Физика. Теоретические курсы / Ландсберг Г.С. Элементарный учебник физики / Ландсберг Г.С. Элементарный учебник физики. Том 3

частоты язычков идут через каждые 0,5 Гц. Эти частоты написаны на шкале против язычков.

Устройство частотомера схематически показано на рис. 28, б. Исследуемый ток пропускается через обмотку электромагнита. Колебания якоря передаются планке, с которой связаны основания всех язычков и которая укреплена на гибких пластинках. Таким образом, на каждый язычок действует гармоническая сила, частота которой равна частоте тока. Язычок, попавший в резонанс с этой силой, колеблется с большей амплитудой

ипоказывает на шкале свою частоту, т. е. частоту тока.

Вдальнейшем мы еще не раз встретимся с явлением резонанса, когда будем изучать звуковые и электрические колебания.

Именно эти колебания дадут нам особенно яркие примеры п о- л е з н о г о применения резонанса.

§ 16. Резонансные явления при действии негармонической периодической силы. В опытах, описанных в §§ 12–14, пери-

одическое воздействие создавали тела, совершающие г а р м о- н и ч е с к о е колебание (движение нити в механизме, изображенном на рис. 25, массивный маятник). В соответствии с этим действующая сила тоже менялась по закону гармонического колебания. К этому случаю и относится сделанное нами наблюдение, что сильная раскачка получается только при с о в п а- д е н и и п е р и о д а с и л ы с с о б с т в е н н ы м п е р и о д о м с и с т е м ы.

Получится ли то же самое, если сила действует периодически, но не по закону гармонического колебания, а как-либо иначе?

Мы можем, например, периодически у д а р я т ь маятник, т. е. действовать короткими повторяющимися толчками. Опыт показывает, что в этом случае резонансные явления будут наступать уже не т о л ь к о п р и о д н о м - е д и н с т в е н н о м п е р и о д е с и л ы. По-прежнему мы будем наблюдать большую раскачку, ударяя маятник один раз за период его свободных колебаний. Но сильная раскачка получится и в том случае, если ударять маятник вдвое реже — пропуская одно качание, или втрое реже — пропуская два качания, и т. д.

Таким образом, из описанного опыта видно, что если сила меняется периодически, но не по гармоническому закону, то она может вызвать резонансные явления не только при совпадении ее периода с периодом свободных колебаний системы, но и тогда, когда период силы в целое число раз длиннее этого периода.

42Гл. I. Основные понятия. Механические колебания

Ктакому же заключению приводит и следующая постановка опыта: вместо о д н о й колебательной системы (маятника), на которую мы действуем п о о ч е р е д н о силами разного периода, можно взять н а б о р однотипных систем с различными

самого длинного маятника — один раз в 2 с, мы увидим, что

ч и с л о р а з б о л ь ш е, чем частота самого длинного маятника (1/2 Гц). Иными словами, кроме маятника с частотой 1/2 Гц, сильно раскачаются маятники с частотами 1, 3/2 и 2 Гц, остальные же останутся почти в покое. Сопоставляя этот результат

Tравносильно одновременному действию гармонических сил с разными частотами, а именно, с частотами, кратными наиболее низкой частоте ν = 1/T .

Это заключение, касающееся периодической с и л ы, является лишь частным случаем общей математической теоремы, которую доказал в 1822 г. французский математик Жан Батист Фурье (1768–1830). Теорема Фурье гласит: всякое периодическое колебание периода T может быть представлено в виде суммы гармонических колебаний с периодами, равными T , T /2, T /3,

T/4 и т. д., т. е. с частотами ν = 1/T , 2ν, 3ν, 4ν и т. д.

Наиболее низкая частота ν называется основной частотой. Колебание с основной частотой ν называется первой гармоникой или основным тоном, а колебания с частотами 2ν, 3ν, 4ν и т. д. называются высшими гармониками (второй, третьей, четвертой) или обертонами (первым — 2ν, вторым — 3ν и т. д.).

Теорема Фурье — это математическая теорема совершенно общего характера, позволяющая любую периодическую величину (перемещение, скорость, силу и т. п.) представить в виде суммы величин (перемещений, скоростей, сил и т. п.), меняющихся по синусоидальному закону.

Применительно к рассматриваемой нами задаче о действии негармонической периодической силы эта теорема сразу же объясняет, почему можно раскачать маятник не только толчками, следующими друг за другом с периодом, равным периоду маятника, но и вдвое реже, втрое реже и т. д.

Пусть собственная частота маятника равна 1 Гц. Толкая его один раз в секунду, мы создаем периодическую силу, состоящую из следующих гармонических колебаний: основного с частотой 1 Гц и обертонов с частотами 2, 3, 4 Гц и т. д. Таким образом, в этом случае в резонанс с собственной частотой маятника попадает о с н о в н о е гармоническое колебание силы. Если толкать маятник через раз, т. е. один раз в 2 с, то сила будет состоять

44 Гл. I. Основные понятия. Механические колебания

из основного колебания с частотой 1/2 Гц и гармоник с частотами 1, 3/2, 2, 5/2 Гц и т. д.

Следовательно, в этом случае маятник раскачивается потому, что в резонанс действует п е р в ы й о б е р т о н силы. При толчках, повторяющихся через каждые 3 с, с собственной частотой маятника совпадает в т о р о й о б е р т о н силы, и т. д.

Итак, периодическая негармоническая сила сильно раскачивает колебательную систему тогда, когда в резонанс с собственной частотой системы попадает какое-либо из гармонических колебаний, входящих в состав силы.

Описанный в § 15 язычковый частотомер может быть использован подобно набору однотипных маятников, упоминавшихся в начале этого параграфа, для г а р м о н и ч е с к о г о а н а л и- з а негармонической силы.

Как мы видели, под действием гармонической силы определенной частоты раскачивается один из язычков частотомера; при всяком же негармоническом воздействии (например, прерывистый ток) будет колебаться не один язычок, а несколько, именно те, которые попадают в резонанс с гармониками, входящими в состав тока. Раскачка каждого язычка будет при этом прямо пропорциональна амплитуде той гармонической слагающей тока, на которую этот язычок резонирует. Частотомером можно воспользоваться и для определения гармонического состава механических колебаний, например колебаний фундамента машины. Для этого достаточно поставить прибор на колеблющийся фундамент.

§ 17. Форма периодических колебаний и ее связь с гармоническим составом этих колебаний. Можно теперь ответить

на вопрос, поставленный в § 5: что означает отсутствие о п р е- д е л е н н о й ч а с т о т ы у негармонического периодического колебания периода T ?

Согласно теореме Фурье такое периодическое колебание представляет собой набор гармонических колебаний и, следова-

(основной) частоте ν.

Рассмотрим осциллограммы колебаний, имеющих одинаковый период T , но различных по своей форме. Пример таких осциллограмм мы имели на рис. 6, где было изображено несколько различных периодических колебаний одного и того же периода. По теореме Фурье каждое из этих колебаний является суммой гармонических колебаний, причем и основная частота ν = 1/T ,

и ее обертоны 2ν, 3ν и т. д. у всех рассматриваемых периодических колебаний одинаковы, так как одинаков период T .

Но если частоты гармоник одни и те же, то с чем связано

ра з л и ч и е ф о р м ы наших периодических колебаний? Попробуем выяснить этот вопрос на примерах сложения гар-

монических колебаний. Это сложение осуществляется по общим правилам сложения движений (см. том I, § 6). Если складываемые перемещения происходят вдоль одной прямой, то результирующее перемещение равно алгебраической сумме складываемых перемещений. Отсюда вытекает и графический способ сложения колебаний, которым мы будем сейчас пользоваться.

Рис. 30. Сумма гармонического колебания и его первого обертона

На рис. 30 штриховой линией показаны развертки (осциллограммы) двух гармонических колебаний — основного тона и первого обертона. Прямая линия соответствует положению равновесия. В какой-то момент времени, т. е. в какой-то точке A этой прямой линии, имеем отрезки AB и AC, изображающие отклонения от положения равновесия, вызванные каждым из колебаний в этот момент. Сложив эти отрезки, мы получаем отрезок AD, изображающий результирующее отклонение в точке A. Выполнив такое построение для ряда точек на прямой (с учетом знаков отклонений, т. е. плюс — вверх, минус — вниз), соединим концы всех результирующих отрезков линией. Мы получим развертку суммарного колебания (сплошная кривая на рисунке). Оно имеет тот же период, что и основная гармоника, но форма его несинусоидальна.

Попробуем теперь вдвое уменьшить амплитуду обертона. Результат сложения в этом случае показан на рис. 31. На рис. 32

амплитуды обеих гармоник те же, что и на рис. 30, но обертон сдвинут по времени на четверть своего периода. Наконец, на рис. 33 обе гармоники взяты такими же, как на рис. 30, но добавлен еще второй обертон. Во всех случаях результирующие колебания получаются с одним и тем же периодом, но совершенно различными по форме.

Рис. 31. То же, что на рис. 30, но амплитуда обертона вдвое меньше

Итак, различие формы периодических колебаний связано с тем, сколько гармоник входит в их состав, с какими они входят амплитудами и фазами.

Рис. 32. То же, что на рис. 30, но обертон сдвинут на четверть своего периода

Мы брали для простоты всего две или три складываемые гармоники; но формы периодических колебаний могут быть (и чаще всего бывают) такими, что количество обертонов будет очень большим и даже бесконечно большим. При этом для всякой формы периодического колебания каждая его гармоника имеет вполне определенную амплитуду и фазу. Стоит изменить амплитуду или фазу хотя бы одной-единственной гармоники, и форма

к звуковым колебаниям, к которым мы обратимся в следующих параграфах. В таких случаях нам важно знать лишь ч а с т о´ т ы и а м п л и т у д ы гармоник, входящих в состав данного сложного колебания. Набор этих частот и амплитуд называется гармоническим спектром (или просто спектром) данного колебания.

Спектры можно изображать в виде очень наглядных графиков, откладывая в определенном масштабе по горизонтальной оси част´оты (или номера) гармоник, а по вертикали — их амплитуды. На рис. 34 показана осциллограмма колебания, представляющего собой периодические выбросы в одну сторону. Так меняется со временем, например, действующая периодическими толчками сила. В нижней части рисунка показан спектр этого колебания. Положение каждой линии определяет номер соответствующей гармоники и, следовательно, ее частоту, а высота линии — амплитуду этой гармоники.

с к о л е б а н и й п л о т н о с т и воздуха у поверхности колеблющегося тела.

Но колебания плотности воздуха можно создать и без колеблющегося тела. Если, например, быстро вращать диск с отверстиями, расположенными по окружности, и продувать через них струю воздуха (рис. 35), то позади отверстий струя будет прерывистой, получатся периодически следующие друг за другом уплотнения воздуха. Легко убедиться, что и в этом случае мы услышим звук.

На прерывании воздушной струи основано устройство с и р е- н ы. В этом источнике звука вращающийся диск располагается обычно над неподвижным диском с таким же числом отверстий, причем отверстия прорезаны наклонно (рис. 36). Этим достигается, во-первых, то, что подвижный диск приводится во вращение самой воздушной струей подобно колесу турбины, а во-вторых,

на рис. 35, удобны в опытах тем, что позволяют легко определять период звуковых колебаний. Число прерываний воздушной струи в секунду равно, очевидно, произведению числа отверстий z на число оборотов n диска в 1 с, период же равен обратной

величине:

T = zn1 .

Так как колебания воздуха, возникающие при работе сирены, не имеют характера гармонических, то число прерываний воздушной струи (zn) н е я в л я е т с я ч а с т о т о й колебания.