Г л а в а VII. ГИДРОСТАТИКА

§ 138. Подвижность жидкости. Основным отличием жидкостей от твердых (упругих) тел является подвижность (текучесть). Благодаря своей подвижности жидкости, в отличие от упругих тел, не обнаруживают сопротивления изменению формы. Части жидкости могут свободно сдвигаться, скользя одна относительно другой. Поэтому, если к поверхности жидкости прилагаются силы, не перпендикулярные к поверхности, то равновесие жидкости всегда нарушается и она приходит в движение, как бы малы эти силы ни были. Достаточно, например, подуть на поверхность воды в тазу, чтобы вызвать ее движение. Море рябит при малейшем ветерке. Мы видели, что ничтожная сила со стороны стеклянной нити приводит в движение плавающий на воде кусок дерева (§ 44).

Подвижностью жидкости объясняется то, что свободная поверхность жидкости, находящейся в равновесии под действием силы тяжести, всегда горизонтальна. В самом деле, если бы, например, поверхность покоящейся жидкости была расположена под углом к горизонту, то частицы жидкости вблизи поверхности соскальзывали бы вдоль нее вниз под действием силы тяжести, как по наклонной плоскости. Такое движение продолжалось бы, пока поверхность жидкости не сделалась бы горизонтальной.

Заметим, однако, что свободная поверхность жидкости, налитой в сосуд, несколько искривлена вблизи стенок. Это легко обнаружить, рассматривая отражение предметов от поверхности воды, налитой в чашку. Это искривление вызывается силами, действующими между жидкостью и стенками, и сказывается лишь в их непосредственной близости. Влияние стенок будет разобрано в § 253.

Для жидкости, занимающей большое пространство (моря, океаны), нужно учитывать, что направление силы тяжести в разных точках земной поверхности различно. Так как сила тяжести направлена всюду к центру Земли по радиусу, то и поверхность моря принимает в целом форму приблизительно шаровой поверхности, нарушаемую лишь посторонними местными причинами (например, под действием ветра появляются волны).

§ 139. Силы давления. Повседневный опыт учит нас, что жидкости действуют с известными силами на поверхность твердых тел, соприкасающихся с ними. Эти силы мы называем силами давления жидкости.

Прикрывая пальцем отверстие открытого водопроводного крана, мы ощущаем силу давления жидкости на палец. Боль в ушах, которую испытывает пловец, нырнувший на большую глубину, вызвана силами давления воды на барабанную перепонку уха. Термометры для измерения температуры в глубине моря должны быть очень прочными, чтобы давление воды не раздавило их. Ввиду огромных сил давления на большой глубине корпус подводной лодки должен иметь гораздо большую прочность, чем корпус надводного корабля. Силы давления воды на днище судна поддерживают судно на поверхности, уравновешивая действующую на него силу тяжести. Силы давления действуют на дно и на стенки сосудов, наполненных жидкостью: налив в резиновый баллон ртуть, мы видим, что его дно и стенки выгибаются наружу (рис. 212). Наконец, силы давления действуют со стороны одних частей жидкости на другие. Это значит, что

Рис. 212. Стенки и дно резинового баллона, вложенного в проволочный каркас (а), выгнуты силами давления налитой ртути (б)

если бы мы удалили какую-либо часть жидкости, то для сохранения равновесия оставшейся части нужно было бы приложить к образовавшейся поверхности определенные силы (рис. 213). Необходимые для поддержания равновесия силы равны силам давления, с которыми удаленная часть жидкости действовала на оставшуюся.

В § 34 мы видели, что силы, действующие при непосредственном соприкосновении тел, — упругие силы — возникают

сожмется в большей степени, настолько, чтобы возросшие силы давления уравновесили увеличенную нагрузку.

Эта картина вполне аналогична разобранной в § 60 картине равновесия груза, лежащего на подставке. Подставка прогибается, и равновесие наступает тогда, когда силы упругости, возникшие при прогибе, уравновешивают силу тяжести, действующую на груз.

Для наглядности на рисунке сжатие жидкости под поршнем сильно преувеличено. В действительности в подобном опыте перемещение поршня и сжатие жидкости настолько малы, что на глаз их обнаружить нельзя. Однако в большей или меньшей степени все жидкости сжимаемы, и степень их сжатия, соответствующая тем или иным силам давления, может быть измерена.

§ 140. Измерение сжимаемости жидкости. Хотя изменение объема жидкости под действием.внешних сил и невелико, его все же можно обнаружить и измерить без особого труда. Однако при измерении сжимаемости жидкости нужно учесть, что жидкость, сильно сжимаемая в сосуде, действует изнутри на его стенки с большими силами давления и расширяет сосуд. В результате получается преувеличенное значение сжимаемости жидкости. Поэтому нужно устранить

возможность расширения сосуда; это достигается тем, что к сосуду снаружи прилагают такое же давление, какое на него оказывает жидкость изнутри.

Сосуд 1 подвергаясь одинаковому давлению как снаружи, так и изнутри, практически не меняет своего объема. Жидкость, однако, сжимается, и уровень ее в отростке 4 понижается; отросток делают очень узким, благодаря чему уже малое изменение объема жидкости хорошо заметно. Измеряя понижение уровня жидкости в отростке, найдем уменьшение ее объема; показания манометра 5 дадут силу давления, приходящуюся на единицу площади. Таким образом, можно определить уменьшение объема, соответствующее, например, увеличению давления на одну атмосферу (§ 147). Для воды такое увеличение давления ведет к уменьшению объема примерно на 1/20000 долю, для ртути — всего на 1/250000. Для сравнения укажем, что при таком же увеличении давления кусок стали сжался бы всего на 1/1700000 долю первоначального объема.

пружина действует только на поршень и на дно цилиндра, силы давления жидкости действуют и на дно, и на поршень, и на стенки (рис. 217).

В свою очередь на жидкость действует не только поршень, но и упругость стенок цилиндра, которые выгибаются тем сильнее, чем больше сжата жидкость. Разумеется, если цилиндр сделан из металла или стекла, то этот прогиб так ничтожен, что может быть обнаружен лишь с помощью точных измерений, однако силы, действующие со стороны деформированных стенок, вполне ощутимы. Если проделать в стенке отверстие и затянуть его резиновой пленкой, то прогиб пленки делается заметным (рис. 218).

§ 143. Направление сил давления. Силы давления, действующие со стороны покоящейся жидкости на данный участок

лярно к дну и стенкам, и т. д. (рис. 217). Если взять поршень со скошенной нижней поверхностью

(рис. 219), то силы давления будут прижимать его к стенке цилиндра (на нашем рисунке — влево).

§ 144. Давление. Силы давления на стенки сосуда, заключающего жидкость, или на поверхность твердого тела, погруженного в жидкость, не приложены в какой-либо определенной точке поверхности. Они распределены по всей поверхности соприкосновения твердого тела с жидкостью. Поэтому сила давления на данную поверхность зависит не только от степени сжатия соприкасающейся с ней жидкости, но и от размеров этой поверхности. Для того чтобы охарактеризовать распределение сил давления независимо от размеров поверхности, на которую они действуют, вводят понятие давления.

Давлением на участке поверхности называют отношение

силы давления, действующей на этот участок, к площади участка. Очевидно, давление численно равно силе давления, приходящейся на участок поверхности, площадь которого равна единице. Будем обозначать давление буквой p. Если сила давления на данный участок равна F , а площадь участка равна S, то давление выразится формулой

p = F/S.

Если силы давления распределены равномерно по некоторой поверхности, то давление одно и то же в каждой ее точке. Таково, например, давление на поверхности поршня, сжимающего жидкость. Это иллюстрируется опытом, показанным на рис. 220, в котором вместо сплошного поршня взят поршень с отверстиями, закрываемыми втулками, которые могут двигаться в отверстиях без трения. Силы, которые необходимо приложить к втулкам для удержания их в равновесии, прямо пропорциональны

площадям поперечных сечений втулок; на втулки с одинаковыми сечениями действуют равные силы.

Нередко, однако, встречаются случаи, когда силы давления распределены по поверхности неравномерно. Это значит, что на одинаковые площади в разных местах поверхности действуют разные силы. Нальем воду в сосуд, в боковой стенке которого сделаны одинаковые отверстия, затянутые резиновыми пленками; мы увидим, что пленки в отверстиях, расположенных ниже, сильнее выгнуты наружу (рис. 221). Это значит, что в нижней части сосуда давление больше, чем в верхней.

§ 145. Мембранный манометр. Как измерить давление жидкости на поверхность твердого тела, например давление воды на дно стакана? Конечно, дно стакана деформируется под действием

Поместив манометр с достаточно малой мембраной внутрь жидкости, мы увидим, что при поворачивании манометра его показания не меняются. Таким образом, мы обнаруживаем, что

давление в данном месте жидкости не зависит от ориентации площадки, на которой оно измеряется. Вспомним, что по самому своему определению давление не зависит и от размеров площадки, на которую оно действует, так как оно всегда относится к единице площади поверхности. Таким образом, введенное нами понятие давления представляет собой такую характеристику состояния жидкости в данном месте, которая не зависит ни от размеров, ни от ориентации площадки, по которой давление измеряется. Давление зависит лишь от степени сжатия жид-

кости в данном месте.

Подчеркнем, что гибкая мембрана манометра служит лишь для удобного обнаружения и измерения сил давления жидкости, а силы эти обусловлены упругими свойствами самой жидкости. Те же самые силы давления действовали бы со стороны жидкости на поверхность любого другого тела, например сплошного куска металла, помещенного на место мембраны.

Мы можем также мысленно выделить внутри жидкости ка- кой-либо объем. Во всех точках поверхности, ограничивающей этот объем, будут существовать некоторые давления, совершенно такие же, какие существовали бы на поверхности твердого тела, имеющего тот же объем. Это же давление действует и на мембрану измеряющего манометра, погруженного в жидкость.

§ 147. Единицы давления. Единицей давления называют такое давление, при котором на единицу площади действует сила, равная единице. В СИ единицей давления служит давление, при котором на один квадратный метр приходится сила, равная одному ньютону. Эта единица названа в честь Б. Паскаля (§ 150) паскалем (Па): 1 Па = 1 Н/м2.

Широко применяется внесистемная единица давления, называемая атмосферой. Она равна давлению, оказываемому столбом ртути высоты 760 мм (или водяным столбом высоты 10,332 м) 1):

1) Это — так называемая физическая атмосфера (обозначается атм), которую мы будем называть просто атмосферой. Кроме физической, существует техническая атмосфера (обозначается ат), равная давлению, оказываемому водяным столбом высоты 10,000 м. Техническая атмосфера равна 0,968 физической атмосферы. В дальнейшем в этой книге техническая атмосфера не используется.

§ 148. Определение сил давления по давлению. Зная давление в каждой точке данной поверхности, нетрудно определить равнодействующую сил давления на всю эту поверхность. Рассмотрим сначала плоскую поверхность. Если давление p одно и то же по всей поверхности, то равнодействующая сила

F = pS,

где S — площадь поверхности. Эта равнодействующая имеет, как следует из § 143, направление, перпендикулярное к поверхности.

Если давление различно в разных точках плоской поверхности, то для вычисления равнодействующей силы поступают следующим образом. Поверхность разбивают на столь малые участки, чтобы во всех точках участка можно было считать давление практически одинаковым (хотя и различным для разных участков). Силу давления на отдельный участок вычисляют как произведение давления на данном участке на его площадь; равнодействующая сил давления на всю поверхность равна сумме найденных таким образом сил, приходящихся на отдельные участки и параллельных между собой. Направление равнодействующей силы перпендикулярно к плоской поверхности.

Если поверхность не плоская, ее разбивают на столь малые участки, что каждый из них практически можно считать плоским. Тогда силу, действующую на каждый участок, можно найти так же, как и для плоского участка. Каждая из этих сил имеет направление, перпендикулярное к участку, на который

она действует. Силы эти не параллельны между собой, а имеют различные направления. Для определения равнодействующей сил

давления на всю поверхность надо сложить силы, приходящиеся на отдельные участки, по правилу сложения векторов. Так, например, силы давления f воды на погруженную поверхность плавающего судна имеют разные направления в разных точках

его корпуса, как показано на рис. 223. Равнодействующая F этих сил будет направлена вертикально вверх, уравновешивая силу тяжести, действующую на судно.

?148.1. В трубе находится поршень, форма которого в сечении показана на рис. 224. Давление жидкости по обе стороны поршня одно и то же. Находится ли поршень в равновесии? Для простоты рассуждений принять, что сечение трубы имеет форму прямоугольника.

§149. Распределение давления внутри жидкости. В предыдущих параграфах мы выяснили, что давление внутри жидкости зависит от степени ее сжатия. Жидкость может быть сжата действующей на нее силой тяжести или какими-либо внешними силами, приложенными к поверхности жидкости (поверхностные силы). Например, давление в глубине моря вызвано давлением вышележащих слоев воды и силой давления со стороны воздушной атмосферы, действующей на свободную поверхность моря. При этом давление внутри жидкости оказывается неравномерным, так как верхние слои воды сжаты в основном давлением атмосферы, а глубоководные слои сжаты гораздо сильнее давлением вышележащей части воды. Наоборот, почти равномерное распределение давления наблюдается в паровом котле, где давление создано в основном давлением пара на поверхность воды, так как глубина воды в котле невелика. В следующих параграфах мы выясним подробно картину распределения давления внутри жидкости для разных случаев воздействия сил на жидкость.

§150. Закон Паскаля. Сначала найдем распределение давления внутри жидкости для случая, когда жидкость сжата только поверхностными силами. Вес жидкости можно не учитывать, если обусловленное им давление

Поместим жидкость в произвольной формы замкнутый сосуд, к которому присоединен цилиндр с поршнем (рис. 225). Вдвигая поршень в цилиндр, создадим внутри жидкости давление,

обусловленное поверхностными силами. Опыт показывает, что если в различных местах в сосуде поместить манометры, то их показания окажутся практически одинаковыми.

Можно и теоретически показать, что в рассматриваемом случае давления в любых двух точках, например в точках A и B, должны быть равны между собой. Для этого мысленно выделим внутри жидкости тонкий цилиндр, осью которого служит линия AB и основания которого, имеющие площадь S, перпендикулярны к линии AB. Выделенный объем составляет часть покоящейся жидкости, и, следовательно, сам находится в покое, хотя на его поверхность действуют силы давления. Другие силы на цилиндре действуют (силой тяжести мы пренебрегли). Для равновесия необходимо, чтобы сумма проекций всех сил давления на любое направление равнялась нулю (§ 74). Рассмотрим сумму проекций сил давления на ось AB.

Силы давления, действующие на боковую поверхность цилиндра, перпендикулярны к оси AB, и, следовательно, их проекции на ось равны нулю. Остаются лишь силы, действующие на основания цилиндра. Они равны соответственно pAS и pB S, где pA и pB — давления в точках A и B. Так как эти силы перпендикулярны к основаниям, то они направлены вдоль AB, и притом в противоположные стороны. Поскольку цилиндр находится в равновесии, эти силы должны уравновешивать друг друга, т. е. должно быть pAS = pB S; отсюда

pA = pB ,

т. е. давления в точках A и B равны между собой.

Это рассуждение можно повторить для любых двух точек внутри жидкости. Если какие-нибудь две точки нельзя соединить прямой, не задевая стенок сосуда, как, например, точки A и D, то доказательство ведется последовательно для ряда промежуточных точек (например, точек B и C): доказываем, что pA = pB , затем, что pB = pC , затем, что pC = pD . Отсюда следует доказываемое равенство pA = pD .

Итак, при действии лишь поверхностных сил давление во всех точках внутри жидкости одинаково. Этот закон был установлен французским физиком и математиком Блэзом Паскалем (1623–1662) и носит его имя.

Рассматривая цилиндры, одно из оснований которых лежит на стенке сосуда (например, цилиндр LM ), убедимся, что давление на стенки равно давлению внутри жидкости. Это же давление будет и на поверхности поршня. Таким образом, если давление поршня на поверхность жидкости равно p, то это же

давление p будет существовать в каждой точке внутри жидкости и на стенках сосуда. Поэтому иногда формулируют закон Паскаля следующим образом: давление, создаваемое поверх-

ностными силами, передается без изменения в каждую точку

жидкости.

В этой формулировке закон Паскаля остается верным и для общего случая, т. е. для случая, когда мы учитываем и силу тяжести. Если сила тяжести создает внутри покоящейся жидкости определенное давление (вообще говоря, различное в различных точках), то приложенные поверхностные силы увеличивают давление в каждой точке жидкости на одну и ту же величину.

§ 151. Гидравлический пресс. Закон Паскаля позволяет объяснить действие распространенного в технике устройства — гидравлического пресса. Гидравлический пресс состоит из двух цилиндров разных диаметров, снабженных поршнями и соединенных трубкой (рис. 226). Пространство под поршнями и трубка заполняются жидкостью. Обозначим площадь малого поршня через S1, а большого поршня — через S2. Пусть к малому поршню приложена сила F1; найдем, какую силу F2 необходимо приложить ко второму поршню, чтобы сохранить равновесие,

т. е. для того, чтобы жидкость не была вытеснена из первого цилиндра во второй или обратно через соединяющую их трубку.

Будем пренебрегать силой тяжести, действующей на жидкость; тогда давление во всех точках жидкости должно быть одним и тем же. Но давление под первым поршнем равно F1/S1, а под вторым — F2/S2; следовательно, F1/S1 = F2/S2, откуда находим

F2 = F1S2/S1,

т. е. сила F2 во столько раз больше силы F1, во сколько раз площадь второго поршня больше площади первого. Таким об-

разом, при помощи гидравлического пресса можно малой силой уравновесить большую силу.

Предположим теперь, что первый поршень переместился (например, опустился) на расстояние h1 (рис. 227); тогда часть жидкости поступает из первого цилиндра во второй и поднимет второй поршень на расстояние h2. Поскольку сжимаемость жидкостей незначительна, объем жидкости, вытесненный из первого цилиндра, можно считать равным объему, поступившему во второй, т. е. h1S1 = h2S2, откуда находим

h2 = h1S1/S2.

Сравнивая эту формулу с формулой, полученной нами для силы F2, видим, что путь, проходимый большим поршнем, во столько раз меньше пути, проходимого меньшим поршнем, во сколько раз сила, действующая на большой поршень, больше силы, действующей на меньший. Итак, при перемещении поршней гидравлического пресса имеется полная аналогия с соотношением между путями, проходимыми концами рычага, и силами, к ним приложенными. И здесь соблюдается «золотое правило» механики (§ 86), т. е. «сколько выигрывается в силе, столько теряется в пути». Требование, чтобы жидкость не изменяла свой объем, соответствует условию, чтобы рычаг не сгибался.

Гидравлический пресс является преобразователем силы, подобно рассмотренным ранее простым машинам; его можно назвать гидравлической простой машиной.

Для получения больших сил гидравлический пресс конструктивно удобнее рычажного или винтового пресса. Поэтому мощные прессы (например, для штамповки металла, для выжимания масла из семян растений и пр.) делаются гидравлическими. В качестве жидкости употребляются вода или масло.

Гидравлический пресс с горизонтально расположенным большим поршнем применяют для сдвигания с места (сообщения начального толчка) судна, спускаемого со стапелей в воду.

§ 152. Жидкость под действием силы тяжести. Рассмотрим теперь равновесие жидкости с учетом действия силы тяжести. Повторяя рассуждения § 150, убедимся, что давление во всех точках горизонтальной плоскости одно и то же, но возрастает при переходе от одной горизонтальной плоскости к другой, лежащей ниже.

Действительно, если точки A и B (рис. 228) лежат в одной горизонтальной плоскости, то ось AB мысленно выделенного тонкого цилиндра горизонтальна. Условие равновесия цилиндра вдоль оси будет, как и прежде, pAS = pB S, поскольку проекция

силы тяжести на горизонтальное направление равна нулю, так что вдоль горизонтальной оси действуют только силы давления на основания цилиндра. Итак, pA = pB , т. е. для всех точек

одной и той же горизонтальной плоскости давления равны между собой; горизонтальные плоскости — это поверхности равного давления. Их иногда называют поверхностями уровня. Свободная поверхность жидкости есть одна из поверхностей уровня. Давление во всех ее точках одинаково. В открытом сосуде оно равно атмосферному давлению.

Сказанное выше легко проверяется при помощи манометра: передвигая внутри жидкости манометр так, чтобы мембрана его все время оставалась в одной горизонтальной плоскости, т. е. на одной и той же поверхности уровня, мы увидим, что его показание не изменяется. При изменении же глубины погружения манометра (при переходе на другие поверхности уровня) обнаруживается изменение давления: при погружении на б´ольшую глубину давление увеличивается. Например, в море давление растет от поверхности ко дну. Это объясняется тем, что на большей глубине вода оказывается сжатой силой давления на нее более толстого слоя вышележащей жидкости.

Для расчета изменения давления с глубиной найдем разность давлений в точках A и B, лежащих на одной вертикали (рис. 229). Выделив мысленно тонкий вертикальный цилиндр с сечением S, рассмотрим условия равновесия его вдоль вертикали. Силы давления, действующие на боковую поверхность, дают вдоль вертикали проекцию, равную нулю. Вдоль вертикали действуют

равная pB S и направленная вверх, и сила тяжести, действующая на жидкость в объеме цилиндра, направленная вниз. Если расстояние между точками A и B равно h, то объем цилиндра равен Sh и его вес равен ρgSh, где ρ — плотность жидкости, g — ускорение свободного падения. Условие равновесия цилиндра выразится равенством pAS + ρgSh = pB S, откуда находим

pB − pA = ρgh.

Величина ρgh равна весу столба жидкости высоты h с поперечным сечением, равным единице. Таким образом, найденная формула говорит, что разность давлений в двух точках жид-

кости равна весу столба жидкости с площадью поперечного сечения, равной единице, и с высотой, равной разности глубин

погружения точек.

Если давление на свободной поверхности жидкости равно нулю то, рассматривая вертикальный цилиндр DC, верхнее основание которого лежит на поверхности, найдем тем же способом, что и выше, что давление p в точке, лежащей на глубине под поверхностью жидкости, определяется формулой

Если давление на свободной поверхности не равно нулю, то величина ρgh даст разность давлений на глубине h и на свободной поверхности.

Давление, вызванное силой тяжести, действующей на жидкость, называют гидростатическим давлением. Таким образом,

гидростатическое давление равно произведению плотности жидкости на ускорение свободного падения и на глубину по-

гружения.

При выводе соотношений между давлениями в разных точках мы пользовались тем, что рассматриваемые точки можно соединить друг с другом цилиндром с горизонтальной осью или цилиндром с вертикальной осью, целиком лежащим в жидкости. Если этого сделать нельзя, как, например, в наклонном сосуде (рис. 230) или в U-образном сосуде (рис. 231), то для сравнения давлений в каких-либо двух точках достаточно соединить эти точки ломаной, которая целиком лежит в жидкости и звенья которой попеременно вертикальны и горизонтальны. Например, для сосуда с наклонными стенками можно взять ломаную ABCDM , для U-образного сосуда — ломаную ACDB. Для каждого горизонтального звена давления на его концах будут равны; для каждого вертикального звена можно применить выведенную выше формулу.