lec07 производная булевой функции

Пример 7.8. Смешанные производные (x1,x2,x3).

БФ (x1,x2,x3) = x1x2 1 3.

Выпишем все смешанные производные.

11

Производная БФ f по набору аргументов A={ 1, …, } называется функция:

12

Расширенное понятие дифференциала БФ для произвольной двуместной логической операции p.

Дифференциалом ∂f /∂xi – от БФ f по переменной xi для операции

р(a,b) называется логическое выражение:

= ( 1, 2, . . . , −1, 0, +1, . . . , ), ( 1, 2, . . . , −1, 1, +1, . . . , ) ,

13

Дифференциалом ∂f /∂xi – от БФ f по переменной xi для операции дизъюнкция (конъюнкция) называется логическое выражение:

14

Пример 7.9. (x1,x2,x3) = x1 x2 1 3

Найдем все дифференциалы (x1,x2,x3) для операции .

15

Пример 7.10. Разложение Шеннона БФ.

f (x,y,z) = ~x yz. Разложение f по переменной x.

f (x,y,z) = x f (1,y,z) f (0,y,z) = x·( ~1· yz) ·( ~0· yz) = ?

=x·( ~ yz) ·( ~0 yz) =

=x·( ~ yz) ·(y yz) =

Врезультате имеем следующие коэффициенты разложения f, зависящие лишь от y и z:

~ yz – коэффициент разложения функции f по переменной x при x. y yz – коэффициент разложения функции f по переменной x при .

17

Разложение Шеннона БФ по двум и k переменным.

Утверждение 7.2. (следствие утверждения 7.1) Разложение функции f по x1 при x2:

f(x1,x2,x3,...,xn) =

= x1 f(1,x2,x3,...,xn) 1 f (0,x2,x3,...,xn) = = x1[x2 f(1,1,x3,...,xn) 2 f (1,0,x3,...,xn)]1[f (0,1,x3,...,xn) 1 f (0,0,x3,...,xn)].

= x1x2 f(1,1,x3,...,xn) x1 2 f (1,0,x3,...,xn)1x2 f (0,1,x3,...,xn) 1 2 f (0,0,x3,...,xn).

Введем обозначение (также как в лекции 3).

σ , если σ = 1; = 1

, если σ = 0; = 0

00 = 1; 01 = 0; 10 = 0; 11 = 1.

18