Физка. Задачи и упражнения / Касаткина И.Л. Решебник по физике

Решебник по физике

Математический маятник — это материальная точка, подвешенная на невесомой и нерастяжимой нити.

Циклическая частота w, период Т и частота nсвободных колебаний математического маятника длиной l определяются формулами

Свободные колебания пружинного и математического маятников являются гармоническими.

Гармоническими колебаниями называются колебания, происходящие по закону косинуса или синуса.

Если момент начала отсчета времени колебаний соответствует максимальному отклонению маятника от положения равновесия, то его колебания являются косинусоидальными. Уравнение таких колебаний:

х = А cos a = A cos (wt + a0).

Если момент начала отсчета времени колебаний соответствует положению маятника в состоянии равновесия, когда его смещение равно нулю, то колебания будут синусоидальными. Уравнение таких колебаний:

х = А sin a = A sin (wt + a0).

Графики косинусоидальных гармонических колебаний смещения х, скорости v, ускорения а, силы F, потенциальной Ер, кинетической Ek и полной Е энергий, когда начальная фаза равна нулю, изображены на рис. 146.

Гармонические колебания происходят под действием переменной силы, пропорциональной смещению маятника от положения равновесия и всегда направленной к положению равновесия. Поскольку в процессе колебаний эта сила изменяется, изменяется и ускорение маятника, возникающее под действием этой силы. Поэтому к колебательному движению нельзя применять формулы равномерного или

410

4. Колебания и волны. Оптика. Теория относительности, атомная физика

Рис. 146

411

Решебник по физике

равноускоренного движений, с их помощью можно определять только средние скорость и ускорение за определенный промежуток времени. Чтобы найти мгновенную скорость, надо брать первую производную смещения по времени, а чтобы найти мгновенное ускорение — первую производную скорости по времени.

Если вам дано уравнение гармонических колебаний с цифровыми значениями параметров и требуется из него найти какую-либо величину, то запишите рядом уравнение гармонических колебаний в общем виде

х= А cos(ωt + α0)

исопоставьте его с данным уравнением. Та величина, что стоит между знаком «равно» и синусом или косинусом, есть амплитуда, в каком бы виде она ни была записана. Та, что стоит между синусом или косинусом и временем t, есть циклическая частота, а та, что без t, есть начальная фаза. Например, дано уравнение:

х= 0,2 соs 0,25(πt + 0,5π) м

итребуется найти амплитуду и период колебаний. Запишем это уравнение в общем виде:

х= А cos(ωt + α0).

Теперь раскроем скобки в данном нам уравнении и сравним его с уравнением в общем виде:

х = 0,2 соs (0,25πt + 0,125π) м.

Из сравнения с предыдущим уравнением видно, что амплитуда А = 0,2 м, циклическая частота ω = 0,25π рад/с и начальная фаза a0 = 0,125π рад. А поскольку цикли-

Если, наоборот, даны числовые значения параметров, а требуетсязаписатьуравнениеколебаний,подставьтевурав-

нение в общем виде х = А cos(ωt + α0) или х = А sin(ωt + α0) все числа, а время t оставьте в буквенном виде. Например,

412

4. Колебания и волны. Оптика. Теория относительности, атомная физика

вам даны амплитуда 2 см, период 4 с и начальная фаза 45° и требуется записать уравнение гармонических косинусоидальных колебаний. Найдите сначала циклическую частоту по формуле

Поскольку 45° = 4π , значит, α0 = 4π .

Сучетом этого требуемое уравнение примет вид:

х= 2 соs π t+ π см.

2 4

К свободным гармоническим колебаниям применим закон сохранения механической энергии: полная механическая энергия маятника Е в процессе гармонических колебаний сохраняется. При этом она равна его максимальной потенциальной энергии Ер max или его максимальной кинетической энергии Еk max, или сумме мгновенных потенциальной Ер и кинетической Еk энергий маятника в любой промежуточной точке его траектории:

Е = Ер max = Ek max = Ep + Ek.

Применительно к пружинному маятнику это равенство можно записать еще и так:

Здесь х, v и h — мгновенные смещение, скорость и высота подъема математического маятника над положением равновесия.

Если математический маятник движется вверх с ускорением или вниз с замедлением, то период его свободных (или собственных) определяется по формуле

413

Решебник по физике

Если он движется вниз с ускорением или вверх с замедлением, то период его свободных колебаний определяет формула

а если он движется горизонтально с ускорением или замедлением, то его период

Если математический маятник поднят над Землей на высоту Н, сравнимую с радиусом Земли или превосходящую его, где ускорение свободного падения g меньше, чем ускорение свободного падения g0 на Земле, то там маятник за время t отстанет от земного на время ∆t, поскольку увеличится его период колебания на величину ∆Т. При этом выполняется соотношение

∆t = ∆T t T0

где Т — период на высоте Н, а Т0 — период его колебаний на Земле.

414

4.Колебания и волны. Оптика. Теория относительности, атомная физика

А= А1 + А2,

асоотношение между амплитудами колебаний вследствие равенства сил упругости имеет вид:

k1A1 = k2A2.

Еслипружинысоединеныпараллельно,какнарис.148,б) или в), то амплитуды колебаний пружин будут одинаковы, а силы упругости, возникающие в пружинах при деформации, — разные, поэтому справедливыми будут соотношения

Fупр1 = — k1A и Fупр2 = k2A2.

Рис. 148

Если маятник не является ни пружинным, ни математическим, то к такому — физическому — маятнику формулы периода и частоты пружинного и математического маятников неприменимы. Для решения задач на физический маятник — колебания шарика в полусфере, ртути в сообщающихся сосудах, ареометра, погруженного в жидкость, и т. п. — следует пользоваться законами Ньютона, сохранения импульса и сохранения энергии.

415

Решебник по физике

Если частота собственных колебаний маятника равна частоте вынужденных колебаний, то при малом сопротивлении внешней среды наступает механический резонанс.

Механический резонанс — явление резкого возрастания амплитуды колебаний А, когда частота вынужденных колебаний ν становится равной собственной частоте маятни-

ка ν0.

На рис. 149 изображено семейство резонансных кривых для сред с разным сопротивлением колебаниям. Чем меньше внешнее сопротивление, т.е. чем ближе реальный маятник к идеальному, тем выше и острее резонансная кривая.

Рис. 149

Механической волной называют распространение механических колебаний в упругой среде.

Механические волны бывают поперечные и продольные. Поперечной волной называют волну, в которой частицы колеблются перпендикулярно направлению распространения волны,апродольной—в которойчастицыколеблютсявдоль направления распространения волны.

В вакууме механические волны распротраняться не могут. Поэтому, каким бы сильным ни был взрыв в космосе, на Земле его не услышат.

Вследствие отставания колебаний одних частиц среды от других в поперечных волнах возникают гребни и впадины (как в резиновом шнуре на рис. 150, а), а в продоль-

416

4. Колебания и волны. Оптика. Теория относительности, атомная физика

Рис. 150

ных — сгущения и разрежения (как в упругой пружине на рис. 150, б).

Механические волны не переносят вещество среды, но переносят ее форму: гребни и впадины в поперечной волне и сгущения и разрежения в продольной.

Механическиеволныпереносятмеханическуюэнергию, которая складывается из кинетической энергии движения частиц среды и потенциальной энергии ее упругой деформации.

Расстояние, пройденное волной за один период колебания ее частиц, называется длиной волны. Формулы длины волны:

v

λ = vT или λ = ν.

На расстоянии длины волны располагаются соседние гребни или соседние впадины в поперечной волне, а также соседние сгущения или соседние разрежения в продольной. На расстоянии длины волны расположены частицы, колеблющиеся с разностью фаз 2p рад.

На рис. 151 изображена графически поперечная волна и показанаеедлинаволныλ.Вотличиеотграфикаколебаний

417

Решебник по физике

Рис. 151

маятника здесь по оси абсцисс отложено не время колебаний t, а модуль перемещения волны S.

Скорость волны v — это скорость перемещения гребней иливпадинвпоперечнойволнеисгущенийилиразрежений

впродольной. Скорость волны в данной среде — постоянная величина, т.к. волны в однородной среде распространяются равномерно и прямолинейно. Скорость волны не равна скорости колебаний ее частиц. Частицы волны колеблются с переменной скоростью.

Подтверждениемволновогопроцессавсредеявляютсяинтерференция, дифракция, дисперсия и поляризация волн.

Волны, частицы которых колеблются с постоянной разностью фаз или с одинаковой частотой, называются когерентными. При наложении когерентных волн друг на друга возникает интерференция волн.

Интерференция — это наложение волн друг на друга,

врезультате которого в пространстве, охваченном волной, перераспределяется волновая энергия и возникают усиления волн (максимумы) и их ослабления (минимумы).

Наилучшим условием максимума интерференции явля-

ется наложение волн с одинаковой фазой или с разностью фаз, равной целому числу π рад. Так будет, когда разность хода волн ∆r от их источников S1 и S2 до места наложения

418

4. Колебания и волны. Оптика. Теория относительности, атомная физика

M (рис. 152) содержит четное число полуволн или целое число длин волн.

Условие максимума: ∆r = 2k 2λ = kλ.

Рис. 152

Наилучшим условием минимума интерференции является наложение волн в противофазе, т.е. когда разность фаз равна πрадиан. В этом случае разность хода волн содержит нечетное число полуволн.

Условие минимума: ∆r = (2k + 1) 2λ .

Продольные волны звуковой частоты называются звуковыми волнами. Звуковой частотой, т.е. частотой, при которой человеческое ухо слышит звук, является частота от 16 Гц до 20 000 Гц. Звук с частотой меньше 16 Гц называется инфразвуком, а звук с частотой выше 20 000 Гц — ультразвуком.

Высота тона звука зависит от частоты колебаний звучащего тела (вибратора). Чем больше частота колебаний, тем выше тон. Частота колебаний крыльев мухи меньше частоты колебаний крыльев комара, поэтому муха жужжит, а комар пищит.

Громкость (интенсивность) звука зависит от амплитуды колебаний звучащего тела. Чем больше амплитуда колебаний, тем громче звук.

Скорость звука зависит от среды, в которой он распространяется, и от ее температуры. В более плотных и упругих средах звук распространяется быстрее. Скорость звука

419