

¼

 

¼

 

 

 

¼

 

1

 

1

 

 

 

cos(nx)

1

 

 

 

¡¼

 

¡¼

 

 

 

¡¼

 

37

 

 

0x cos(nx)j¡¼

¼

cos(nx)dx1

 

 

µx cos(nx)j¡¼

 

 

 

=

 

1

¼ ¡ Z

 

1

1

sin(nx)j¡¼ ¼

= ¡

 

= ¡

 

¼ ¡

 

¼n

¼n

n

 

 

@

¡¼

A

0

 

 

11

 

 

0

 

 

 

 

 

 

1

 

¼

 

cos(¼n)

 

(

 

¼)

 

 

 

 

 

 

= ¡

¼n B

¢

¡

¡

 

 

=(¡1)n

 

 

 

@

 

 

|

 

{z

 

}

 

 

 

 

| {z

}

 

@| {z } | {z }AA

1

2

;

 

¼n

1

 

¼n

 

¼n

 

C

¢ cos(¡

 

 

) ¡

n

sin(

 

 

 

) ¡ sin(¡

 

 

)

= (¡1)

¢

n

 

=(¡1)n

 

 

=0

 

 

=0

 

 

 

 

 

 

 

таким образом,

 

 

+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

X

2

 

nx

 

:

 

 

1

 

 

Φ(

 

) =

(¡1)

¢

n

¢ sin(

 

)

 

 

 

 

n=1

 

 

 

 

 

 

На практике точно вычислить сумму бесконечного количества слагаемых ряда Фурье уда¼тся лишь для некоторых x : Надежды на удачу при любом x неоправданы.

Поэтому взамен суммы ряда приходится довольствоваться частичной суммой из N слагаемых, и от числа N зависит точность приближения суммы ряда.

Íà Ðèñ. 3; 4; 5 показаны графики функции y = x è y =XN (¡1)1 ¢ n2 ¢ sin(nx)

ïðè N = 3; 10; 100; соответственно.

n=1

Ðèñ. 3

38

Ðèñ. 4

Ðèñ. 5

Графики построены в среде wolframalpha.com. В частности, для N = 3 это сделано при помощи команды

Plot[{x, Sum[(-1) (n-1)*2/n*Sin[n*x], {n,1,3}]}, {x,-2*pi,2*pi}]

Из рисунков видно, что линия "змейка", изображающая частичную сумму ряда Фурье, "âü¼òñÿ" вс¼ ближе к графику базовой функции y = x по мере роста чис-

39

ла слагаемых в частичной сумме. Но близость эта наблюдается только на открытом промежутке (¡¼; ¼) ; благо, ничего иного теория и не гарантировала.

Попутно отметим один интересный факт. Если

+1

 

 

 

 

 

 

X

2

 

nx

 

x ;

1

 

 

(¡1)

¢

n

¢ sin(

 

) =

 

n=1

 

 

 

 

 

 

что равносильно

+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

1

 

 

 

x

 

 

1

 

 

 

nx

 

 

 

;

 

(¡1)

¢ n

¢ sin(

 

) =

2

 

 

n=1

 

 

 

 

 

 

 

 

8x 2 (¡¼; ¼) ; то равенство (29) справедливо и при x = ¼=2 : Тогда

X

1)n

1

 

 

¼

 

+1

¢ sin ³

´ =

 

 

(¡ ¡

 

 

 

 

:

n=1

n

 

2

4

(29)

(30)

"Разверн¼м" сумму в (30) и увидим закономерность в ней:

1 ¢ sin µ

1

2¢

 

¡

2

¢ sin

µ2

2¢

 

+ 3

¢ sin µ3

2¢

 

¡

4 ¢ sin

1

 

 

 

 

 

¼

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

¼

1

 

 

 

 

 

 

¼

 

 

 

1

 

|

 

{z

 

 

 

}

 

 

|

 

 

{z

 

 

 

}

|

 

{z

 

 

 

}

 

|

µ ¶

4 ¢ ¼ +

{z2 }

+ 5

¢ sin µ5

2¢

=1

¡

6 ¢ sin

µ6

2¢

=0

 

 

 

7 ¢ sin µ7

2¢

=¡1

 

¢ sin

µ8

2¢

=0

 

 

 

 

+

 

 

¡ 8

 

+ : : : = 4

:

 

1

 

 

 

 

 

¼

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

¼

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¼

1

 

 

 

 

 

 

 

¼

¼

 

Ýòî

 

|

 

{z

 

 

 

}

 

|

 

 

 

{z

 

 

 

 

}

 

 

 

 

|

 

 

 

{z

 

 

 

}

 

|

 

 

{z

 

 

 

}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=¡1

 

 

 

 

 

 

 

=0

 

 

 

 

 

 

означает, что

 

 

 

1

 

 

1

 

 

1

 

 

1

 

 

1

 

1

 

 

 

 

 

 

¼

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¡

+

¡

 

+

¡

+ : : : =

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

3

5

7

 

9

11

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

Полученный результат подтверждает равенство (17), доказанное в Примере 20 совершенно другим способом.

Пример 23

Разложить в ряд Фурье функцию f(x) = x2 на промежутке [¡¼; ¼] :

Решение

Функция f(x) непрерывна, значения е¼ на концах промежутка [¡¼; ¼] одинаковы, поэтому в любой точке промежутка [¡¼; ¼] значение функции совпад¼т со

40

Соседние файлы в папке Литература и лекции