Физика. Теоретические курсы / Ландсберг Г.С. Элементарный учебник физики / Ландсберг Г.С. Элементарный учебник физики. Том 3

где k — жесткость системы. Численно жесткость k равна вращающему моменту, дающему поворот на 1 радиан. Если упругие силы обусловлены закручиванием нити или проволоки, то k — это так называемая крутильная жесткость этих тел. Величина I характеризует распределение массы относительно оси вращения (так называемый момент инерции, играющий во вращательном движении такую же роль, какую играет масса в поступательном движении). Например, для гантели I = 2mr2, где m — масса каждого груза, а r — расстояние от грузов до оси вращения.

§ 11. Влияние трения. Затухание. Рассматривая свободные колебания маятника, шарика с пружинами, диска и т. д., мы отвлекались до сих пор от явления, которое неизбежно имеет место в каждом из описанных выше опытов и вследствие которого колебания не являются строго периодическими, а именно: амплитуда колебаний с каждым размахом делается все меньше и меньше, так что рано или поздно колебания прекращаются. Это явление называется затуханием колебаний.

Причина затухания заключается в том, что во всякой колебательной системе, кроме возвращающей силы, всегда действуют разного рода силы трения, сопротивление воздуха и т. п., которые тормозят движение. При каждом размахе часть полной колебательной энергии (потенциальной и кинетической) расходуется на работу против сил трения. В конечном счете на эту работу уходит весь запас энергии, сообщенный колебательной системе первоначально (см. том I, §§ 102–104).

Затрата энергии на работу против сил трения может иметь весьма разнообразный характер. Возможно трение между твердыми поверхностями, например трение призмы коромысла весов об опору. Энергия может затрачиваться на преодоление сопротивления среды (воздух, вода) (см. том I, § 64, 65). Кроме того, колеблющиеся тела приводят в движение окружающую среду, отдавая на это при каждом колебании часть своей энергии (см. том I, § 67). Наконец, сами деформации пружин, пластинок, проволок и т. д. тоже происходят с некоторой потерей энергии на внутреннее трение в материале, из которого эти тела сделаны (см. том I, § 202).

Незатухающие свободные колебания, которые происходили бы в колебательной системе в отсутствие трения, называются собственными колебаниями системы.

Отвлекаясь до сих пор от сил трения, мы рассматривали, таким образом, именно эти идеальные, строго периодические собственные колебания, чем сознательно упрощали себе изучение колебаний за счет несколько неточного их описания. Такое

чем на амплитуду. Это обстоятельство сыграло огромную роль в усовершенствовании часов. Еще Галилей высказал мысль об использовании в часах маятника, т. е. колебательной системы.

Первые часы с маятником построил голландский физик и математик Христиан Гюйгенс (1629–1695) в 1673 г. Этот год можно считать датой рождения современных часов, вытеснивших затем все предшествующие часовые устройства. Произошло это в большой мере потому, что ход часов с маятником очень мало чувствителен к изменениям такого зависящего от многих обстоятельств фактора, как трение. У прежних же безмаятниковых часов (например, водяных — см. том I, § 8) скорость хода зависела от трения очень сильно.

которые совершаются колебательной системой, если ее вывести из состояния равновесия и затем предоставить самой себе. Но мы уже упоминали и о таких случаях, когда периодическое движение тела происходит не свободно, а в результате действия периодически меняющейся силы. Подобные повторяющиеся силы вызывают периодическое движение даже таких тел, которые сами

жине, и подвесим этот пружинный маятник на конце нити того механизма (рис. 25), который был описан в § 5. При равномерном вращении ручки движение точки подвеса маятника позволяет нам осуществить д е й с т в и е н а м а я т н и к г а р м о н и ч е-

периоды наиболее отличаются от периода маятника 1, останутся почти неподвижными, т. е. их амплитуды будут очень малы. Маятники 4 и 5, более близкие по своим периодам к маятнику 1, будут колебаться с немного большей амплитудой. Наконец, маятники 6 и 7, имеющие ту же длину, что и маятник 1, т. е. настроенные в резонанс, раскачиваются до очень большой амплитуды.

§ 14. Влияние трения на резонансные явления. Существующее в системе трение, обусловливающее затухание ее свободных колебаний, имеет для резонансных явлений очень большое значение. В этом легко убедиться, наблюдая вынужденные колебания пружинного маятника (рис. 25) при различном трении. Для увеличения затухания можно воспользоваться по-прежнему опусканием груза в воду или масло.

Если груз колеблется в воздухе, то при совпадении периода вращения ручки раскачивающего механизма (периода силы) с собственным периодом системы раскачка получается очень сильная — амплитуда колебаний груза в несколько раз больше амплитуды точки A раскачивающего механизма. Однако ст´оит лишь немного ускорить или замедлить вращение ручки, как амплитуда колебаний груза р е з к о уменьшится. Таким образом,

если затухание системы небольшое, то резонансные явления оказываются сильными и резко выраженными (острый резонанс): при точном резонансе раскачка очень велика, но уже при небольшой р а с с т р о й к е (расхождении периода силы и периода собственных колебаний системы) амплитуда вынужденных колебаний значительно уменьшается.

Наоборот, в случае з а д е м п ф и р о в а н н о й системы, т. е. системы с увеличенным затуханием (например, груз движется в воде), амплитуда вынужденных колебаний при точном резонансе не очень сильно превышает амплитуду колебаний точки A; зато при уходе от резонанса в ту или другую сторону уменьшение амплитуды происходит не так резко. Например, ускорив вращение ручки вдвое по сравнению с резонансной частотой вращения, мы увидим, что колебания груза, опущенного в воду, станут лишь немного меньше, чем при резонансе. Колебания же груза в воздухе при таком укорочении периода силы уменьшатся в несколько раз. Таким образом, если затухание велико, то резонансные явления получаются слабыми и выраженными неотчетливо (тупой резонанс): увеличение амплитуды при точном резонансе относительно невелико, и заметное спадание амплитуды происходит лишь при больших расстройках.

на рис. 27. На нем показаны так называемые резонансные кривые, дающие зависимость амплитуды вынужденных колебаний

от максимума кривой 1, т. е. соответствует немного меньшей частоте силы. Это связано с увеличением периода свободных колебаний при возрастании затухания.

Следует твердо помнить, что резонансные кривые дают значение у с т а н о в и в ш е й с я амплитуды. Колебания с такой амплитудой устанавливаются не сразу, а в течение некоторого времени от того момента, когда сила начала действовать на систему. Мы уже отметили это явление в § 12, когда описывали возникновение вынужденных колебаний груза на пружине.

Как долго продолжается этот процесс установления?

На это легко ответить, если учесть, что в первый момент, когда периодическая сила начинает действовать на систему, в последней возникают наряду с вынужденными колебаниями также и свободные колебания. Первоначальное движение системы именно потому и является сложным, что оно представляет собой сумму двух движений: вынужденных колебаний с частотой силы и свободных колебаний с их частотой. Но сила поддерживает только вынужденное колебание, свободные же колебания затухают, и, следовательно, движение системы постепенно «очищается» от них. Остаются только вынужденные колебания.

Таким образом, процесс установления вынужденных колебаний состоит в том, что затухают примешанные к ним свободные ко-

лебания, возбудившиеся в тот момент, когда начала действовать сила. Поэтому процесс установления вынужденных колебаний занимает такое же время, как и процесс затухания свободных колебаний. А это означает следующее: при очень малом затухании системы резонансная амплитуда очень велика, но зато и раскачка до этой амплитуды длится долго. Наоборот, при большом затухании системы резонансная амплитуда невелика, но устанавливается быстро. Это надо учитывать, выполняя описанные выше опыты.

§ 15. Примеры резонансных явлений. Резонанс играет очень большую роль в самых разнообразных явлениях, причем в одних — полезную, в других — вредную. Приведем несколько примеров, относящихся к механическим колебаниям.

Идя по доске, перекинутой через ров, можно попасть шагами в резонанс с собственным периодом системы (доски с человеком на ней), и доска начинает тогда сильно колебаться (изгибаться вверх и вниз). То же самое может случиться и с мостом, по которому проходит войсковая часть или проезжает поезд (периодическая сила обусловливается ударами ног или ударами колес на стыках рельсов). Так, например, в 1906 г. в Петербурге обрушился так называемый Египетский мост через реку Фонтанку. Это произошло при переходе через мост кавалерийского эскадрона, причем четкий шаг лошадей, отлично обученных церемониальному маршу, попал в резонанс с периодом моста. Для предотвращения таких случаев войсковым частям при переходе через мосты приказывают обычно идти не «в ногу», а вольным шагом. Поезда же большей частью переезжают мосты на медленном ходу, чтобы период ударов колес о стыки рельсов был значительно больше периода свободных колебаний моста. Иногда применяют обратный способ «расстройки» периодов: поезда проносятся через мосты на максимальной скорости.

Случается, что период ударов колес на стыках рельсов совпадает с периодом колебаний вагона на рессорах, и вагон тогда очень сильно раскачивается. Корабль также имеет свой период качаний на воде. Если морские волны попадают в резонанс с периодом корабля, то качка становится особенно сильной. Капитан меняет тогда скорость корабля или его курс. В результате период волн, набегающих на корабль, изменяется (вследствие изменения относительной скорости корабля и волн) и уходит от резонанса.

Неуравновешенность машин и двигателей (недостаточная центровка, прогиб вала) является причиной того, что при работе этих машин возникает периодическая сила, действующая на опору машины — фундамент, корпус корабля и т. п. Период силы может совпасть при этом с периодом свободных колебаний

опоры или, например, с периодом колебаний изгиба самого вращающегося вала или с периодом крутильных колебаний этого вала. Получается резонанс, и вынужденные колебания могут быть настолько сильны, что разрушают фундамент, ломают валы и т. д. Во всех таких случаях принимаются специальные меры, чтобы избежать резонанса или ослабить его действие (расстройка периодов, увеличение затухания — демпфирование и др.).

Очевидно, для того чтобы с помощью наименьшей периодической силы получить определенный размах вынужденных колебаний, нужно действовать в резонанс. Тяжелый язык большого колокола может раскачать даже ребенок, если он будет натягивать веревку с периодом свободных колебаний языка. Но самый сильный человек не раскачает язык, дергая веревку не в резонанс.

На явлении резонанса основано действие прибора, предназначенного для определения частоты переменного тока, сила которого изменяется по гармоническому закону (см. том II, § 153). Такие приборы, носящие название язычковых частотомеров, обычно применяются для контроля постоянства частоты в элек-

Рис. 28. Язычковый частотомер: а) внешний вид; б) схема устройства

трической сети. Внешний вид прибора изображен на рис. 28, а. Он состоит из набора упругих пластинок с грузиками на концах (язычков), причем массы грузиков и жесткости пластинок подобраны так, что частоты соседних язычков отличаются на одно и то же число герц. У частотомера, изображенного на рис. 28, а,