Физка. Задачи и упражнения / Касаткина И.Л. Решебник по физике

Решебник по физике

следовательно, Tt = 2, откуда

t = 2T.

Произведем вычисления:

t = 2 ∙1600 лет = 3200 лет.

Ответ: t = 3200 лет.

Задача62.Период полураспада изотопа радона 3,82 сут. Определить, во сколько раз уменьшится число оставшихся атомов за 1,91 сут.

Обозначим Т период полураспада радона, t — время распада, No — число атомов в начальный момент времени наблюдения, N — число оставшихся атомов через это время.

Произведем вычисления:

N

1,91

No = 23,82 = 1,41

Ответ: NNo = 1,41.

Задача 63. Покоящийся мезон с массой m0 распался на два гамма-кванта. Найти импульс каждого из них.

Обозначим mγ массу гамма-кванта, с — скорость света в вакууме, рγ — импульс гамма-кванта.

540

4. Колебания и волны. Оптика. Теория относительности, атомная физика

скоя мезона m0c2 равна суммарной энергии двух

а его импульс

рγ = mγc = m20 с = 0,5 m0c.

Ответ: рγ = 0,5 m0c.

Задача 64. Относительные атомные массы ядра дейтрона mD, протона mp, нейтрона mn и масса атома углерода mC. Требуется определить энергию связи ядра дейтрона.

Обозначим массу ядра дейтрона 12H mН, энергию связи этого ядра — Есв, с — скорость света в вакууме, ∆М — дефект массы ядра, МD — массу дейтрона, Мp — массу протона, Мn — массу нейтрона.

масс протона и нейтрона и массой самого ядра:

∆М = Мp + Mn – MD.

Нам даны относительные массы, т.е. отношение масс протона, нейтрона и дейтрона к 1/12 части массы атома углерода:

541

Решебник по физике

= 121 mCc2 (mp + mn − mD ).

Произведем вычисления:

Есв = 121 1,995 · 10−26 · (3 · 108)2(1,00728+1,00866–2,01355)Дж=

3,6 10−13 = 3,6 · 10−13 Дж = 1,6 10−13 МэВ = 2,2 МэВ.

Ответ: Есв = 2,2 МэВ.

Задача65.Требуется определить энергию, выделяющуюся при распаде одного ядра урана, если известно, что при захвате ураном нейтрона образуются ядра бария, криптона и три нейтрона. Даны удельные энергии связи бария, криптона и урана.

Обозначим Еуд Ва удельную энергию связи ядра бария, Еуд Кr — удельную энергию связи ядра криптона, Еуд U — удельную энергию связи ядра урана, Есв Ва — энергию связи бария, Есв Кr — энергию связи криптона, Е1 — энергию,

542

4. Колебания и волны. Оптика. Теория относительности, атомная физика

выделяющуюся при распаде одного ядра урана, Ава — массовое число бария, Аkr — массовое число криптона, mn — массу нейтрона, с — скорость света в вакууме, ЕU — энергию покоя ядра урана, EBa — энергию покоя ядра бария, En — энергию покоя нейтрона, EKr — энергию покоя ядра криптона, МU — массу ядра урана, МВа — массу ядра бария, МKr — массу ядра криптона, mР — массу протона, ZU и NU — зарядовое число ядра урана и число нейтронов в нем, ZBa и NBa — зарядовое число и число нейтронов в ядре бария, ZKr и NKr — зарядовое число ядра криптона и число нейтронов нем.

электронвольтах (МэВ). Для этого достаточно умножить число 931 на разность масс ядра урана с нейтроном и продуктов реакции:

Е1 = 931(МU + mn – MBa – MKr – 3mn) МэВ.

Массы ядра урана и нейтрона, выраженные в атомных единицах массы (а.е.м.), можно найти в справочной литературе (например, в учебнике химии или в конце задачника по физике Рымкевича). Массы радиоактивных изотопов бария и криптона, пересыщенных нейтронами, придется определять, т.к. в справочниках вы их вряд ли найдете, там есть только массы стабильных ядер.

543

Решебник по физике

Определим массы ядер бария и криптона через их энергии связи. Энергию связи ядра бария можно определить по формуле

Есв Ва = Еуд Ва АBа.

С другой стороны, энергия связи может быть выражена через массы нуклонов, входящих в состав ядра, и массу готового ядра:

Есв Ва = 931(ZBamP + NBamn – MBa),

поэтому ЕудВаАВа = 931( ZBamP + NBamn – MBa),

откуда

Аналогично масса криптона равна

МKr = ZKrmP + NKrmn – ЕEудy4BaKrAАBaKr .

931

Здесь NBa = ABa – ZBa и NKr = AKr – ZKr.

Массу ядра урана тоже можно было бы определить таким же образом, но для упрощения решения мы взяли ее из справочника.

С учетом этого

Ответ: Е1 = 200 МэВ.

544

4. Колебания и волны. Оптика. Теория относительности, атомная физика

Задача 66. Неподвижный свободный атом радия 22688 Ra испытал альфа-распад с образованием изотопа радона

22286 Rn. Какую кинетическую энергию получил при этом атом радона? Масса атома радия 226,0254 а.е.м., масса атома родона 222,0175 а.е.м., масса альфа-частицы 4,0026 а.е.м., скорость света в вакууме 3 ∙ 108 м/с.

Обозначим mRa массу атома радия, mRn — массу атома радона, mHe — массу альфа-частицы, с — скорость света в вакууме, Еk Rn — кинетическую энергию атома радона, Е0 Ra — энергию покоя атома радия, Е0 Rn — энергию покоя атома радона, Е0 Не — энергию покоя альфа-частицы, Еk He — кинетическую энергию альфа-частицы, vRn — скорость атома радона, vHe — скорость альфа-частицы.

нения энергии, согласно которому энергия покоя радия Е0 Ra равна сумме энергии покоя радона Е0 Rn, его кинетической энергии Ek Rn, энергии покоя альфа-частицы Е0 Не и его кинетической энергии Еk He:

E0 Ra = E0 Rn + Ek Rn + E0 He + Ek He ,

или с учетом формулы энергии покоя этот же закон можно

Теперь запишем закон сохранения импульса. Поскольку импульс радия до альфа-распада был равен нулю, ведь ядро радия покоилось, значит, по модулю импульс радона равен импульсу альфа-частицы:

mRnvRn = mHevHe.

545

Решебник по физике

Чтобы перейти к кинетическим энергиям, возведем левую и правую части последнего равенства в квадрат и разделим на 2 — ведь от этого само равенство не нарушится:

или mRnEk Rn = mHeEk He , откуда

EkHe = EkRn mmRn . (2) He

Теперь подставим правую часть равенства (2) вместо кинетической энергии гелия в уравнение (1) и перенесем все члены, содержащие кинетическую энергию, в одну сторону равенства, а массы — в другую:

EkRn + Ek He mRn = c2 (mRa −mRn −mHe ).

mHe

Отсюда EkRn = mHec2 (mRa −mRn −mHe ). mRn +mHe

Задача в общем виде решена. Выразим массу альфа-час- тицы в килограммах:

4,0026 а.е.м. = 4,0026 ∙ 1,67 ∙ 10–27 кг = 6,7 ∙ 10–27 кг.

= 1 ∙ 10-14 Дж = 0,01 пДж.

Ответ: Еk Rn = 0,01 пДж.

Задача 67. В процессе термоядерного синтеза ядра гелия выделяется энергия 4,2 пДж. Молярная масса гелия 4 ∙ 10–3 кг/моль. Какая масса гелия образуется каждые 10 с наСолнце,еслимощностьсолнечногоизлучения4∙1020 МВт?

Обозначим Е1 энергию, которая выделяется в процессе термоядерного синтеза ядра гелия, М — молярную массу

546

4. Колебания и волны. Оптика. Теория относительности, атомная физика

гелия, t — время образования на Солнце массы гелия m, Р — мощность солнечного излучения, N — число ядер гелия, m0 — массу одного ядра гелия, NА — число Авогадро, Е — всю энергию, выделяющуюся на Солнце за время t.

Число ядер гелия N можно найти, если разделить всю энергию Е, выделяющуюся за 10 с, на энергию, выделяющуюся при синтезе одного ядра гелия Е1:

N = E ,

E1

где вся выделяющаяся энергия равна произведению мощности процесса и его времени:

Нам осталось подставить правые части равенств (2) и (3) в формулу (1), и задача в общем виде будет решена:

m = PtM .

E1NA

Выразим все величины в единицах СИ:

4,2 пДж = 4,2 ∙ 10–12 Дж, 4 ∙ 1020 МВт = 4 ∙ 1026 Вт.

547

Решебник по физике

Ответ: m = 2,5 ∙ 1014 кг.

Задача 69. Радиоактивный препарат с активностью 2 ∙ 1012 Бк помещен в калориметр с водой при 27 °С. Сколько времени потребуется, чтобы превратить в пар 5 г воды, еслипрепаратиспускаетальфа-частицысэнергией10МэВ, причем вся эта энергия полностью превращается во внутреннюю энергию воды? Удельная теплоемкость воды 4200 Дж/(кг ∙ К), удельная теплота парообразования

2,3 ∙ 106 Дж/кг.

Обозначимаактивность препарата,t1 — начальную температуру воды, t2 — температуру кипения воды, m — массу воды, Е — энергию всех альфа-частиц, Е1 — энергию одной альфа-частицы, ∆N—количествоиспущенных препаратом альфа-частиц, t — время, необходимое для превращения воды в пар, с — удельную теплоемкость воды, r — удельную теплоту парообразования.

Количество испущенных альфа-частиц входит в формулу активности препарата:

∆N

а = t ,

548

4. Колебания и волны. Оптика. Теория относительности, атомная физика

E

Из предыдущей формулы ∆N = E1 .

С учетом этого

t = E . aE1

Энергия Е расходуется на нагревание воды и превращение ее в пар, поэтому

Е = сm(t2 – t1) + rm = m(с (t2 – t1) + r).

Подставим правую часть этого выражения в предыдущую формулу:

t = m(c(t2 −t1)+r). aE1

Выразим все величины в единицах СИ (кроме единиц температуры, поскольку разность температур в шкалах Цельсия и Кельвина одинакова):

5г = 0,005 кг, 10 МэВ = 1,6 ∙ 10–12 Дж.

Произведем вычисления:

Ответ: t = 4,1 ∙ 104 с.

Задачи для самостоятельного решения

Задача1.С какой скоростью проходит через положение равновесия пружинный маятник массой 50 г, если жесткость его пружины 20 Н/м, а амплитуда колебаний 4 см?

k

Ответ: vm = A m = 0,8 м/с.

Задача 2. Чему равен период колебаний, уравнение которых имеет вид:

549