Физка. Задачи и упражнения / Касаткина И.Л. Решебник по физике

Решебник по физике

т.е.до0оС.Нохватитлиее,чтобыегополностьюрастопить? Чтобы весь лед растаял при 0 °С, ему надо еще Q4 = λm2 = = 3,3 · 105 · 0,6 Дж = 198 000 Дж теплоты.

Значит, чтобы весь лед нагреть до 0 °С и полностью растопить, ему надо сообщить Q2 + Q4 = 50 400 + 198 000 Дж = = 248 400 Дж теплоты.

Следовательно, теплоты, выделенной водой при охлаждении и замерзании, хватит на то, чтобы лед нагрелся до 0 °С, но не хватит на то, чтобы он весь растаял. Значит, окончательная температура будет 0 °С.

Ответ: t = 0 °С.

Задача43.В3лводыпри40 °Сбросили50гльдапри–4 °С. Какая установилась температура после того, как весь лед растаял? Удельная теплоемкость воды 4,2 ∙ 103 Дж/(кг ∙ К), удельная теплоемкость льда 2,1 ∙ 103 Дж/(кг ∙ К), удельная теплота плавления льда 3,3 ∙ 105 Дж/кг.

Обозначим m1 массу воды, t1 — начальную температуру воды, m2 — массу льда, t2 — начальную температуру льда, c1 — удельную теплоемкость воды, с2 — удельную теплоемкость льда, λ — удельную теплоту плавления льда, t0 — температуру плавления льда, t — установившуюся температуру, Q1 — количество теплоты, отданное горячей водой при охлаждении, Q2 — количество теплоты, поглощенное льдом при нагревании, Q2 — количество теплоты, поглощенное льдом при плавлении, Q2 — количество теплоты, поглощенное водой из льда при нагревании.

250

2. Молекулярная физика и термодинамика

процесса, и, значит, сумма всех отданных количеств теплоты одними телами равна сумме всех количеств теплоты, полученных другими. В нашей задаче отдает количество теплоты Q1 только горячая вода, остывая от температуры t1 до t, поэтому

Q1 = c1m1(t1 – t).

Получает эту теплоту лед. Поскольку он был при отрицательной температуре, то сначала он нагревается от t2 = = – 4 °С до t0 = 0 °С (выше 0 °С лед нагреть нельзя, он при этой температуре тает). Поэтому количество теплоты Q2, полученное льдом при нагревании, равно:

Q2 = c2m2(t0 – t2).

Поскольку тепло продолжает поступать от остывающей воды, лед тает. При этом он получает количество теплоты Q3, которое равно:

Q3 = m2λ.

Далее, вода, образовавшаяся из растаявшего льда и потому имеющая такую же массу m2, начнет нагреваться от t0 = 0 °С до искомой температуры t и при этом получит количество теплоты Q4, которое равно:

Q4 = c1m2(t – t0).

Теперь запишем закон сохранения тепловой энергии:

Q1 = Q2 + Q3 + Q4,

в который подставим вместо количеств теплоты правые части предыдущих равенств:

c1m1(t1 – t) = c2m2(t0 – t2) + m2λ + c1m2(t – t0).

Полученное уравнение называется уравнением теплового баланса. Из него, раскрыв скобки там, где есть искомая температура t, найдем ее, поскольку остальные величины нам известны:

c1m1t1 – c1m1t = c2m2(t0 – t2) + m2λ + c1m2t – c1m2t0.

251

Решебник по физике

Последний член этого уравнения c1m2t0 = 0, т.к. t0 = 0. Из оставшегося выражения найдем t:

t = c1m1t1 −m(2 (c2 (t0 −)t2 )+λ). c1 m1 +m2

Мы решили задачу в общем виде. Произведем вычисления:

Ответ: t = 38 °С.

Задача44.Агрегат мощностью 50 кВт охлаждается проточной водой, текущей со скоростью 4 м/с по охватывающей агрегат трубке радиусом 5 см. Начальная температура воды 10 °С. До какой температуры нагревается вода, если половина тепловой мощности агрегата идет на ее нагревание? Удельная теплоемкость воды 4200 Дж/(кг ∙ К).

Обозначим N мощность агрегата, v — скорость течения, R — радиус трубы, t1 — начальную температуру воды, с — удельную теплоемкость воды, η — КПД агрегата, t2 — конечную температуру воды, Qпол — количество теплоты, пошедшее на нагревание воды, Qзатр — количество теплоты, выделяемое агрегатом, ρ — плотность воды, V — ее объем, l — длину столбика воды, t — время, за которое некоторое сечение этого столбика воды перемещается на длину l, m — массу протекающей по трубке воды.

252

2. Молекулярная физика и термодинамика

Здесь Qпол — количество теплоты, пошедшее на нагревание воды,

Чтобы ввести в эту формулу известную нам скорость воды, выразим массу протекающей по трубке воды через ее плотность ρ и объем V, а объем, в свою очередь, — через некоторую длину столбика воды l = v t, где t — время, за которое некоторое сечение этого столбика воды пробегает длину l:

m =ρV, где V = lS = vtS.

Здесь S = πR2 — площадь поперечного сечения трубки с водой. Собрав все эти равенства в формулу массы воды,

Намосталосьподставитьправыечастивыражений(4)и(5) в формулу (1) и, сократив неизвестное время t, найти искомую температуру t1. Проделаем эти действия:

Задача в общем виде решена. Выразим величины мощности и радиуса в единицах СИ:

5 кВт = 5 ∙ 103 Вт,

5 см = 5 ∙ 10–2 м.

Произведем вычисления:

253

Решебник по физике

Ответ: t2 = 89,6 °С.

Задача 45. С какой скоростью v должна вылететь из ружья свинцовая дробинка при выстреле, сделанном вертикальновнизсвысоты h=50м,чтобыприудареокаменьона полностьюрасплавилась?Начальнаятемпературадробинки T1 = 400 K, температура плавления свинца T2 = 600 K. Удельная теплоемкость свинцаc= 0,13 кДж/(кг К), удельная теплота плавления свинца λ = 25 кДж/кг.

Обозначим h высоту, с которой произведен выстрел, T1 — начальнуютемпературудробинки,T1 —температуруплавле- ния свинца, c — удельную теплоемкость свинца, λ — удель- нуютеплотуплавлениясвинца,Ек—кинетическуюэнергию дробинкипривылетеизружья,ЕП —еепотенциальнуюэнер- гию на высоте, v — скорость дробинки при вылете из ружья, Q1 —количествотеплоты,полученноепулейпринагревании, Q2 —количество теплоты, полученное пулей при плавлении, m — массу пули

пературы Т1 до температуры плавления Т2, а затем расплавилась при температуре Т2. Количество теплоты Q1, полученное пулей при нагревании, Q1 = cm(Т2 – Т1) и количество теплоты Q2, полученное пулей при плавлении,

Q2 = mλ.

254

2. Молекулярная физика и термодинамика

По закону сохранения энергии

Сократим массу и определим скорость пули: v = 2(c(T2 −T1)+λ −gh).

Переведем все единицы в СИ:

0,13 кДж/(кг · К) = 130 Дж/(кг · К), 25 кДж/кг = 2,5 · 104 Дж/кг.

Подставим числа и произведем вычисления:

v = 2(130 (600−400)+2,5 104 −10 50) = 317 м/с

Ответ: v = 317 м/с.

Задачи для самостоятельного решения

Задача 1. Если бы все молекулы водорода, содержащиеся в m = 10 мг этого газа, расположили вплотную друг к дружке по цепочке, то какова была бы длина l этой цепочки? Диаметр молекулы водорода d = 2,3 А°  , молярная масса водорода М = 2 · 10–3 кг/моль.

Ответ: l = dNA Mm = 6,9 1011 м.

Задача 2. В результате нагревания давление газа в закрытом сосуде увеличилась в N раз. Во сколько раз увели-

чилась средняя квадратичная скорость его молекул?

v2 = N. v1

Задача 3. Давление газа p = 100 кПа, а средняя квадратичная скорость его молекул vкв = 400 м/с. Найти его плотность ρ.

Ответ: ρ= 32p = 1,9 кг/м3.

v:кв2

255

Решебник по физике

Задача 4. Газ находится в надувном шарике, объем которого может изменяться. Во сколько раз изменится давление газа, если его объем уменьшится в полтора раза, а средняя кинетическая энергия молекул увеличится в 3 раза?

Ответ: давление увеличится в 4,5 раза.

Задача5.Найти число молекул газа N, средняя квадратичная скорость которых при температуре t° = 27 °С равна vкв = 400 м/с, если масса газа m = 10 г.

mv 2

Ответ: N = 3kTкв: 2 = 2 · 1023.

Задача 6. В цилиндр с газом вдвигают поршень со ско-

ростью v1. Найти, какую часть кинетической энергии приобретает молекула в результате столкновения с поршнем, если скорость молекулы относительно стен цилиндра равна v2 и перпендикулярна основанию поршня. Удар абсолютно упругий.

Задача 7. Из-за неисправности вентиля из баллона вытекает газ. Найти массу вытекшего газа ∆m, если вначале масса была m1, а из-за утечки газа давление в баллоне уменьшилось в n раз.

Задача 8. Ампула объемом V = 1 см3, содержащая воздух при нормальных условиях (p0 = 105 Па и Т0 = 273 К), оставлена в космосе, где давление можно принять равным нулю. В ампуле пробито отверстие. Через сколько времени t давление в ампуле тоже станет равным нулю, если за каждую секунду из нее вылетает N0 = 108 молекул?

256

2. Молекулярная физика и термодинамика

Задача 9. В колбе емкостью V = 100 см3 содержится некоторый газ при температуре t° = 27 °С. Насколько понизится давление газа, если вследствие утечки из колбы выйдет ∆N = 1020 молекул?

Ответ: ∆ p = kT ∆VN = 4,14 кПа.

Задача 10. Найти среднюю кинетическую энергию EK молекул кислорода, если ν = 5 моль этого газа в баллоне объемом V = 8 л создают давление p = 0,5 МПа.

Ответ: EK = 3pV = 2 10−21 Дж. 2NAν

Задача 11. В вертикальной, открытой сверху трубке диаметром d под столбиком ртути находится ν молей газа. При нагревании газа на ∆Т столбик ртути поднялся на высоту h. Найти вес P столбика ртути в трубке. Атмосферное давление нормальное.

Ответ: P = νRh∆T − 4π ратмd2.

Задача12.Найтиплотностьρсмесикислородаиуглекислого газа. Молярная масса кислорода М1 = 0,032 кг/моль, молярная масса углекислого газа М1 = 0,044 кг/моль. Масса кислорода m1 = 50 г, масса углекислого газа m2 = 80 г. Смесь газов находится под давлением p = 50 атм и при температуре t ° = 7 °С.

Ответ: ρ= pM( 1M2 (m1 +m2 )) = 8,4 кг/м2.

RT m1M2 +m2M1

Задача 13. Сосуд объемом V = 2 л разделен пополам полупроницаемой закрепленной перегородкой. В левую половину сосуда впустили смесь азота массой m1 = 10 г и водорода массой m2 = 4 г , а в правой половине остался вакуум. Какое давление p установится в левой половине сосуда после окончания процесса диффузии, если через перегородку может диффундировать (проникать) только водород, а для

257

Решебник по физике

молекулазотаотверстиявперегородкеслишкоммалы?Температура в обеих половинах одинакова и равна t° = 27 °С. Молярная масса азота М1 = 0,028 кг/моль, молярная масса водорода М2 = 0,002 кг/моль.

Задача 14. Воздушный шар диаметром D = 8 м удерживается веревкой, натянутой вертикально. На сколько изменится натяжение веревки при понижении температуры воздуха с t1°= 27 °С до t2° = 7 °С. Атмосферное давление нормальное. Молярная масса воздуха М = 0,028 кг/моль.

Задача 15. Тонкий резиновый шар радиусом R1 = 2 см заполнен воздухом при температуре t1° = 20 °С и давлении р1 = 0,1 МПа. Каков будет радиус шара R2 , если его опустить вводустемпературойt2°=4 °Снаглубинуh=20м?Атмосфер-

ное давление нормальное. Плотность воды ρ=1 103 кг/м3.

Задача16.В цилиндре под тяжелым поршнем массой m с площадью основания S находится газ, занимающий объем V1 при температуре T1 (рис. 86). После того как на поршень поставили гирю массой m0 и газ нагрели на ∆T, поршень поднялся на высоту h относительно первоначального положения. Найти массу гири m0. Давление атмосферы нормальное.

Задача 17. Сколько рейсов вверх-вниз должен сделать водяной паук-серебрянка, чтобы на глубине h = 80 см построить воздушный домик шарообразной формы диаметром D = 1 см, прикрепив его к водяному растению, если за каж-

258

2. Молекулярная физика и термодинамика

дыйподъемнаповерхностьонприцепляетксвоеймохнатой лапке пузырек воздуха диаметром d = 1,5 мм? Плотность воды r = 1 · 103 кг/м3, атмосферное давление нормальное.

Задача18.В горизонтально расположенной трубке длиной L, закрытой с одного конца, посередине находится столбик ртути длиной h, запирающий столбик воздуха. Трубку располагают вертикально отверстием вверх. Найти длину l воздушного столбика под опустившейся ртутью. Плотность ртути ρ, атмосферное давление p. На сколько опускается столбик ртути?

Задача19.Открытуюсобоихконцоввертикальнуюстеклянную трубку длиной l = 60 см опускают в сосуд с ртутью на 1/3 ее длины. Затем, закрыв верхний конец трубки, вынимают ее из ртути. Какой высоты h столбик ртути остается в трубке? Атмосферное давление нормальное, плотность ртути ρ.

Задача 20. Один сосуд сферической формы радиусом R1 заполнен газом под давлением р1, а в другом сосуде радиусом R2 — вакуум. Сосуды соединяют трубкой, объемом которой можно пренебречь. Какое давление установится в сосудах после соединения?

Задача21.Закрытый горизонтальный цилиндрический сосуд длиной H разделен на две равные половины невесомой перегородкой, скользящей без трения. Обе половины

259