lec01
.pdf
Таблица истинности основных логических связок.
A |
B |
A B |
AB |
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
и |
и |
и |
л |
|
|
|
|
|
и |
л |
и |
л |
л |
л |
и |
и |
л |
и |
|
|
|
|
|
л |
л |
л |
л |
и |
|
|
|
|
|
21
Алгебра высказываний – булева алгебра.
Пусть A SA; В SB. Очевидно, что SA P(U); SB P(U). A В SA SB (по определению (def) операции)
A B SA SB – конъюнкция,
так как AB истинно для тех элементов из U, которые лежат и в SA и в SB.
A SA .
Действительно, что если A ложно, то A истинно, то есть этот элемент не лежит в SA , а лежит в SA . Также применимы следующие обозначения операций:
отрицание: , .NOT.; конъюнкция: «и», .AND.; дизъюнкция «или», .OR.
22
Теорема 1.2. Алгебра высказываний является булевой алгеброй, то есть для нее выполняются аксиомы этой алгебры.
Доказательство:
Для всех восьми групп аксиом роль элемента O играет абсолютно ложное высказывание , а роль элемента I – абсолютно истинное высказывание U. Доказывание может происходить двумя путями: механическим или из соответствия между высказываниями и множествами истинности.
23
Таблица истинности для логических связок , ,
A |
B |
A |
def |
B |
A B |
A B |
|
||||||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
и |
и |
|
и |
|
л |
и |
и |
л |
|
л |
|
и |
л |
л |
и |
|
и |
|
и |
л |
|
|
|
|
|
|
|
л |
л |
|
и |
|
л |
и |
|
|
|
|
|
|
|
24
A B – «следование» или импликация. Связь с обычным :
из лжи следует все, что угодно - и истина, и ложь.
Для истинного математического высказывания любое следствие истинно, если отсутствуют логические ошибки. Если посылки ложные, то, не делая математические ошибки, можно вывести любое утверждение.
Например, из того, что 0=1 можно вывести из любое высказывание.
A B – «разделительное или» (или «сложение по модулю два»). Связка истинна, если истинна хотя бы одна из бинарных переменных А или В.
A B – «эквиваленция». Связка истинна, если А и В одновременны истинны или ложны.
25
Алгебра высказываний и контактные схемы.
Схема называются эквивалентными, если при любом сочетании контактов они одновременно либо пропускают, либо не пропускают ток.
В1 = A1A2 (A3 A1 ) A2 = A1A2 A3A2 A1A2
В1 = A2 (A1 A1) A3A2 = A2 A3A2
В2 = A2 A3A2, т.е. В1 = В2
26