Физка. Задачи и упражнения / Касаткина И.Л. Решебник по физике

Решебник по физике

Нам осталось подставить правую часть выражения (2) в формулу (1), и задача в общем виде будет решена:

q = C πd2DB. 4Dt

Задача в общем виде решена. Выразим все величины в единицах СИ:

16 см = 0,16 м, 5 мкФ = 5 ∙ 10–6 Ф, 4 мТл/с = 0,004 Тл/с.

Подставим числа и вычислим:

q = 5 · 10–6 3,14 0,162 0,004 Кл = 4 ∙ 10–10 Кл = 0,4 нКл. 4

Ответ: q = 0,4 нКл.

Задача 42. Проводящий круговой контур диаметром 20 см, в который включен источник тока с ЭДС 8 мВ, распо­ ложен в плоскости чертежа (рис. 138). За чертеж направле­ но однородное магнитное поле. Индукция магнитного поля начала равномерно уменьшаться со скоростью 10 мТл/с. На сколько про­ центов изменилась мощность тока в

контуре?

380

3. Электромагнетизм

менениемощноститока вконтуре,∆Р—изменениемощнос­ титока,Р1 —прежняямощностьтока,Р2 —новаямощность тока, εi — ЭДС электромагнитной индукции, R — сопротив­ ление контура, S — площадь контура.

Ленца будет поддерживать убываю­ щее магнитное поле, поэтому будет направлено тоже за чертеж, т.е. в ту же сторону, что и внешнее магнитное поле индукцией В. Вследствие этого к ЭДС источника тока до­ бавится ЭДС индукции, поэтому результирующая ЭДС в контуре будет равна их сумме. Вследствие этого мощность тока в контуре возрастет.

Изменениемощноститока ∆Рбудетравноразностимеж­ ду возросшей мощностью тока Р2 и прежней Р1. Относи­ тельное изменение мощности тока, которое требуется най­ ти, равно:

DP = P2 −P1 = P2 −1.

P1 P1 P1

Согласно формуле мощности тока, где роль напряжения U играет ЭДС, мощности тока — прежняя и новая — равны:

P1 = εR2 и P2 = (ε+Rεi )2 .

Подставим правые части этих выражений вместо ЭДС в предыдущую формулу:

381

Решебник по физике

Не стоит здесь раскрывать квадрат суммы чисел, т.к. хоть единица и сократится, но окончательное выражение получится более сложным.

Теперь для определения модуля ЭДС индукции восполь­ зуемся формулой

εi = DΦDt .

но без минуса, т.к. его мы уже учли, применяя правило Ленца, где

∆Ф = ∆ВS.

Площадь кругового контура S выразим через его диа­ метр D:

Подставив правую часть равенства (2) в выражение (1), мы решим задачу в общем виде:

Выразим все величины в единицах СИ: 20 см = 0,2 м, 8 мВ = 8 ∙ 10–3 В,

10 мТл/с = 0,01 Тл/с.

Произведем вычисления:

Ответ: DP = 8%.

P1

382

3. Электромагнетизм

Задача 43. Соленоид с сопротивлением 10 Ом и индук­ тивностью 200 мГн имеет площадь витка 20 см2. Соленоид помещен в магнитное поле, индукция которого равномерно увеличивается. Когда магнитная индукция увеличилась на 2 Тл, сила тока в соленоиде возросла на 40 мА. Какой заряд прошел при этом по соленоиду?

Обозначим R сопротивление соленоида, L — его индук­ тивность, S — площадь витка, ∆B — увеличение магнитной индукции, ∆I — увеличение силы тока, q— заряд, прошед­ ший по соленоиду, ∆t — время прохождения заряда, εi — ЭДС индукции, εS — ЭДС самоиндукции.

383

Решебник по физике

Нам осталось подставить правую часть выражения (5) в формулу (1), и задача в общем виде будет решена:

q = LDI −DBS Dt = LDI −DBS. DtR R

Выразим все величины в единицах СИ: 200 мГн = 0,2 Гн, 20 см2 = 0,002 м2, 40 мА = 0,04 А.

Произведем вычисления:

q = 0,2 0,04−2 0,002 Кл = 4 ∙ 10–4 Кл = 0,4 мКл. 10

Ответ: q = 0,4 мКл.

Задача44.Круглыйпроволочныйвитокдиаметром50см расположенсвоейплоскостьюперпендикулярномагнитным линиям однородного магнитного поля индукцией 50 мТл. Сопротивление витка 2 Ом. Какой заряд протечет через поперечное сечение проводника, из которого изготовлен виток, при равномерном уменьшении магнитного поля до нуля? Явлением самоиндукции пренебречь.

Обозначим D диаметр витка, В1 — начальную индукцию магнитного поля, В2 — конечную индукцию магнитного по­ ля,Ф1—начальныймагнитныйпотоксквозьвиток,Ф2—ко­ нечный магнитный поток сквозь виток, Ii — силу индукци­ онного тока, ∆t — время его протекания, q — заряд, про­ шедшийчерезпоперечноесечениепроводника,S—площадь витка, εi — ЭДС индукции, R — сопротивление витка.

384

3. Электромагнетизм

По закону Фарадея для электромагнитной индукции

q = 50 10−3 3,14 0,52 Кл = 4,9 ∙ 10–3 Кл = 4,9 мКл. 4 2

Ответ: q = 4,9 мКл.

Задача 45. Четыре одинаковые проволоки длиной l каждая образуют контур в форме квадрата. Он помещен в однородное магнитное поле индукцией В, перпендику­ лярное плоскости квадрата. Сопротивление каждой прово­ локиR.Найтисилуиндукционноготока,которыйпротечет по контуру за промежуток времени ∆t, если квадрат преоб­ разовать в круг?

Обозначим Ii силу индукционного тока, εi — ЭДС индук­ ции, Rобщ — общее сопротивление четырех последователь­ ных проволок, Ф1 и Ф2 — начальный и конечный магнит­ ные потоки сквозь контур, ограниченный проволоками.

ЭДС индукции εi = −Φ2D−tΦ1 = Φ1D−tΦ2 .

385

Решебник по физике

Магнитный поток, пересекающий квадратный контур, Ф1 = ВS1 = Bl2, где S1 = l2 — площадь квадратного контура. Магнитный поток, пересекающий контур в форме окруж­ ности, Ф2 = ВS2, где S2 — площадь круга, у которого длина окружности равна 4l = 2πRокр, откуда радиус этой окруж­

4l = 2l

ности Rокр = 2π π , поэтому площадь круга

S2 = πR2окр = π 4πl22 = (2πl)2 .

Тогда магнитный поток сквозь контур в форме окруж­ ности

(2l)2

Ф2 = В π .

Подставим значения Ф1 и Ф2 в формулу ЭДС индукции:

С учетом этого сила индукционного тока

Задача46.Сопротивлениепроводящегоконтура3∙10–2 Ом. За 2 с пересекающий контур магнитный поток равномерно изменяется на 1,2 · 10–2 Вб. Определить силу индукционно­ го тока в проводнике.

Обозначим R сопротивление проводника, ∆t — время из­ менения магнитного потока, ∆Ф — изменение магнитного потока, Ii — сила индукционного тока в проводнике, εi — ЭДС электромагнитной индукции.

386

3. Электромагнетизм

Подставив правую часть второй формулы вместо ЭДС в первую, мы решим задачу в общем виде:

Ii = R∆Φ∆t.

Произведем вычисления:

1,2 10−2

I = 3 10−2 2 А = 0,2 А.

Ответ: I = 0,2 А.

Задача 47. Тонкий проводящий стержень длиной 40 см начинает соскальзывать без начальной скорости с наклонной плоскости с углом при основании 30° (рис. 139). Плоскость расположена в однородном магнитном поле индукцией 200 мТл. Вектор магнитной индукции направлен вниз. Найти ЭДС индукции в стержне в тот момент, когда он пройдет путь 40 см. Трением пренебречь.

Рис. 139

387

Решебник по физике

Обозначим l длину стержня, v0 — его начальную ско­ рость, α — угол при основании наклонной плоскости, В — индукциюмагнитногополя,S—пройденныйпуть,εi —ЭДС индукции в стержне, v — скорость, которую приобретет стержень в конце пути, m — массу стержня, g — ускорение свободного падения, h — высоту наклонной плоскости, β — угол между направлением движения проводника и направ­ лением вектора индукции магнитного поля.

Решение

ЭДС индукции в проводни­ ке, движущемся поступательно в магнитном поле, определяет формула εi = Bv l sin β, где β — угол между направлением дви­ жения проводника и направле­ нием вектора индукции маг­ нитного поля. Из рис. 139 следует, что β= 90°– α, поэтому

εi = Bv l sin (90° – α) = Bv l cos α.

Скорость v, которую приобретет стержень в конце пути S, найдем из закона сохранения механической энергии, согласно которому потенциальная энергия стержня mgh на высоте h = S sin α равна кинетической энергии стержня mv2 2 : mgh = mv2 2 , откуда v = 2gh = 2gSsina. В итоге

получим:

εi = B l 2gSsina cos α.

εi = 0,2 ∙ 0,4 2 10 0,4sin300 cos300 В = 0,14 В.

Ответ: εi = 0,14 В.

Задача 48. Индуктивность катушки с малым сопротив­ лением равна 0,15 Гн, сила тока в ней 4А. Сколько теплоты выделится в катушке, если параллельно к ней подключить резистор с сопротивлением, во много раз большим, чем сопротивление катушки.

388

3. Электромагнетизм

Обозначим L индуктивность катушки, I — силу тока в ней, Q — количество выделившейся теплоты, Wм — энер­ гию магнитного поля катушки, R — сопротивление резис­ тора, r — сопротивление катушки.

Решение

При быстром отключении источника тока энергия магнитного катушки пре­ вратится в выделенное тепло, поэтому мы можем записать: Q = Wм. В свою очередь, энергия магнитного поля опре­

деляется половиной произведения индуктивности катуш­ ки на квадрат силы тока в ней. Поэтому

Q = Wм = LI22

Произведем вычисления:

Q = 0,15 42 Дж = 1,2 Дж. 2

Ответ: Q = 1,2 Дж.

Задачи для самостоятельного решения

Задача 1. Два одинаково заряженных маленьких шари­ ка с равными радиусами взаимодействуют с силой F1. С ка­ кой силой они станут взаимодействовать, если один из них увеличить в 2 раза, второй уменьшить в 1,5 раза, а рассто­ яние между ними уменьшить в 3 раза?

Ответ: F2 = 12F1.

Задача 2. Между двумя одноименными точечными за­ рядами q1 = 0,01 мкКл и q2 = 0,04 мкКл расстояние r = 9 см. Между ними помещают третий заряд так, что все заряды оказываются в равновесии. На каком расстоянии от мень­ шего заряда помещают третий заряд?

389