Физка. Задачи и упражнения / Касаткина И.Л. Решебник по физике
.pdf
Решебник по физике
ного падения, L — длину доски, m — массу шарика, a — центростремительное ускорение шарика, R — радиус окружности, по которой он движется, ω — угловую скорость шарика.
Решение
На шарик действуют две силы: сила тяжести mg и сила натяжения нити Fн (рис. 30). Их равнодействующая ma направлена по радиусу к центру окружности О, по которой движется шарик.
Ее модуль можно найти по формуле ma = mg tg α, откуда a = g tg α
Ускорение шарика a = ω2R, где угловая скорость шари-
ка ω = 2πν, а радиус окружности R = |
L |
+ lsinα . С учетом |
||||||
этого (2πν)2( |
L |
+ lsinα ) = g tg α, |
|
2 |
|
|||
|
|
|
||||||
откуда |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ lsinα = g tg α |
|
|
|
|||
|
|
L |
, |
|
|
|||
|
|
2 |
|
|
(2πν)2 |
|
|
|
|
|
|
g tg α |
|
|
|
|
|
|
|
L = |
2 |
2 |
−lsinα |
, |
|
|
|
|
|
|
(2πν) |
|
|
|
|
|
|
10 tg30° |
|
|
|
|
|
|
L = 2 |
|
|
|
− 0,2 |
sin30° |
м = 0,09 м. |
||
|
2 |
|||||||
|
|
(2 3,14 1) |
|
|
|
|
|
|
Ответ: L = 0,09 м.
Задача 43. Мяч массой 400 г брошен под углом к горизонту. Сила сопротивления среды его полету постоянна и равна 2 Н. Чему равно полное ускорение мяча в высшей точке его траектории?
Обозначим m массу мяча, Fсопр — силу сопротивления, g — ускорение свободного падения, а — полное ускорение мяча в высшей точке траектории, а1 — ускорение, сообщаемое мячу силой сопротивления.
80
1. Механика
Рис. 31
Решение
Сила сопротивления окружающей среды Fсопр направлена по касательной к траектории мяча против направления его движения. В высшей точке траектории она направлена влево. Эта
сила сообщает мячу ускорение а1, вектор которого направлен в ту же сторону, что и сила сопротивления (рис. 31).
Кроме силы сопротивления на мяч действует сила тя-
жести mg, сообщающая ему ускорение свободного паде-
ния g. Полное ускорение a равно векторной сумме ускоре-
ний a1 и g , а его модуль может быть найден по теореме Пифагора:
a = g2 + a12 .
Ускорение а1 найдем, применив второй закон Ньютона:
a1 = Fconpm .
Подставим правую часть этого равенства в предыдущую формулу:
a = g2 + Fconp 2 .m
Задача в общем виде решена. Выразим массу мяча в единицах СИ:
400 г = 0,4 кг.
81
Решебник по физике
Произведем вычисления:
|
2 |
|
2 |
2 |
|
2 |
2 |
|
a = |
10 |
+ |
|
|
м/с |
|
= 11,2 м/с |
. |
0,4 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: а = 11,2 м/с2.
Задача 44. Через невесомый блок перекинута нить, к концам которой прикреплены грузы m1 = 2 кг и m2 = 1 кг. К грузу массой m1 подвесили на нити груз массой m3 = 3 кг (рис. 32). Найти силу натяжения нити между грузами m1
и m3 .
Обозначим Fн1 силу натяжения нити между грузами m1 и m3, а — ускорение грузов, Fн2 силу натяжения нити между грузами m1 и m2, g — ускорение свободного падения.
Дано:
m1 = 2 кг m2 = 1 кг
m3 = 3 кг g = 10 м/с2
Fн1 — ?
Решение
Запишем второй закон Ньютона применительно к движению каждого груза в отдельности:
m3а = m3 g – Fн1, |
(1) |
m1а = m1g + Fн1 – Fн2, m2а = Fн2 – m2g.
Теперь сложим левые и правые части этих трех уравнений.Правда,приэтомискомаясиланатяженияFн1 «уйдет», но мы сможем найти ускорение грузов а. А зная его, найдем затем из первой формулы и силу натяжения Fн1.
m3а + m1а + m2а = m3 g – Fн1 + m1g + Fн1 – Fн2 + Fн2 – m2g, а(m3 + m1 + m2) = g(m3 + m1− m2),
откуда
а = g |
m1 |
+m3 |
−m2 |
. |
(2) |
m |
+m |
|
|||
|
+m |
|
|||
1 |
2 |
3 |
|
|
|
Теперь найдем из равенства (1) силу натяжения Fн1:
Fн1 = m3 g – m3а = m3(g – а).
82
1.Механика
Сучетом (2) получим окончательно
|
|
|
|
|
|
|
|
m +m |
−m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
F |
|
= m |
|
g −g |
1 |
3 |
|
2 |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
m +m |
+m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
н1 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
m +m −m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
= m |
g |
1− |
1 |
|
3 |
2 |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
m +m +m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= m3g |
m1 +m2 +m3 −m1 −m3 +m2 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
m1 +m2 +m3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
= |
2m2m3g |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
m +m +m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Fн1 = |
2 1 3 10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
Н = 10 Н. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
2+1+3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Ответ: Fн1 = 10 Н. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Задача 45. Масса бруска, прикреп- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
ленного к концу резинового шнура, рав- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
на 100 г. Один конец шнура закреплен. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Шнур растянули на 4 см и отпустили. |
|
|
Рис. 32 |
||||||||||||||||||||||||
Сила, необходимая для растяжения шну- |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
ра на 1 см, равна 0,1 Н. Определить модуль ускорения бруска в начальный момент времени, считая, что на брусок действует лишь упругая сила.
Обозначим m массу бруска, x — деформацию шнура под действием силы F, x1 — деформацию шнура под действием силы F1,a — ускорение бруска, k — жесткость шнура.
Дано: m = 100 г x = 4 см
x1 = 1 см F1 = 0,1 Н
a — ?
Решение
По второму закону Ньютона произведение массы бруска на его ускорение равно силе, приложенной к нему:
ma = F или a = |
F |
. |
(1) |
|
|||
|
m |
|
|
83
Решебник по физике
По закону Гука модуль этой силы пропорционален деформации шнура:
F = kx. |
(2) |
Аналогично в случае деформации х1 |
|
F1 = kx1. |
(3) |
Разделим равенства (2) и (3) друг на друга. При этом жесткость шнура сократится, и определим нужную нам силу F:
F = kx , F = x ,
F1 kx1 F1 x1
откуда
Fx
F = 1 . (4)
x1
Подставим (4) в (1):
a = Fx1 . mx1
Выразим все величины в единицах СИ: 100 г = 0,1 кг, 4 см = 0,04 м, 1 см = 0,01 м.
Произведем вычисления:
а = |
0,1 0,04 |
|
м/с2 = 4 м/с2. |
|
0,1 0,01 |
||||
|
|
|||
Ответ: а = 4 м/с2.
Задача 46. Лыжник массой 80 кг спустился с горы высотой 30 м и после спуска проехал еще по горизонтальной поверхности до остановки 150 м. Найти силу сопротивления на горизонтальном участке, если на горе она была равна нулю.
Обозначим m массу лыжника, h — высоту горы, v0 — начальную скорость лыжника, S — путь на горизонтальной поверхности, g — ускорение свободного падения, v — конечную скорость, Fсопр — силу сопротивления на горизонтальном участке, а — ускорение на пути S, v01 — скорость в конце спуска с горы.
84
|
|
|
1. Механика |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Дано: |
|
|
Решение |
|
||||
|
|
|||||||
m = 80 кг |
|
|
Силу сопротивления можно найти по |
|||||
h = 30 м |
|
|
второму закону Ньютона: Fсопр = mа, где |
|||||
v0 = 0 |
|
|
а — ускорение на пути S. На этом пути |
|||||
S = 150 м |
|
|
лыжник движется с замедлением, и его |
|||||
g = 10 м/с2 |
|
|
конечная скорость v = 0. Поэтому здесь |
|||||
v = 0 |
|
|
пригодится формула кинематики |
|
||||
|
|
|
|
0 – v012 = –2а S, |
|
|||
Fсопр — ? |
|
|
|
|
||||
|
|
|
||||||
|
|
|
откуда а = |
v2 |
|
|||
|
|
|
01 |
. |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||
С учетом этого |
|
2S |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
Fсопр = m |
v2 |
(1) |
|||
|
|
|
01 |
. |
||||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
2S |
|
||
Здесь v01 — скорость в конце спуска с горы, равная начальной скорости лыжника на горизонтальном участке. Ее можно найти, применив закон сохранения механической энергии к движению лыжника на спуске. Согласно этому закону его потенциальная энергия mgh на вершине горы
равна кинетической энергии |
mv2 |
у ее основания: |
||
01 |
|
|||
2 |
|
|||
|
|
|
||
mgh = |
|
mv2 |
, |
|
|
01 |
|||
2 |
|
|||
откуда |
|
|
||
|
|
|
|
|
v012 = 2gh. |
(2) |
|||
Подставив правую часть равенства (2) в формулу (1), получим:
Fсопр = m 22ghS = mg Sh , Fсопр = 80 1015030 Н = 160 Н.
Ответ: Fсопр = 160 Н.
Задача 47. Автомобиль стал двигаться юзом равнозамедленно по горизонтальной дороге с начальной скоростью 20 м/с. Коэффициент сопротивления движению 0,8. Определить время торможения до остановки и ускорение автомобиля.
85
Решебник по физике
Обозначим v конечную скорость автомобиля, g — ускорение свободного падения, Fтр — силу трения, m — массу автомобиля, N — силу реакции опоры, a — ускорение автомобиля, t — время торможения.
Дано: |
|
Решение |
|
||
vo = 20 м/с |
|
На автомобиль при торможении |
v = 0 |
|
действуют три силы: сила тяжести mg, |
= 0,8 |
|
сила реакции опоры N и сила трения |
g = 10 м/с2 |
|
Fтр. Первые две силы уравновешивают |
|
|
друг друга, неуравновешенной остает- |
a — ? |
|
|
|
ся сила трения, поэтому именно ее мо- |
|
t — ? |
|
|
|
дуль по второму закону Ньютона равен |
|
|
|
|
произведению массы автомобиля на его ускорение: |
||
|
|
Fтр = ma. |
Сила трения равна произведению коэффициента трения на силу давления автомобиля, модуль которой по третьему закону Ньютона равен силе реакции опоры, поэтому
Fтр = N.
Приравняем правые части этих равенств: ma = N,
где N = mg, поэтому
ma = mg и a = g.
Произведем вычисления:
а = 0,8 • 10 м/с2 = 8 м/с2.
При равнозамедленном движении конечная скорость автомобиля определяется формулой
v = vo – at.
Поскольку v = 0, 0 = vo – at, откуда t = vao .
Произведем вычисления:
t = 208 c = 2,5 c.
Ответ: а = 8 м/с2, t = 2,5 с.
86
1. Механика
Задача 48. Радиус Луны R1 приблизительно в 3,7 раза меньше радиуса Земли R, а масса Луны m1 в 81 раз меньше массы Земли m. Определить ускорение свободного падения тел на поверхности Луны.
Обозначим g1 ускорение свободного падения на поверхности Луны, g — ускорение свободного падения на поверхности Земли, G — гравитационную постоянную, mo — массу тела.
Дано:
R = 3,7 R1
m = 81 m1 g = 10 м/с2
g1 — ?
Решение
Сила тяжести mo g, действующая на тело на поверхности Земли, согласно закону всемирного тяготения равна
mog = G |
mom |
, |
g = G |
m |
. |
R2 |
|
||||
|
|
|
R2 |
||
Аналогично, на поверхности Луны
mog1 |
= G |
mom1 |
, g1 |
= G |
m1 |
. |
R 2 |
|
|||||
|
|
|
|
R 2 |
||
|
1 |
|
1 |
|
||
Разделим левые и правые части этих равенств друг на друга:
g |
= |
GmR 2 |
|
g |
= |
m |
R |
2 |
|
|
1 |
, |
|
|
|
1 |
|
||
g1 |
Gm1R2 |
g1 |
|
|
|||||
|
|
|
m1 R |
||||||
или с учетом условия задачи
g |
= |
81m1 |
|
R1 |
|
2 |
g |
= |
81 |
= 5,9, |
|
|
|
, |
|||||||||
g1 |
m1 |
|
|
2 |
|||||||
|
3,7R1 |
|
g1 |
3,7 |
|
||||||
откуда
g1 = 5g,9.
Произведем вычисления:
g1 = 510,9 м/с2 = 1,7 м/с2.
Ответ: g1 = 1,7 м/с2.
87
Решебник по физике
Задача 49. На какой высоте Н ускорение свободного падения вчетверо меньше, чем на земной поверхности? Радиус Земли 6400 км.
Обозначим Н искомую высоту, R — радиус Земли, g1 — ускорение свободного падения на земной поверхности, g2 — ускорение свободного падения на высоте Н, G — гравитационную постоянную, M — массу Земли.
Дано: |
|
|
|
Решение |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
g1 |
= 4 |
|
|
|
На земной поверхности ускорение |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
g2 |
|
свободного падения g1 = 10 м/с мож- |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
|||
R = 6400 км |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
но определить по формуле g1 = G R2 , |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
Н — ? |
|
||||||||||||||
|
а на высоте Н |
g = G |
|
M |
. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
(R + H)2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||
|
|
Разделим левые и правые части этих равенств друг на |
|||||||||||||
друга. Получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
g |
|
GM(R + H)2 |
|
R + H 2 |
|
|
|
|||||
|
|
|
1 |
= |
|
|
|
|
|
= |
|
. |
|
|
|
|
|
|
g2 |
|
GMR2 |
R |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
g1 |
|
|
|
|
R + H |
2 |
|
||
|
|
По условию задачи |
|
|
= 4, поэтому |
|
|
= 4 , откуда |
|||||||
g2 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|||
|
|
|
|
R + H |
= 2 |
, R + H = 2R, |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Н = R = 6400 км.
Ответ: Н = 6400 км.
Задача 50. Геостационарный спутник находится на высоте Н над одной и той же точкой планеты массой М, вращающейся вокруг своей оси с угловой скоростью ω. Найти среднюю плотность вещества планеты ρ.
Обозначим Fтяг силу тяготения спутника к планете, G — гравитационную постоянную, m — массу спутника, R — радиус планеты, а — центростремительное ускорение спутника, V — объем планеты.
88
1. Механика
Дано: Решение
НТот факт, что спутник является геостаци-
Монарным, т.е. висит над одной и той же точ-
ω |
|
кой планеты, говорит о том, что период его |
|
|
|
обращения вокруг планеты равен периоду |
|
ρ |
— ? |
||
вращения самой планеты. А значит, одина- |
|||
|
|
||
ковы и угловые скорости спутника и планеты. |
|||
|
На спутник массой m со стороны планеты действует |
||
сила тяготения, равная по закону всемирного тяготения:
Fтяг = G |
mM |
|
|
. |
|
(R + H)2 |
||
Эта сила, согласно второму закону Ньютона, равна произведению массы спутника и его центростремительного ускорения:
Fтяг = mа.
Приравняв правые части этих равенств, получим:
mа = G |
mM |
|
а = G |
M |
|
|
|
, |
|
. |
(1) |
||
(R + H)2 |
(R + H)2 |
|||||
Теперь свяжем центростремительное ускорение спутника с известной нам из условия задачи угловой скоростью планеты, не забывая при этом, что здесь радиусом орбиты спутника является сумма радиуса планеты и его высоты над ней:
а = ω2 (R + H). |
(2) |
Приравняем правые части равенств (1) и (2):
G |
M |
= ω2 (R + H). |
(3) |
(R + H)2 |
Пока что мы еще не ввели нужную нам плотность в наши формулы. Но смотрите: из последнего выражения нетрудно найти радиус планеты R, а через него выразить ее объем. Зная же объем планеты и ее массу, уже легко найти плотность планеты по формуле
89