Физка. Задачи и упражнения / Касаткина И.Л. Решебник по физике

Решебник по физике

Нам осталось подставить (2) в (1) с учетом, что х = l:

Ответ: h = 5,5 мм.

Задача13.Горизонтальная равномерно и положительно заряженная плоскость создает однородное электрическое поле напряженностью Е = 5 кВ/м. На нее с высоты h = 2 м бросают вниз с начальной скоростью v0 = 0,5 м/с малень­ кий шарик массой m = 50 г, несущий положительный за­ ряд q= 50 нКл. Найти скорость шарика в момент удара о плоскость.

Обозначим Е напряженность электрического поля, h — высоту, с которой бросают шарик, v0 — скорость бросания, m — массу шарика, q — заряд шарика, v — скорость шари­ ка в момент удара о плоскость, a — ускорение шарика при падении,g— ускорение свободного падения,Fэл — электри­ ческую силу отталкивания шарика в электрическом поле.

Ускорениешарикаанайдемизвторо­ гозаконаНьютона.Нашарикдействуютнаправленнаявниз сила тяжести mg и направленная вверх электрическая сила отталкивания Fэл. По второму закону Ньютона произведе­ ние массы шарика и его ускорения равно разности этих сил: ma = mg – Fэл, откуда

340

3. Электромагнетизм

a = mg − FMэл; = g − FMэл; . m m

Силу Fэл определим из формулы напряженности:

Fэл = qE.

Подставим правую часть этого равенства в предыдущую формулу:

Нам осталось подставить правую часть равенства (2) в вы­ ражение (1), и задача в общем виде будет решена:

Ответ: v = 4,5 м/с.

Задача 14. Точка N отстоит от точечного заряда-источ­ ника на вдвое большем расстоянии, чем точка M (рис. 129). При перемещении заряда из точки М в точку N электри­ ческое поле совершило работу 9 Дж. Какую работу оно со­ вершит, перемещая этот заряд из точки М в точку на сере­ дине отрезка MN?

Рис. 129

Обозначим r1 = r расстояние от точки М до заряда-источ­ ника, r2 = 2r — расстояние от точки N до заряда-источника, А1 — работу, совершенную полем при перемещении заряда

341

Решебник по физике

из точки М в точку N, А2 — работу, совершенную полем при перемещении заряда из точки М в точку С на середине от­ резкаMN,WM —потенциальнуюэнергиюзарядавточке М, WN — потенциальную энергию заряда в точке N, WС — по­ тенциальную энергию заряда в точке С, qист — модуль за­ ряда-источника, q — модуль перемещаемого заряда, ϕM — потенциалэлектрическогополязаряда-источникавточкеМ, ϕN — потенциал электрического поля заряда-источника в точке N, ϕС — потенциал электрического поля заряда-ис­ точника в точке С, k — коэффициент пропорциональности.

Подставим правые части этих выражений в формулы (1)

и (2):

Теперь разделим левые и правые части этих равенств друг на друга:

A1 = kqucm 3r =1,5,

A2 2r kqucm

342

3. Электромагнетизм

Ответ: А2 = 6 Дж.

Задача 15. К конденсатору емкостью 10 пФ последова­ тельно подключили два параллельных конденсатора ем­ костями 4 пФ и 6 пФ. Общий заряд всех конденсаторов 1 нКл. Чему равно общее напряжение на конденсаторах?

Обозначим С1 емкость первого конденсатора, С2 — ем­ кость второго конденсатора, С3 — емкость третьего конден­ сатора,С23 — общую емкость второго и третьего конденсато­ ров, С — общую емкость всей батареи конденсаторов, U — общее напряжение на батарее, q — общий заряд.

Рис. 130

343

Решебник по физике

Ответ: U = 200 В.

Задача 16. Напряжение на обкладках конденсатора 200 В, расстояние между обкладками 0,2 мм. Конденсатор отключили от источника зарядов, после чего увеличили расстояние между обкладками до 0,7 мм. Определить на­ пряжение на обкладках конденсатора.

Обозначим С емкость конденсатора до изменения рас­ стояния между обкладками, С1 — емкость после отключе­ ния, q — заряд на обкладках, ko — некоторый коэффициент пропорциональности емкости конденсатора расстоянию между его обкладками, d — расстояние между обкладками до отключения, d1 — расстояние мехжу ними после отклю­ чения.

Решение

Если конденсатор сначала отклю­ чить от источника тока, а затем изме­ нить расстояние между его обкладками, то заряд на них останется неизменным, а изменится его емкость и напряжение.

Поэтому мы можем записать формулу емкости конденсато­ ра до и после отключения следующим образом:

344

3. Электромагнетизм

Емкость плоского конденсатора до и после отключения от источника зарядов:

Сравнивая эти равенства с предыдущими, мы придем к выводу, что

Если теперь разделить левые и правые части этих ра­ венств друг на друга, то неизвестные величины сократятся и из полученной формулы мы найдем искомое напряжение:

Ответ: U1 = 700 В.

Задача 17. Между обкладками плоского конденсатора находится слюдяная пластинка с диэлектрической прони­ цаемостью 6. Емкость конденсатора 10 мкФ, напряжение на его обкладках 1 кВ. Какую работу надо совершить, что­ бы вынуть пластинку из конденсатора, не отключая его от источника напряжения?

Обозначим ε1 диэлектрическую проницаемость слюды, ε2 — диэлектрическую проницаемость воздуха, С1 — ем­ кость конденсатора с пластинкой слюды, С2 — емкость конденсатора без пластинки слюды, U — напряжение на его обкладках, А — работу, которую надо совершить, чтобы вынуть пластинку из конденсатора, W1 — энергию конден­ сатора cj слюдяной пластинкой, W2 — энергию конденса­ тора без слюдяной пластинки.

345

Поскольку в этом процессе конден­ сатор не отключали от источника, напряжение на его об­ кладках сохранялось. Поэтому определим энергию конден­ сатора по формуле:

Нам известна емкость С1, а емкость С2 не дана. Но ее можно выразить через С1 и диэлектрические проницаемос­ ти ε1 и ε2, если разделить эти равенства друг на друга:

C1 = ε0ε1Sd = ε1 ,

C2 dε0ε2S ε2

откуда

Подставим теперь правую часть равенства (4) в форму­ лу (3):

Нам осталось подставить правые части равенств (2) и (5) в формулу (1), и задача в общем виде будет решена:

346

3. Электромагнетизм

ведь ε1 = 1.

Задача в общем виде решена. Выразим все величины в единицах СИ:

10 мкФ = 10 ∙ 10–6 Ф = 1 ∙ 10–5 Ф, 1 кВ = 1 ∙ 103 В.

Подставим числа и вычислим:

A = 110−5 1 103 (6−1) Дж = 0,025 Дж = 25 мДж. 2

Ответ: А = 25 мДж.

Задача18.Проводник емкостью 5 пФ заряжен до потен­ циала0,5кВ,апроводникемкостью8пФзаряжендопотен­ циала 0,8 кВ. Расстояние между проводниками велико по сравнению с их размерами. Какое количество теплоты вы­ делится при соединении этих проводников проволокой?

Обозначим C1 емкость первого проводника, ϕ1 — его потенциал до соединения со вторым проводником, C2 — ем­ кость второго проводника, ϕ2 — его потенциал до соедине­ ния со первым проводником, Q — количество теплоты, которое выделится при соединении этих проводников про­ волокой, W — общую энергию проводников после их соеди­ нения, W1 — энергию первого проводника до их соедине­ ния, W2 — энергию второго проводника до их соединения, q1 — заряд на первом проводнике до соединения, q2 — заряд на втором проводнике до соединения, q — общий заряд на проводниках, ϕ — потенциал проводников после их соеди­ нения.

347

Решебник по физике

энергии проводников W после их соединения и энергии каждого проводника W1 и W2 до соединения

Общую энергию проводников после их соединения луч­ ше определить по формуле, куда не входит общая емкость соединенныхпроводников,посколькуеемынезнаем(здесь нельзя применять законы последовательного или парал­ лельного соединения конденсаторов):

Общий заряд проводников q после их соединения по закону сохранения зарядов равен сумме их зарядов q1 и q2 до соединения:

q = q1 + q2.

Заряды на каждом проводнике до соединения можно найти, воспользовавшись формулой емкости, из которой следует, что q1 = C1ϕ1 и q2 = C2ϕ2. Подставим правые части этих двух равенств в предыдущее выражение:

После соединения потенциал проводников ϕстал одина­ ков. Заряд на первом проводнике стал равен С1ϕ, а на вто­ ром — С2ϕ. Тогда, согласно закону сохранения зарядов,

С1ϕ1 + С2ϕ2 = С1ϕ + С2ϕ , откуда

Теперь подставим правые части равенств (3) и (4) в фор­ мулу (2). Так мы определим общую энергию проводников после соединения через известные нам величины:

Энергии проводников до соединения проще определить по формуле

348

3. Электромагнетизм

Нам осталось подставить правые части формул (5), (6) и (7) в равенство (1) и выполнить упрощения:

Задача в общем виде решена. Но полученное довольно громоздкое выражение можно упростить, если привести все выражение в правой части к общему знаменателю и раскрыть квадрат суммы в числителе уменьшаемого. Про­ делаем эти действия:

Q = C12ϕ12 +2C1ϕ1C2ϕ2 +C22ϕ22 −C12ϕ12 −C1C2ϕ12 −C1C2ϕ22 −C22ϕ22 =

2(C1 + C2 )

Знак «минус» перед дробью свидетельствует, что энер­ гия системы проводников уменьшилась.

Произведем вычисления:

Ответ: Q = –0,14 Дж.

Задача 19. Энергия каждого из двух заряженных про­ водников W1 и W2, их емкости одинаковы. Какое количест­ во теплоты выделится при соединении этих проводников?

Обозначим W — энергию проводников после их соеди­ нения, q1 — заряд первого проводника до соединения, q2 — заряд второго проводника до соединения, С — емкость каждого проводника.

349