Физика. Теоретические курсы / Ландсберг Г.С. Элементарный учебник физики / Ландсберг Г.С. Элементарный учебник физики. Том 3

Пусть C1 и C2 — центры сферических преломляющих поверхностей линзы, а R1 и R2 — соответственно радиусы этих поверхностей. Радиус C1M перпендикулярен к касательной плоскости AB, а радиус C2M — к касательной плоскости AB . По известной теореме геометрии угол между этими перпендикулярами, который мы обозначим ψ, равен углу θ между плоскостями:

С другой стороны, угол ψ, как внешний угол в треугольнике C1N C2, равен сумме углов γ1 и γ2, образуемых радиусами R1

Мы предположили, что h м а л а по сравнению с радиусами сферических поверхностей R1 и R2 и с расстоянием f точки F от оптического центра линзы. Поэтому углы γ1, γ2 и ϕ также малы, и мы можем заменить синусы этих углов самими углами. Далее, благодаря тому, что линза тонкая, мы можем пренебречь ее толщиной, считая C1O = R1; C2O = R2, а также пренебречь разницей в высоте точек M и M , считая, что они расположены на одной и той же высоте h над осью. Таким образом, мы можем п р и б л и ж е н н о считать, что

раллельный главной оптической оси линзы, встречающий линзу на любом, но д о с т а т о ч н о м а л о м по сравнению с R1 и R2

1) Этот вывод связан с тем обстоятельством, что мы с самого начала полагаем, что по обе стороны линзы находится одна и та же среда (воздух). Если бы это было не так, то нарушилась бы и симметрия в расположении фокусов F и F .

Обозначим через a расстояние от оптического центра линзы до точки S , в которой преломленный луч пересекает главную ось.

Как и в предыдущем параграфе, проведем через точки M и M плоскости, касательные к преломляющим поверхностям линзы. Эти плоскости образуют тонкую призму BAB с преломляющим углом θ. Вместо того чтобы рассматривать преломление луча SM M S в линзе, будем рассматривать преломление того же луча в тонкой призме BAB .

Выбранный нами луч после преломления отклонится от первоначального направления на угол α, который по формуле тонкой призмы равен

где n — показатель преломления вещества, из которого сделана линза.

Рис. 197. Преломление в линзе луча SM , выходящего из точки S на оси. Угол BAB и толщина линзы сильно преувеличены

Рассмотрим также луч P M , идущий параллельно главной оси и падающий на линзу в точке M . Преломление такого луча уже рассмотрено в § 88 (условие малости h здесь соблюдено). Мы знаем, что после преломления в линзе этот луч выйдет из точки M под углом ϕ к оси и пройдет через главный фокус F на расстоянии f от оптического центра. Точки M и M очень близки друг к другу, так что призмы, образованные касательными в точке M и точках M или M , практически не различаются и имеют один и тот же преломляющий угол θ. Угол α , на который отклонится этот луч от первоначального направления после преломления в тонкой призме, равен опять

(n − 1)θ, т. е. равен углу α. С другой стороны, этот угол α равен, очевидно, углу ϕ (рис. 197). Таким образом, получаем

Лучи SM , M S и M F идут под небольшими углами к оси, т. е. углы γ, γ и ϕ малы. Заменяя, как и в предыдущем параграфе, синусы малых углов самими углами и пренебрегая толщиной линзы и разницей в высоте точек M , M и M над осью, можно приближенно написать:

γ ≈ sin γ = ha , γ ≈ sin γ = ah , ϕ ≈ sin ϕ = fh . (89.4)

Подставляя эти приближенные равенства в формулу (89.3), находим

В правой части полученного выражения стоит величина 1/f , которая, как мы видели в предыдущем параграфе, зависит т о л ь- к о о т с в о й с т в л и н з ы — от показателя преломления вещества, из которого сделана линза, и от радиусов кривизны ее преломляющих поверхностей.

То обстоятельство, что в формулу (89.6) не входит величина h, позволяет сделать очень в а ж н ы е в ы в о д ы, а именно, что не только луч SM , но и всякий другой луч, выходящий из точки S, пройдет после преломления в линзе через одну и ту же точку S , хотя каждый из этих лучей падает на линзу на р а з н о й высоте над осью. Единственное, но весьма существенное огра-

Таким образом, все лучи узкого пучка, выходящие из точки S, соберутся после преломления в линзе снова в одной точке S , являющейся изображением точки S. Мы доказали, следовательно, что образующееся в тонкой линзе изображение точечного источника, лежащего на главной оси линзы, полученное с помощью достаточно узкого пучка лучей, является точкой.

Предположим теперь, что изображение некоторой точки удалено на очень большое расстояние, т. е. из линзы выходит пучок световых лучей, параллельных главной оси. В этом случае, как мы видели в § 88, источник должен находиться в переднем фокусе линзы F (рис. 196). Этот вывод следует и из формулы (89.6). Действительно, полагая, что изображение находится в бесконечности, получаем 1/a = 0; при этом расстояние источника от линзы равно фокусному расстоянию: a = f = f .

Различные линзы отличаются одна от другой расположением центров образующих их сферических поверхностей, их радиусами и показателями преломления вещества, из которого сделаны линзы. На рис. 198 представлены шесть основных типов линз.

Рис. 198. Различные типы линз. Если материал линз преломляет сильнее, чем окружающая среда, то типы а, б, в — собирающие; типы г, д, е — рассеивающие

Если параллельные лучи после преломления в линзе с х о- д я т с я, действительно пересекаясь в некоторой точке, лежащей по другую сторону линзы, то линза называется собирающей или положительной (рис. 199, а). Если же параллельные лучи

Рис. 199. Действительный фокус собирающей линзы (а) и мнимый фокус рассеивающей линзы (б)

после преломления в линзе становятся р а с х о д я щ и м и с я (рис. 199, б), то линза называется рассеивающей или отрицательной. В случае рассеивающей линзы в фокусе пересекаются не преломленные лучи, а их воображаемые продолжения; при этом фокус лежит с той же стороны от линзы, с которой падает на линзу параллельный пучок лучей. Фокусы в этом случае называются мнимыми (рис. 199, б).

Обычно материал линзы преломляет сильнее, чем окружающая среда (например, стеклянная линза в воздухе). Тогда собирающими линзами являются линзы, утолщающиеся от краев к середине, — двояковыпуклая и плосковыпуклая линзы и положительный мениск (вогнуто-выпуклая линза; рис. 198, а–в). Рассеивающими линзами являются линзы, становящиеся тоньше

к середине: двояковогнутая, плоско-вогнутая линзы и отрицательный мениск (выпукло-вогнутая линза; 198, г–д). Если материал линзы преломляет слабее, чем окружающая среда, т. е. относительный показатель преломления n < 1, то, наоборот, линзы а, б, в (рис. 198) будут рассеивающими, а линзы г, д,

Рис. 200. Двояковыпуклые линзы: а) стеклянная в воздухе — собирающая; б) воздушная в воде — рассеивающая

е — собирающими. Такие линзы можно получить, например, образовав в воде двумя часовыми стеклами, склеенными воском, воздушную полость соответствующей формы (рис. 200).

Перейдем к рассмотрению светящихся точек, находящихся на конечном расстоянии от линзы. Будем всегда считать источники расположенными с л е в а о т л и н з ы. Что касается изображений, то в зависимости от вида линзы и положения источника относительно нее изображение S может находиться как справа, так и слева от линзы. Если изображение лежит справа от линзы, то это означает, что оно образовано сходящимся пучком лучей (рис. 201, а), т. е. лучей, которые действительно проходят через точку S . Изображение в этом случае называется действительным. Оно может быть получено на экране, фотопластинке и т. п. Восстановив ход лучей, приведших к образованию и з о б р а ж е- н и я, мы можем всегда найти местоположение и с т о ч н и к а, хотя практически это обычно связано с некоторыми трудностями.

Предположим теперь, что изображение лежит слева от линзы, т. е. с той же стороны от нее, как и источник. Это означает, что пучок лучей, расходящихся от источника, после преломления в линзе становится еще более расходящимся, и в точке S пересекаются лишь воображаемые п р о д о л ж е н и я преломленных лучей (рис. 201, б). Изображение в этом случае называется

мнимым.

Укоренившийся в оптике термин «мнимое изображение» может привести к некоторым недоразумениям. В действительности

ничего «мнимого» в этом случае, конечно, нет. Особенностью мнимых изображений является то, что их нельзя получить непосредственно на экране, фотопластинке и т. п. Например, если поместить в точке S (рис. 201, б) очень маленький экран, не мешающий попаданию основной части лучей на линзу, то мы

Рис. 201. Источник и действительное изображение лежат с разных сторон от линзы (а); мнимое изображение находится с той же стороны от линзы, что и источник (б)

не получим на нем светящейся точки. Однако р а с х о д я щ и й- с я п у ч о к л у ч е й, воображаемые продолжения которых пересекаются в мнимом изображении, сам по себе не имеет ничего «мнимого». Этот пучок можно превратить в сходящийся пучок, если на пути его поставить надлежащим образом выбранную собирающую линзу. Тогда на экране или фотопластинке мы будем иметь реальное изображение S светящейся точки S (рис. 202), которое в то же время можно рассматривать как изображение «мнимой точки» S .

Роль подобной собирающей линзы выполняет также глаз человека; на светочувствительной оболочке глаза — сетчатке — собираются расходящиеся от источников света лучи. Пучок расходящихся лучей, исходят ли они от реального точечного

Рис. 202. Превращение расходящегося пучка лучей в сходящийся с помощью вспомогательной собирающей линзы (например, глаза)

источника S или от его мнимого изображения S , может быть собран оптической системой глаза в одну точку на сетчатке. В повседневной жизни наблюдатель приобретает привычку автоматически восстанавливать ход лучей, давших изображение на сетчатке, и определять местоположение источника. Когда в глаз попадает расходящийся пучок лучей (с вершиной в S ), изображенный на рис. 202, то, «восстанавливая» место, откуда вышли эти лучи, мы в и д и м в точке S источник, хотя в действи-

тельности в данной точке источника нет. Этот-то воображаемый источник мы и называем «мнимым» изображением точки S.

Пользуясь формулой (89.6), нетрудно проследить, как меняется положение изображения по мере перемещения источника вдоль главной оптической оси (см. упражнения 31, 32 в конце этой главы).

§ 91. Изображение точечного источника и протяженного объекта в плоском зеркале. Изображение точечного источника в сферическом зеркале. Мы переходим теперь к задаче

нахождения изображений при отражении света от различного типа зеркал. Законы образования изображений светящихся точек при отражении в зеркале и при преломлении в линзе во многом аналогичны.

Эта аналогия, конечно, не случайна; она обусловлена тем, что формально, как мы видели в гл. IX, закон отражения является частным случаем закона преломления (при n = −1).

Наиболее просто решается поставленная нами задача для отражения световых лучей от п л о с к о г о з е р к а л а. Вместе с тем отражение света от плоского зеркала представляет собой наиболее простой и общеизвестный случай образования мнимых изображений, рассмотренных в предыдущем параграфе.

Пусть пучок лучей от точечного источника S (рис. 203) падает на плоское зеркало (металлическое зеркало, поверхность воды и т. д.). Проследим, что про- изойдет с этим конусом лучей,

имеющим вершину в точке S.

Возьмем два п р о и з в о л ь н ы х

луча SA и SB. Каждый из них

отразится по закону отражения, и угол каждого из них с нормалью останется после отражения неиз-

менным. Следовательно, останется неизменным и угол м е ж д у лучами после отражения.

Этот угол между отраженными лучами можно изобразить на рисунке, продолжив отраженные лу-

чи назад, за плоскость зеркала, что показано на чертеже штриховыми линиями. Точка пересечения S продолжения лучей за зеркалом будет лежать на т о й ж е н о р м а л и к зеркалу, что и точка S, и на т о м ж е р а с с т о я н и и от плоскости зеркала,