Физка. Задачи и упражнения / Касаткина И.Л. Решебник по физике

Решебник по физике

нейтрализуются. В результате суммарный заряд системы тел, в которой возникли или исчезли заряды, останется прежним.

Янтарь или эбонит, потертые о мех или шерсть, приобре­ таютотрицательныйзаряд,априэтоммехилишерсть— та­ кой же по модулю положительный заряд. Стекло, потертое о шелк, приобретает положительный заряд, а шелк при этом — такой же по модулю отрицательный заряд.

Любой заряд q содержит в себе целое число N элементар­ ных зарядов е:

q = Ne.

Заряды делят на свободные и связанные. Свободными называют заряды, способные перемещаться по всему заря­ женному телу под действием электрического поля. Связан­ ными называют заряды, способные лишь смещаться внут­ ри молекулы или атома, но не способные перемещаться по всему заряженному телу под действием электрического поля.

Основным законом электростатики является закон Ку­ лона: сила, с которой взаимодействуют два точечных поко­ ящихся электрических заряда, прямо пропорциональна произведению модулей этих зарядов и обратно пропорцио­ нальна квадрату расстояния между ними:

F = kqε1rq22

Величина коэффициента пропорциональностиk зависит от выбора системы единиц. В СИ k = 9 · 109 Н · м2/Кл2. Без­ размерная величина ε, входящая в знаменатель закона Ку­ лона, называется относительной диэлектрической прони­ цаемостью среды, в которую помещены заряды. Относи­ тельная диэлектрическая проницаемость среды показывает, во сколько раз сила взаимодействия электри­ ческих зарядов в вакууме больше, чем в данной среде.

ε вакуума = 1, ε воздуха тоже примерно равна 1.

Сила Кулона направлена вдоль прямой, соединяющей взаимодействующие заряды. Если на данный заряд дейс­

270

твует несколько других заря­

дов, то равнодействующая Fp, действующая на данный за­ ряд, равна векторной сумме сил, действующих на него со

стороны каждого из других зарядов в отдельности. На рис. 93 на положительный за­

ряд q действуют положитель­ ный заряд q1 с силой F1 Рис. 93

и отрицательный заряд –q2

c силой F2 . Их равнодействующая F изображается диаго­

налью параллелограмма, построенного на силах F1 и F2 как на сторонах.

Модульэтойравнодействующейможнонайтипотеореме косинусов или Пифагора. Следует знать: если расстояния между зарядами r, r1 и r2 равны соответственно 5 см, 3 см и 4 см или 10 см, 6 см и 8 см, или этим же числам с одина­ ковым количества нулей (например, 50 см, 30 см и 40 см или 0,10 см, 0,6 см и 0,8 см и т.п.), то на рис. 93 все тре­ угольники прямоугольные, и при решении задачи можно применить теорему Пифагора:

Если на некоторый заряд (мы говорим «заряд», подра­ зумевая заряженное тело), кроме силы Кулона, действуют

идругие силы, например, сила тяжести, сила натяжения, сила трения и т. п., то при решении таких задач часто при­ меняют законы Ньютона. Если заряд под действием прило­ женных к нему сил покоится или движется равномерно

ипрямолинейно, то применяют первый закон Ньютона. При этом все противоположно направленные силы прирав­ нивают друг другу. Например, на положительно заряжен­ ный шарик q1 на нити действуют сила КулонаFк со стороны

271

Решебник по физике

другого отрицательно заряженного шарика

–q2, сила тяжести mg и сила натяжения нити Fн (рис. 94). Положительно заряженный ша­ рик будет оставаться в покое при выполнении условия:

и тяжести Fр1 была направлена вдоль нити от точки подве­ са и по модулю равнялась силе натяжения нити, направ­ ленной к точке подвеса.

Рис. 95

При решении подобной задачи могут пригодиться при­ веденные ниже формулы:

272

3. Электромагнетизм

Электрическое поле — это форма материи, окружающая электрические заряды.

Электрическое поле является составной частью единого электромагнитного поля.

Электрическое поле, окружающее неподвижные заря­ ды-источники поля, называется электростатическим (т. е. полем неподвижных зарядов).

Силовой характеристикой электрического поля являет­ ся его напряженность Е.

Напряженностьэлектрическогополявданнойточкерав­ на отношению силы F, действующей на пробный заряд q, внесенный в эту точку, к модулю этого заряда:

273

Решебник по физике

Рис. 98

Направление и величина вектора напряженности элек­ трического поля в данной точке определяются исключи­ тельно знаком заряда-источника и не зависят от знака про­ бного заряда. Напряженность электрического поля точеч­ ного заряда-источника в некоторой точке поля прямо пропорциональна модулю этого заряда и обратно пропор­ циональна квадрату расстояния между этой точкой поля и зарядом-источником:

E = kεqr2 .

По этим формулам можно также определить напряжен­ ность поля заряженной сферы, если заряд по ней распреде­ лен равномерно. В этом случае r — расстояние от точки поля, в которой определяется напряженность, до центра сферы.

Относительная диэлектрическая проницаемость среды ε показывает, во сколько раз напряженность Е0 электричес­ кого поля в вакууме больше напряженности Е в диэлект­

рике:

ε = EE0 .

Если электрическое поле создано несколькими заряда­ ми-источниками,торезультирующаянапряженностьэтого поля определяется принципом суперпозиции полей.

Принцип суперпозиции полей: напряженность электри­ ческого поля, созданного в данной точке несколькими заря­

274

3. Электромагнетизм

дами-источниками,равнавек­ торнойсумменапряженностей полей, созданных в этой точ­ ке каждым зарядом в отде­

льности. На рис. 99 применен при­

нцип суперпозиции полей для определения напряженности

поля, созданного в точке M

двумя точечными зарядами q1 и q2, положительным и от­ рицательным.

Следуетзнать,чтозаконКулонаможноприменятьтолько к взаимодействию точечных зарядов или равномерно заря­ женных шаров — полых или сплошных, все равно. Если же заряд,дажеточечный,находитсявполепротяженногозаря­ да — в поле бесконечной заряженной плоскости или двух плоскостей — то определять действующую на него электри­ ческую силу можно только воспользовавшись формулой

F = qE.

Электрическое поле, в каждой точке которого вектор напряженности одинаков, называется однородным. Сило­ вые линии однородного поля — это параллельные прямые, расположенные на одинаковом расстоянии друг от друга.

Примерами однородного поля являются поле бесконеч­ ной, равномерно заряженной плоскости (рис. 100,а) и поле между двумя бесконечными, равномерно и разноименно заряженными плоскостями (рис. 100, б).

Напряженность в любой точке однородного поля беско­ нечной и равномерно заряженной плоскости определяется по формуле

E = σ 2ε0ε

Здесь Е — напряженность электрического поля такой плоскости, σ — поверхностная плотность зарядов на ней, ε0 — электрическая постоянная, ε— диэлектрическая про­ ницаемость среды.

275

Решебник по физике

Рис. 100

Напряженность электрического поля между двумя бес­ конечными, равномерно и разноименно заряженными плоскостями, определяется формулой

E = σ . ε0ε

В электрическом поле на заряд действует сила, под дейс­ твием которой он перемещается. Следовательно, электри­ ческие силы совершают работу перемещения заряда в элек­ трическом поле.

Работа перемещения заряда А, совершаемая электри­ ческими силами в однородном электростатическом поле, равна произведению, напряженности поля Е, модуля этого заряда q и проекции вектора перемещения d на силовую линию:

А = Еqd.

Работа перемещения заряда в однородном электростати­ ческом поле не зависит от формы траектории заряда, а зави­

276

3. Электромагнетизм

сит от положения в этом поле начальной и конечной точек перемещения.

Работа перемещения заряда по замкнутой траектории, со­ вершаемая силами электростатического поля, равна нулю.

Под действием силы заряд движется в электрическом поле с ускорением. При этом его кинетическая энергия возрастает на некоторую величину, а потенциальная убы­ вает на такую же величину. При обратном движении заря­ да, наоборот, потенциальная энергия заряда возрастает, а кинетическая убывает. В результате энергия заряда, дви­ жущегося по замкнутой траектории, остается неизменной в полном соответствии с законом сохранения энергии.

Поскольку электростатическое поле действует на поме­ щенный в него заряд с силой, значит, оно сообщает заряду энергию. Энергетической характеристикой электрическо­ го поля является его потенциал.

Потенциал электрического поля равен отношению по­ тенциальной энергии заряда в этом поле к величине этого заряда,

ϕ = Wqp .

Здесь ϕ— потенциал электрического поля, Wp — потен­ циальная энергия заряда q в этом поле.

Потенциал — скалярная алгебраическая величина. Он может быть положительным и отрицательным. Услови­ лисьсчитатьпотенциалполя,созданногоположительными зарядами-источниками, положительным, а потенциал по­ ля, созданного отрицательными зарядами-источниками, отрицательным. Чем ближе к положительному заряду-ис­ точнику и чем дальше от отрицательного располагается точка, тем выше ее потенциал.

Потенциал поля точечного заряда в данной точке поля прямо пропорционален модулю этого заряда, обратно про­ порционален расстоянию от этой точки до заряда и зависит от среды, в которой находится заряд:

ϕ = kεqr.

277

Решебник по физике

Потенциал поля, созданного в данной точке множеством зарядов-источников, равен алгебраической сумме потенци­ алов полей, созданных в этой точке каждым зарядом в от­ дельности (с учетом плюсов и минусов) По последней фор­ муле можно определить и потенциал поля заряженной сферы. В этом случае r — расстояние от центра сферы до точки поля, расположенной вне сферы. Потенциал поля в точках на поверхности сферы с неподвижными зарядами или в любых точках внутри сферы (сплошной или пустой), если внутри нее нет зарядов, определяет формула

ϕ = kεqR,

где R — радиус сферы.

Если два заряженных проводника одинакового размера

иформы привести в соприкосновение, то потенциал их сделается одинаковым и их общий заряд разделится между ними поровну, поэтому если их потом развести, то на каж­ дом останется половина прежнего суммарного заряда. А если у проводников разные размеры или форма, то при соприкосновении у них тоже сделается одинаковый потен­ циал, но заряды будут разными. При этом будет выпол­ няться закон сохранения зарядов, согласно которому сум­ марный заряд проводников до их соединения равен сум­ марному заряду после соединения.

Отметим, что внутри поверхносто заряженной сферы электрическое поле отсутствует, поэтому напряженность там в каждой точке равна нулю, тогда как потенциал не равен нулю.

Потенциалзаряженногопроводника—пологоилисплош­ ного, все равно — в любой точке внутри него такой же, как

ина его поверхности.

Если заряженный проводник заземлить, то его потенци­ ал станет равен потенциалу Земли. При этом из земли на проводник придет заряд, равный заряду проводника, но противоположного знака, поэтому заряды нейтрализуют друг друга и проводник разрядится.

278