Физка. Задачи и упражнения / Касаткина И.Л. Решебник по физике
.pdf
Решебник по физике
Здесь Nо — число ядер в начальный момент времени (безразмерное), N — число ядер через время t (безразмерное), t — время распада (с), T — период полураспада (с).
Формула дефекта массы
DМ = Z mp + N mn – Mя
Здесь DМ — дефект массы (кг), Z — число протонов (безразмерное), mp — масса протона (кг), N — число нейтронов (безразмерное), mn — масса нейтрона (кг), Mя — масса ядра (кг).
Формулы энергии связи, выраженной в джоулях (Дж)
Есв = DМ с2,
Есв = (Zmp + Nmn — Mя) с2
Здесь Есв — энергия связи (Дж), с — скорость света в вакууме (м/с). Остальные величины названы в предыдущей формуле.
Формула энергии связи, выраженной в мегаэлектронвольтах (МэВ)
Есв = 931,5 DМ
Здесь Есв — энергия связи (МэВ), DМ — дефект массы
(а.е.м.).
Формула удельной энергии связи
εCB = EACB
Здесь eCB — удельная энергия связи (Дж/нуклон), ЕCB — энергия связи (Дж), А — массовое число (безразмерное).
Формула дозы излучения
D = mE
Здесь D — поглощенная доза излучения (Гр), E — поглощенная энергия (Дж), m — масса вещества, поглотившего энергию ионизирующего излучения (кг).
470
4. Колебания и волны. Оптика. Теория относительности, атомная физика
Обозначения некоторых элементарных частиц
−10e — бета-частица или электрон,
11H — протон (ядро атома водорода),
12 H — изотоп водорода дейтерий,
13 H — изотоп водорода тритий,
24 He — альфа-частица (ядро гелия), 01n — нейтрон,
γ — гамма-квант.
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА ТЕМЫ «КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ, ОПТИКА, ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ, АТОМНАЯ ФИЗИКА»
Задача 1. Чему равен период колебаний, уравнение которых имеет вид: х = 0,4 sin 0,5(0,5πt + π)? Все величины выражены в единицах СИ.
Обозначим х смещение маятника, t — время колебаний, А — амплитуду колебаний, ω — циклическую частоту, Т — период.
Дано:
х = 0,4 sin 0,5(0,5πt + π)
T — ?
Решение
Внесем в нашем уравнении число 0,5 в скобки.
Получим:
х = 0,4 sin (0,25πt + 0,5π).
Теперь сравним полученное уравнение с уравнением гармонических колебаний, записанным в общем виде:
х = А cos (ωt + α0).
Из сравнения следует, что выражение 0,25π, стоящее между скобкой и временем t, есть циклическая частота ω. Значит, ω= 0,25π. Но циклическая частота связана с периодом формулой
471
Решебник по физике
w= 2Tp .
Следовательно, 0,25π = 2Tp , откуда Т = 8 с.
Ответ: Т = 8 с.
Задача 2. Нить математического маятника отклонили от вертикали на угол α, и при этом он поднялся на высоту h над прежним положением. Чему стала равна циклическая частота колебаний маятника, когда его отпустили,
Обозначим ω циклическую частоту колебаний, l — длину нити маятника, g — ускорение свободного падения.
Дано: Решение
αЦиклическую частоту математическо-
hго маятника определяет формула
g |
|
g |
|
w = |
|
ω — ? |
l . |
Длину маятника можно связать с высотой, на которую его подняли, следующим образом. Из рис. 181 следует,
что |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
l – h = l cos α, |
|
|
|
|
||
|
|
|
откуда l – l cos α |
= h и l = |
h |
||||
|
|
|
|
. |
|||||
|
|
|
1−cosa |
||||||
|
|
|
С учетом этого |
|
|
|
|||
|
|
|
|
w = |
g |
(1−cosa). |
|||
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
w = |
g |
( |
) |
|
|
|
|
|
|
h |
1−cosa . |
||||
|
|
|
Задача 3. Через сколько времени, |
||||||
|
|
|
|||||||
|
|
|
считаяотначалаколебания,происходя- |
||||||
|
|
|
|||||||
|
|
|
щего по закону косинуса, смещение ко- |
||||||
|
|
|
|||||||
|
|
|
леблющейся точки составит половину |
||||||
|
|
Рис. 181 |
амплитуды? Период колебания 12 с. |
||||||
472
4.Колебания и волны. Оптика. Теория относительности, атомная физика
Обозначим Т период колебаний, t — время колебаний,
х— смещение маятника, А — амплитуду колебаний, ω — циклическую частоту.
Дано:
Т= 12 с x = A2
t — ?
Решение
Уравнение гармонических колебаний, происходящих без начальной фазы, имеет вид
х= А cos ωt.
Сдругой стороны, согласно условию
задачи x = |
A |
. С учетом этого |
|
|
|
||
2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
= Acoswt , |
cos ωt = |
1 |
, |
|
|
|
|
2 |
|||
|
|
2 |
|||||
|
|
|
|
|
|||
откуда |
|
|
|
ωt = |
p . |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
Циклическая частота w= 2Tp , поэтому
2Tpt = 3p,
откуда |
t = |
T |
= |
|
12 |
c = 2 c. |
|
6 |
6 |
||||||
|
|
|
|
||||
Ответ: t = 2 с.
Задача 4. Уравнение гармонических колебаний маятника х = А cos 2πt. Все величины выражены в единицах СИ. Через сколько времени, считая от момента t = 0, потенциальная энергия маятника станет равна его кинетической энергии?
Обозначим х смещение маятника, А — амплитуду колебаний, t — время колебаний, Wp — потенциальную энергию маятника, Wk — его кинетическую энергию, k — жесткость пружинного маятника.
473
Решебник по физике
Дано:
х = А cos 2πt Wp = Wk
t — ?
Решение
Возведем в квадрат левые и правые части данного уравнения:
х2 = А2 cos2 2πt. |
(1) |
Теперь умножим левую и правую части этого уравнения на 2k , где k — жесткость пружинного маятника.
Получим: |
|
kx2 |
= kA2 cos2 2pt.. |
(2) |
||
|
|
|
2 |
|
2 |
|
Здесь |
kA2 |
= W |
— мгновенная потенциальная энергия |
|||
|
2 |
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
маятника, а |
kA2 |
= W |
|
— его максимальная потенци- |
||
|
|
2 |
pmax |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
альная энергия, равная, согласно закону сохранения механической энергии, сумме мгновенных потенциальнойWp и кинетической Wk энергий в любой момент времени:
Wp max = Wp + Wk = 2 Wp,
поскольку Wp = Wk согласно условию задачи.
С учетом этих выражений уравнение (2) можно записать так:
|
|
Wp = 2Wр cos2 2πt, |
|
|
|||||
откуда cos2 2πt = |
1 |
, а |
cos 2πt = |
1 |
= |
2 |
. |
||
2 |
2 |
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||
С учетом этого, 2πt = |
p , |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
откуда |
|
t = |
1 |
с = 0,125 с. |
|
|
|||
|
8 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ответ: t = 0,125 с.
Задача 5. Один математический маятник за определенное время совершил 10 колебаний, а другой маятник за это же время совершил 6 колебаний. Разность их длин 16 см. Определить длины маятников l1 и l2.
474
4. Колебания и волны. Оптика. Теория относительности, атомная физика
Обозначим t время колебаний маятников, T1 — период колебания первого маятника, g — ускорение свободного падения.
Дано:
N1 = 10
N2 = 6
∆l = 16 см
l1 — ? l2 — ?
Решение
Период колебания первого маятника равен отношению всего времени колебаний t к числу колебаний n1, совершенных за это время:
t Т1 = N1 .
С другой стороны, период колебаний математического маятника определяется формулой
Т1 = 2π |
l1 |
. |
|
||
|
g |
|
Поскольку левые части этих равенств одинаковы, то, чтобы «уйти» от неизвестного и не нужного нам периода, приравняем их правые части:
t |
= 2π |
l1 |
. |
(1) |
|
||||
N1 |
g |
|
||
Аналогично для второго маятника можно сразу записать:
t |
= 2p |
l2 |
. |
(2) |
N |
|
|||
|
g |
|
||
2 |
|
|
|
|
Теперь, чтобы «избавиться» от неизвестного времени колебаний t, разделим равенства (1) и (2) друг на друга. При этом время t сократится.
tN2 |
= |
2p |
|
l1g |
, |
N2 |
= |
l1 |
. |
(3) |
N t |
2p |
|
gl |
N |
|
|||||
|
|
|
|
l |
|
|||||
1 |
|
|
2 |
|
1 |
|
2 |
|
|
|
Мы получили одно уравнение с двумя неизвестными: l1 и l2. Чтобы их найти, надо записать еще одно уравнение с этими же неизвестными. Нам дана разность их длин ∆l, которую мы еще не использовали. Значит, можно составить
475
Решебник по физике
еще одно уравнение, если вычесть из длины одного маятника длину другого. Но какой же из них длиннее?
Если взглянуть на формулы (1) или (2), то можно догадаться, что длиннее тот, который за одинаковое время совершил меньше колебаний. Нам дано, что первый маятник совершил 10 колебаний, а второй за это же время — только 6. Значит, второй маятник длиннее первого на ∆l. Поэтому мы можем записать еще одно уравнение с этими длинами следующим образом:
l2 = l1 + ∆l. |
(4) |
Теперь подставим (4) в (3). Так мы получим одно уравнение с одним неизвестным — искомой длиной первого маятника l1, которую и определим:
|
N2 |
= |
l1 |
, |
|
N |
|
2 |
l |
+ ∆l |
|
N |
2 |
∆l |
|
|||||
|
|
|
|
1 |
|
= |
1 |
|
|
, |
|
1 |
|
= 1+ |
|
, |
||||
|
N1 |
l1 + ∆l |
|
|
l |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
N |
|
|
l |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
1 |
|
||||
откуда |
|
|
|
l1 = |
|
|
∆l |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N1 |
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
N2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Длину второго маятника найдем по формуле (4): l2 = l1 + ∆l.
Произведем вычисления:
l |
= |
|
16 |
|
см = 9 см, |
||
|
10 |
|
|
||||
1 |
|
|
2 |
−1 |
|||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|||||
|
|
|
6 |
|
|
|
|
l2 = 9 см + 16 см = 25 см.
Ответ: l1= 9 см, l2 = 25 см.
Задача 6. Масса Земли больше массы Луны в 81 раз, а радиус Земли больше радиуса Луны в 3,6 раза. Определить, как изменится период колебания математического маятника, если его перенести с Земли на Луну.
476
4. Колебания и волны. Оптика. Теория относительности, атомная физика
Обозначим МЗ массу Земли, МЛ — массу Луны, gЗ — ускорение свободного падения на Земле, gЛ — ускорение свободного падения на Луне, ТЗ — период колебания маятника на Земле, ТЛ — период колебания на Луне, l — длину маятника, RЗ — радиус Земли, RЛ — радиус Луны, G — гравитационную постоянную.
Дано: |
|
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
МЗ = 81 Мл |
|
Период колебания математического ма- |
||||||||||||
RЗ = 3,6 RЛ |
|
ятника на Земле определим по формуле: |
||||||||||||
|
TЛ |
— ? |
|
|
ТЗ = 2π |
l |
. |
(1) |
||||||
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
||||||||||||
|
TЗ |
|
|
|
|
|
|
|
|
g |
З |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Ускорение свободного падения на Земле выразим через |
|||||||||||||
ее массу и радиус: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
g = G |
MЗ |
. |
|
|
|
|
|
(2) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
З |
|
|
R2З |
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставим (2) в (1): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
ТЗ = 2π |
|
|
lR2З |
. |
|
|
|
(3) |
||
|
|
|
|
|
GMЗ |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Аналогично, период на Луне |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
ТЛ = 2π |
|
|
lR2 |
|
. |
|
|
|
(4) |
|
|
|
|
|
|
|
GM |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Теперь разделим (4) на (3) . При этом неизвестная длина маятника сократится и мы получим нужное соотношение периодов:
|
|
2p |
lR2Л |
|
|||
T |
M |
Л |
|
||||
Л |
= |
|
|
= |
|||
|
|
|
|
||||
TЗ |
2p |
lR2З |
|
||||
|
|
MЗ |
|||||
MЗ RЛ |
2 |
R Л |
MЗ |
|
||||
|
|
|
|
= |
|
|
|
. |
|
|
R З |
MЛ |
|||||
MЛ |
RЗ |
|
|
|||||
477
Решебник по физике
Теперь воспользуемся соотношениями между массами и радиусами Земли и Луны, известными нам из условия задачи, подставив их в последнюю формулу:
TЛ |
= |
RЛ |
|
81MЛ |
= |
9 |
= 2,4. |
|
3,8RЛ |
|
|
||||
TЗ |
|
MЛ |
3,8 |
|
|||
Следовательно, на Луне период колебаний маятника увеличится в 2,4 раза, т.е. там он будет колебаться медленнее, чем на Земле.
Ответ: ТЛ / ТЗ = 2,4.
Задача 7. С какой скоростью проходит через положение равновесия пружинный маятник массой 50 г, если жесткость его пружины 20 Н/м, а амплитуда колебаний
4 см?
Обозначим m массу маятника, k — жесткость его пружины, A — амплитуду колебаний, vmax — максимальную скорость, Ер max — максимальную потенциальную энергию пружинного маятника, Еk max — максимальную кинетическую энергию пружинного маятника.
Дано: |
|
|
|
Решение |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
m = 50 г |
|
|
|
По закону сохранения механической |
||||||||
k = 20 Н/м |
|
|
энергии максимальная потенциальная |
|||||||||
A = 4 см |
|
|
энергия пружинного маятника Ер max рав- |
|||||||||
|
|
|
на его максимальной кинетической энер- |
|||||||||
vmax — ? |
|
|
||||||||||
|
|
гии Еk max. А когда деформация пружи- |
||||||||||
|
||||||||||||
|
|
|
ны х равна амплитуде А, |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
Ер max = |
kA2 |
. |
||||
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mv2 |
|
|
|
Кроме того, |
|
Е |
k max |
= |
|
max |
, |
|||||
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
следовательно, |
kA2 |
= |
mv2 |
|
, откуда |
|||||||
|
|
max |
||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
478
4. Колебания и волны. Оптика. Теория относительности, атомная физика
vmax = A mk .
vmax = 0,04 020,05 м/с = 0,8 м/с.
Ответ: vmax = 0,8 м/с.
Задача 8. Амплитуда колебаний маленького шарика 1 см, частота колебаний 5 Гц. Какой путь пройдет шарик за 2 с, если затуханием колебаний можно пренебречь?
Обозначим А — амплитуду колебаний шарика, t — время колебаний, S — путь, пройденный за это время, N — число полных колебаний, совершенных за время t, T — период колебания.
Решение Дано:
А = 1 см t = 2 с
ν = 5 Гц
S — ?
Для решения подобной задачи формулы пути равномерного и равноускоренного движений не годятся, поскольку колебания происходят с переменным ускорением. Будем рассуждать так.
Период колебаний шарика T = 1ν = 15 с =
0,2с.Шарикколебался2с,значит,заэтовремяонсовершил
N = Tt = 0,22 == 10 полных колебаний. А каждое колебание включает в себя 4 амплитуды. Следовательно путь, пройденный шариком за 2 с, равен
S = 4 А N = 4 · 1 · 10 см = 40 см = 0,4 м.
Ответ: S = 0,4 м.
Задача 9. Масса пружинного маятника 200 г, его жесткость 16 Н/м, амплитуда колебаний 2 см. Найти циклическую частоту колебаний и энергию маятника.
Обозначим m массу маятника, A — амплитуду колебаний, k — жесткость пружины, ω — циклическую частоту колебаний, W — энергию маятника.
479