Физка. Задачи и упражнения / Касаткина И.Л. Решебник по физике

Решебник по физике

со стороны заряда в вершине 2, k — коэффициент пропор­ циональности, q — модуль заряда, r — расстояние между зарядами, равное длине нити.

Решение

Выполнимчертеж(рис.124),накотором покажем все силы, приложенные к одному иззарядов,например,кзарядуqввершине

4. На остальные заряды действуют аналогичные силы.

Рис. 124

Назарядвчетвертойвершинедействуют5сил:двеодина­ ковые по модулю силы Кулона Fк1 со стороны зарядов в вер­ шинах 1 и 3, сила Кулона Fк2 со стороны заряда в вершине 2 и две одинаковые по модулю силы натяжения нитей Fн, свя­ зывающих этот заряд с зарядами в вершинах 1 и 3.

Поскольку заряд в равновесии, все силы уравновешены. Нам надо найти силу Fр1, которая является равнодейству­ ющей двух сил Кулона Fк1. По теореме Пифагора

двух сил натяжения, приложенных к заряду в вершине 4.

330

3. Электромагнетизм

Теперь подставим это равенство в формулу (1):

14

Fр1 = 1,4 ∙ 19 Fн = 1,03 Fн.

Произведем вычисления:

Fр1 = 1,03 ∙ 10 мН = 10,3 мН.

Ответ: Fр1 = 5,2 мН.

Задача 6. Определить период вращения электрона вок­ руг ядра в атоме водорода. Радиус орбиты электрона при­ нять равным 5 ∙ 10–11 м.

Обозначим е модуль заряда электрона, me — его массу, r — радиус орбиты электрона, ε — диэлектрическую про­ ницаемость среды, ε0 — электрическую постоянную, Т — период вращения электрона, F — силу, действующую на электрон со стороны ядра, a — центростремительное уско­ рение электрона, ω — его угловую скорость.

Дано:

е = 1,6 ∙ 10–19 Клч me = 9,1 ∙ 10–31 кг r = 5 ∙ 10–11 м

ε = 1 ε0 = 8,85 ∙ 10–12 Ф/м

Т — ?

Эта сила по второму закону Ньютона равна:

331

Решебник по физике

Центростремительное ускорение электрона а выразим через его угловую скорость ω, а ее, в свою очередь, через искомый период Т:

а = ω2r,

Подставим правую часть равенства (2) в выражение (1):

Ответ: Т = 1,5 ∙ 10–16 с.

Задача 7. Точка М находится посередине между заря­ дами –q и –4q (рис. 125). Какой заряд надо поместить вмес­ то заряда –4q в точку 2, чтобы напряженность электричес­ кого поля в точке М увеличилась в 3 раза?

Рис. 125

332

3. Электромагнетизм

Обозначим Е1 напряженность поля заряда –q, Е2 — на­ пряженность поля заряда –4q, Ер1 — напряженность ре­ зультирующего поля в первом случае, q0 — искомый заряд, Е0 — напряженность поля заряда q0, Ер2 — напряженность результирующего поля во втором случае, r — расстояние между точками 1 и М, k — коэффициент пропорциональ­ ности.

Ответ: q0 = 10q, знак у заряда q0 отрицательный.

Задача 8. Вектор напряженности однородного элект­ рического поля направлен вниз, напряженность этого поля равна 1,3 · 105 В/м. В это поле помещена капелька масла массой 2 · 10–9 г. Капелька оказалась в равновесии. Найти заряд капельки и число избыточных электронов на ней.

Обозначим Е напряженность электрического поля, m — массу капельки, g — ускорение свободного падения, F — силу, с которой электрическое поле действует на капельку, q — заряд капельки, e — модуль заряда электрона, N — число избыточных электронов на капельке.

333

ку, поэтому сила F, с которой поле действует на капельку, направлена вверх. Ей противодействует сила тяжести mg, направленная вниз (рис. 126). Капелька находится в равно­ весии, значит, эти силы уравновешивают друг друга и их

Числоизбыточных электронов найдем, разделивмодуль заряда капельки, т.е. заряд всех избыточных электронов, на модуль заряда одного электрона:

N = qe.

Произведем вычисления:

= 1,5 10−16 ≈

N 1,6 10−19 938. Ответ: q = 1,5 ∙ 10–16 Кл, N = 938.

334

3. Электромагнетизм

Задача 9. Сторона равностороннего треугольника r. В двух его вершинах расположены два заряда: положи­ тельный + q1 и отрицательный – q2 (рис. 127). Определить напряженность поля этих зарядов в третьей вершине.

Обозначим Е1 напряженность поля заряда q1, Е2 — на­ пряженность поля заряда q2, k — коэффициент пропорци­ ональности, α — угол при вершине равностороннего тре­ угольника, Е — результирующую напряженность поля обоих зарядов в третьей вершине.

E = E12 + E22 −E1E2 .

Напряженности Е1 и Е2 определим по формуле напря­ женности поля точечного заряда:

335

Решебник по физике

Задача 10. Разность потенциалов между электродами электронной пушки равна 500 В. Определить скорость вы­ летающих из нее электронов.

Обозначим U напряжение между катодом и анодом, e — модульзарядаэлектрона,me —массуэлектрона,A—работу электрического поля, разогнавшего электрон, ∆Ek — изме­ нение кинетической энергии электрона при разгоне, Eko — начальную кинетическую энергию электрона, Еk — его конечную кинетическую энергию, vo — начальную ско­ рость электрона, v— его конечную скорость

Решение

Согласно теореме об изменении кинетической энергии работа элект­ рического поля равна изменению ки­ нетической энергии. Но поскольку начальная кинетическая энергия электрона была равна нулю, т.к. была

равна нулю его начальная скорость, то мы можем записать:

А = ∆Еk = Ek,

т.к. Eko = 0.

Из определения напряжения мы знаем, что работа элек­ трического поля равна произведению перемещаемого заря­ да на напряжение. В нашем случае А = eU. По формуле кинетической энергии

336

3. Электромагнетизм

Ek = m2ev2 .

Приравняем правые части двух последних формул и из полученного соотношения найдем скорость:

Ответ: v = 1,3 · 107 м/с.

Задача 11. Отношение заряда электрона к его массе (удельный заряд электрона) 1,76 · 1011 Кл/кг, его началь­ ная скорость в электрическом поле равна 1 · 107 м/с, а ко­ нечная 3 · 107 м/с. Электрон перемещается по силовой ли­ нии поля. Определить разность потенциалов между на­ чальной и конечной точками перемещения электрона.

Обозначим A работу перемещения заряда в электричес­ ком поле, U — разность потенциалов между точками его перемещения, Ek1 — кинетическую энергию электрона в начальной точке перемещения, Ek2 — его кинетическую энергию в конечной точке.

С другой стороны, работа поля определяется произведе­ нием перемещаемого заряда на разность потенциалов:

A = eU.

337

Решебник по физике

Приравняем правые части этих равенств:

eU = m2 (v22 −v12 ),

откуда = v2 −v2

U 2 e 1 . 2m

Произведем вычисления:

U = (3 107 )2 −(1 107 )2 В = 2,3 · 103 В. 2 176, 1011

Ответ: U = 2,3 ∙ 103 В.

Задача 12. Электрон влетел в поле конденсатора парал­ лельно его обкладкам со скоростью 2 · 107 м/с (рис. 128). Длина конденсатора 0,05 м, расстояние между его обклад­ ками 0,02 м, разность потенциалов между ними U = 200 В. Отношение заряда электрона к его массе 1,76 · 1011 Кл/кг. Определить смещение электрона к положительной обклад­ ке за время пролета конденсатора.

Рис. 128

Обозначим vx проекцию скорости электрона на ось ОХ, l — длину конденсатора, U — разность потенциалов между его обкладками, d — расстояние между обкладками кон­ денсатора, e/m — отношение заряда электрона к его массе, voу — проекцию начальной скорости электрона на ось ОY при влете в конденсатор, у — координату на оси ОY, равную расстоянию, на которое сместится электрон вдоль оси ОY за время пролета конденсатора, t — время движения элек­

338

3. Электромагнетизм

трона в конденсаторе, а — его ускорение, F — силу, дейс­ твующую на электрон со стороны поля конденсатора, Е — напряженность поля конденсатора.

УскорениеэлектронанайдемповторомузаконуНьютона:

a = mF ,

где из формулы напряженности F = eE, поэтому a = eEm .

Напряженность однородного поля конденсатора связана с разностью потенциалов на его обкладках формулой

E = Ud ,

поэтому

339