Сжим_отобр2

Теорема 2. Пусть уравнение

имеет в области

решение a и пусть отображение

является сжимающим в

с коэффициентом . Тогда решение a единственно в

области и существует столь малая окрестность решения, что при выборе точки

из

этой окрестности все члены последовательность

, принадлежат

этой окрестности и справедлива оценка

(4)

Доказательство. Пусть

множество точек, удовлетворяющих неравенству

.

При достаточно малом

имеем

Выберем любую точку

. Тогда точка

принадлежит той же окрестности точки при

достаточно малом

. Действительно,

(

)

Итак, из

следует

. Аналогично из

следует

и т.д. .

Иначе говоря,

отображает

в себя. Из Теоремы 1 следует существование и

единственность решения.

Докажем теперь оценку (4) . При

она очевидна. Пусть она доказана при всех

.

Докажем (4) и при

(

)

Метод Ньютона

1)Одно уравнение

(5)

Пусть корень

неизвестен, но известна точка , принадлежащая малой окрестности корня.

Заменим функцию

в уравнении (5) ее линейным приближением. Получим

(6)

уравнения (5). В этом заключается идея метода Ньютона.

Из (6) получаем, если

⁄

(7)

Полученное таким образом значение

подставим вместо

в (7) для получения следующего

приближения к решению и т.д. . Получим последовательность

⁄

(8)

Применим к данной задаче теорию сжимающих отображений.

Обозначим

⁄

. Тогда уравнение (5) равносильно уравнению

, а корень

неподвижная точка отображения

.

Уравнение (8) записываем в виде

Осталось доказать, что отображение сжимающее,

если мы попали в достаточно малую окрестность решения. Пусть

непрерывна, тогда

⁄

Отсюда

. Поэтому в малой окрестности точки будет |

|

Тогда для любых

из этой окрестности по теореме Лагранжа имеем

|

| |

||

|

|

|

2.Система уравнений

{

(9)

В векторной записи

(

)

( )

(10)

Пусть

( )

решение, а вектор

( ) в малой окрестности вектора

Если

не вырожденная, то это уравнение можно решить относительно

(11)

Пусть

вектор-функция от векторного аргумента

Тогда уравнение (9) равносильно уравнению

. Строим последовательность

(12)

Можно доказать, что последовательность сходится, если норма матрицы

мала в

окрестности решения.

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)