Литература и лекции / Векторы1

Без доказательства.

Теорема о вычислении векторного произведения векторов в декартовых компонентах

~

Åñëè ~a = (ax; ay; az) ; b = (bx; by; bz) ;

21

нулевой вектор.

Операции умножения вектора на число, скалярного умножения векторов, векторного умножения векторов имеют равный приоритет, поэтому раньше выполняется та из них, которая раньше выписана.

В данном случае, первой в выражении присутствует операция векторного умножения, она и выполняется первой.

Операции сложения и вычитания векторов имеют более низкий приоритет, чем операции умножения. Для изменения приоритета операций в выражении с векторами используются, как и в выражении с числами, круглые скобки.

22

Замечание

Модуль смешанного произведения тр¼х векторов, исходящих из общего начала, равен объ¼му параллелепипеда, построенного на этих векторах, как на исходящих из одной вершины р¼брах.

Смешанное произведение равно объ¼му параллелепипеда, если тройка векторовправая, и равно минус объ¼му параллелепипеда, если тройка векторов левая.

Теорема о свойствах смешанного произведения векторов

~ ~ ~ ~ ~ ~

1. ~a b~c = bc~a = c~a b = ¡b~a~c = ¡~a~c b = ¡~c b~a :

~~

2.(¸~a) b~c = ¸(~a b~c) :

ской перестановкой влево. Выражение c~a b получено из выражения ~a b~c циклической перестановкой вправо.

Теорема о вычислении смешанного произведения векторов в декартовых компонентах

Согласно теоремам о векторном и скалярном произведениях в декартовых компонентах, а также по формуле разложения определителя по элементам строки,

23

Применим второе элементарное преобразование строк определителя: обменяем местами первую и вторую строки:

24

Здесь доказано самое первое из равенств Теоремы о свойствах смешанного произведения векторов. Аналогичными действиями доказываются и прочие равенства Теоремы.

Теорема (признак компланарности векторов)

Доказательство необходимости

Совместим начала всех тр¼х векторов в какой-нибудь точке O :

~

Векторы ~a ; b ; в силу коллинеарности, будут лежать на одной прямой. Через эту прямую, а также через прямую, проходящую вдоль вектора ~c ; можно провести плоскость (так как эти две прямые пересекаются в точке O), следовательно,

компланарны.

25

начал всех тр¼х векторов, они будут лежать в одной плоскости. По теореме о базисе

Âкоэффициенте при ¸1 совершена циклическая перестановка вправо, тогда как

âкоэффициенте при ¸2 совершена циклическая перестановка влево.

Доказательство закончено.

Замечание Формально признаки перпендикулярности, коллинеарности и компланарности

~

верны и для случаев, когда среди векторов ~a ; b ; ~c есть нулевые.

Теорема

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку M0 = (x0; y0; z0) перпендикулярно заданному вектору ~n = (A; B; C) имеет вид

Доказательство

Пусть M = (x; y; z) есть произвольная точка плоскости. Рассмотрим вектор

¡¡¡!

M0M:

Вектор ~n перпендикулярен плоскости, следовательно, он перпендикулярен лю-

бой прямой, лежащей в этой плоскости, следовательно, он перпендикулярен прямой,

¡¡¡!

проходящей через точки M0 ; M; а с ней и вектору M0M:

¡¡¡!

По признаку перпендикулярности векторов ~n ¢ M0M = 0 ; что равносильно уравнению (1) :

26

Замечание Раскрывая скобки в (1), можно получить

Ax ¡ Ax0 + By ¡ By0 + Cz ¡ Cz0 = 0 ;

èëè

D

Уравнение (2) принято называть общим уравнением плоскости. Название определяется тем, что любая плоскость может быть задана уравнением вида (2).

Вектор ~n = (A; B; C) принято называть нормальным вектором плоскости, èëè

нормалью плоскости.

Умножение уравнения (2) на любой постоянный (т.е. независящий от x ; y ; z) множитель ¹ 6= 0 åñòü равносильное преобразования уравнения. То есть, после домножения на ¹ уравнение станет другим, но ему будет подчиняться то же множество

точек та же плоскость. Это означает, что общее уравнение плоскости неединственно для каждой конкретной плоскости. Принято говорить, что оно определяется с точностью до постоянного множителя.

Единственным будет такое уравнение плоскости, в котором будет присутствовать òðè (а не четыре, как в (2)) числовых параметра.

Замечание

Уравнение плоскости, проходящей через точки M1 = (x1; y1; z1) ; M2 = (x2; y2; z4) ; M3 = (x3; y3; z3) ; имеет вид

Уравнение плоскости, проходящей через точки M0 = (x0; y0; z0) параллельно

~

векторам ~a = (ax; ay; az) ; b = (bx; by; bz) ; имеет вид

27

Определение Если система линейных алгебраических уравнений

совместна, и ранг е¼ расширенной матрицы равен двум, то множество точек M = (x; y; z) ; удовлетворяющих системе (3), åñòü прямая.

Замечание В школьном курсе стереометрии установлено, что линией пересечения двух плос-

костей (если они не сливаются и не параллельны) является прямая.

Именно поэтому в аналитической геометрии прямая вводится как линия пересе- чения двух плоскостей.

Система (3) может означать две сливающиеся плоскости (а не прямую), если

Система (3) может означать две параллельные плоскости (а не прямую), если

Разумеется, существуют разновидности соотношений (4) è (5) для вырожденных случаев. Например, две плоскости сливаются, если

28

Замечание Задание прямой в виде (3) не всегда удобно, и, уж точно, никогда не наглядно.

Существует альтернативный способ задания прямой в пространстве, переход к которому рассматривается на следующем примере.

Совокупность уравнений (7) (8), которая равносильна исходной системе уравнений (6), может быть переписана в виде

принято называть каноническим уравнением прямой.

Соотношения (9), также, как и (3), представляют систему двух уравнений с тремя неизвестными. Однако, содержимому (9) можно придать наглядный

геометрический смысл.

M0 = (x0; y0; z0) есть точка, лежащая на прямой (9). p~ = (k; l; m) есть вектор, которому прямая параллельна, поэтому p~ принято называть направляющим вектором прямой.

29

Замечание Систему (3) в некоторых, вырожденных случаях, не уда¼тся привести к виду (9).

В таких случаях можно написать символическое, геометрически наглядное "уравнение" вида (9), один или два (но не три) из знаменателей которого есть нуль. Например,

означает прямую, проходящую через точку M0 = (3; 2; 1) параллельно направляющему вектору p~ = (0; 2; 0) : Использовать "уравнение" (10) в выкладках и вычислениях