Добавил:

BIV65 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. проф. М.А. Бонч-Бруевича

Предмет:

Помехоустойчивое кодирование в инфокоммуникационных системах

Файл:

лекции / KodRSLekciya7

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.06.2023

Размер:

1.17 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

Декодирование комбинаций кода Рида-Соломона							7.6
Комбинация, поступающая на вход декодера, представленная в виде многочлена
h(x) h	h x h x		2	... h	x	n 1
h(x) h	h x h x			... h	x
0	1	2		n 1

равна сумме h(х) = f(x) + е(х), где f(x) − разрешенная кодовая комбинация и е(х) −

многочлен ошибок, равный		e(x) e			e x e x		2	... e	x	n 1	,
		e(x) e			e x e x			... e	x
				0	1	2		n 1
где e	GF(2m). Очевидно, что h = c		+ e	(mod2). В декодере осуществляется
i		i i	i

умножение входного вектора {h} = { h0 h1 h2 ... h n−1} на проверочную матрицу HT, в результате чего, с учетом (4.2), получим

{h}НT = {f}НТ + {е}НТ ={е}НТ = { S0 S1 S2 ... S 2t-1}.

Таким образом, первым этапом декодирования является получение синдромов S0, S1, S2,..., S 2t−1, значения которых определяются выражениями:

S	0	e(1) e					e e			... e							,
S	0					0		1	2					n 1								,
S		e( ) e					e e				2	... e							n 1			,
											2								n 1
1						0		1		2							n 1
S		e(		2	)	e		e	2	e		(	2	)	2	... e								(	2	)	n 1	,
S	2	e(			)	e		e		e		(		)		... e							1	(		)		,
	2						0	1			2										n		1
............................................................
S			e(			2t 1	) e e				2t 1		e (					2t 1		)	2		... e						(	2t 1	)	n 1	.
S	2t 1		e(				) e e						e (							)			... e						(		)		.
	2t 1							0		1						2											n 1

e(x) e x

... e x

Многочлен t-кратной ошибки можно записать:

7.7

где коэффициенты ошибок

, e

,..., e

отличны от нуля и принадлежат полю

GF (2m). На первом этапе декодирования, в результате умножения вектора {h} или,

что то же самое, вектора ошибок {е} на

проверочную матрицу HT будут получены

синдромы

S j e j

Yi Xij

j 0, 1,

, r 1

(3.3)

i 1

где величины

указывают место расположения ошибок, их называют локаторами ошибок; а

величины

ei1

, Y

ei2 ,

, Y eit

представляют значения самих ошибок. Таким образом, для исправления t ошибок необходимо при декодировании найти значения t пар (Xi , Yi) путем решения системы из 2t уравнений (3.3), в которых известными величинами являются полученные ранее синдромы.

Как и в двоичных кодах БЧХ, будем считать, что многочлен локаторов ошибок

имеет вид: (z) (1 X1z)(1 X 2 z) ... (1 X t z),

Корнями которого будут

Z	X	1	, Z		X	1	,..., Z		X	1	,
		1		2		2		t		t
1

тогда ошибочные позиции Xi находят путем обращения элементов Zi в поле GF (2m).

7.8

Запишем общее выражение для синдрома:

) e

(

)

(

)

(

)

... e

(

)

Y X

... Y X

;

1, 2,..., 2t;

Y , X

GF (2

Тогда общая система из 2t уравнений Ньютона будет иметь вид:

S		e( ) Y X					1	Y X			2	...			Y X		t	;
1		e(				1	1			2	2					t	t			;
S		e(	2		) Y X			2	Y X				2		...	Y X			2	;
			2					2					2						2
	2					1		1		2			2			t			t
..........................................................																						.
S		e(		2t		) Y X			2t	Y X				2t		... Y X					2t	.
				2t					2t					2t							2t
	2t					1			1		2			2				t			t

(3.4)

1. Алгоритм декодирования Питерсона-Горинстейна-Цирлера.

Многочлен локаторов ошибок:

(z) 1

z2 ...

zt ,

где

z X

корни

(z).

(z ) ( X

1 ) 1

X 1

X 2 ...

Умножим последнее уравнение на Y X

j t

Y ( X j t

X j t 1

X j t 2

...

X j ) 0

i i

Просуммируем последние уравнения по i=1,2,…,t при фиксированном j и получим:

t
Yi ( Xij t	1 Xij t 1 2 Xij t 2		... t	Xij ) 0 или			7.9
i1
i1
t	t	t			t
Yi X ij t 1 Yi X ij t 1		2 Yi X ij t 2		... t Yi Xij 0.
i1	i1	i1			i1
	t
Но сумма	Yi X i j t l S j t l ,		l 0,1,..., t.
	i1
Поэтому для фиксированного j имеем :
S j t 1S j t 1 1S j t 1 ... 1S j t 1 0;					j 1, 2,..., t.	Получим систему уравнений:

t 1

... S

t 1

;

...

t 2

;

.................................................

2t 1

2t 2

...

;

или в матричном виде :

t 1

2t 1

2t 2

t 1

(3.5)

Если матрица синдромов не равна 0, то система уравнений (3.5) имеет 7.10

решение, т.е. по известным синдромам Sj	могут быть найдены коэффициенты
i многочлена локаторов ошибок (z)
Далее, применив процедуру Ченя, будут определены корни Zi многочлена
локаторов ошибок (z).
Затем производят обращение корней Zi как элементов поля GF(2m) и, тем
самым, определяют ошибочные позиции	1	.
	Xi Zi

Наконец, подставив значения ошибочных позиций Xi в уравнения (3.4), решают эту систему уравнений относительно неизвестных значений ошибок Yi или для определения значений ошибок Yi применяют формулу Форни

Исправление ошибки производится путем сложения (по модулю 2) элемента принятой комбинации hi с вычисленным значением ошибки Yi

Таким образом работает декодирование кода Рида-Соломона по алгоритму Питерсона-Горинстейна-Цирлера (ПГЦ).

2. Алгоритм Евклида	7.11

Достоинство алгоритма в том, что на последней итерации декодирования находятся одновременно и многочлен локаторов ошибок Λ(z) и многочлен значений ошибок Ω(z).

Ошибочные позиции в кодовой комбинации находятся из многочлена локаторов ошибок путем применения процедуры Ченя, а значения самих ошибок – по многочлену Ω(z) путем применения формулы Форни.

Напомним, как работает итерационный алгоритм Евклида.

ПРИМЕР
Код Рида-Соломона (n,k); n = 15,	t = 3,

GF(24), образующий многочлен поля P(x)= 1+x+x4.

Корни порождающего многочлена кода g(x):	,	2	,
		2

7.12

2t =6, dmin =2t +1

3	,	4	,	5	,	6

В результате обработки принятой комбинации получены следующие синдромы:

S		S		S	2	S		3	S		4
	0		1
	7		12		6		12			14

Многочлен локаторов ошибок:	(z)	0
		0

Декодирование – по алгоритму Евклида

S
	5
	14

z ...			z		z		t	(1 zX	)
z ...			z	t 1	z	t		(1 zX	)
				t 1		t
	1	t 1			t			i
							i 1

a(z) z2t ;

b(z) S (z) S

S z S

2 S

z3 S

z5 7 12 z 6 z2 12 z3 14 z4 14 z5 .

fi(z) a(z) + pi(z) b(z)=ri(z),

i≥1

Начальные условия:

(z) p (z) 1;

(z) p

(z) 0;

(z) a(z);

r (z) b(z).

Система

ri (z) ri 2 (z) qi (z)ri 1 (z);

ri 2 (z)

f (z) f

(z) q (z) f

q (z) частное дроби

уравнений:

i 2

i 1

(z); .

ri 1

(z)

pi (z) pi 2 (z) qi (z) pi 1 (z)

1. Необходимо решить ключевое уравнение :

7.13

(z) S (z) (z) по mod a(z) mod z2t

2.Начать итеративную (пошаговую) процедуру по алгоритму Евклида,

			t.
которая должна быть остановлена на шаге j , если deg rj		(z)
3. Принять, при этом, следующее : (z) g j (z);	(z) rj (z).

Проведем итеративную процедуру декодирования рассматриваемого кода Рида-Соломона по шагам, начиная с i=−1 :

7.14

i				-1		0												1

pi(z)=Λi(z)				p-1(z)=0		p0(z)=1		p1(z)=q1(z) p0(z)= εz+ε

r (z)=Ω (z)				r-1(z)=a(z)=z	6	r (z)=S(z)			r (z)			z			z			z			z
i			i	r-1(z)=a(z)=z		0				1	6		4	5		3	5		2	3		8
											6		4	5		3	5		2	3		8

q		(z)		-		-				qi(z)= εz+ε
	i


				i=2

			p2(z)= ε9z2+ε8z +ε11				(z) p 2 (z) =			ε9z2+ε8z +ε11

			r2(z)= ε2z+ε3 СТОП!				(z)	2	z		3
			r2(z)= ε2z+ε3 СТОП!				(z)		z
			q2(z)= ε8z+ε11

Производная по z от многочлена

(z)

равна: '(z) 8

7.15

Используя процедуру Ченя, находим корни многочлена локаторов ошибок

Корни многочлена	(z)		элементы поля					5		и	12
Корни многочлена

	Седовательно ошибочными будут обратные им :
	X		12	3	и X		5		10
	X	1			и X	2
		1				2

(z) :

Решая ключевое уравнение по формуле Форни при m0=1 находим знчения

ошибок:	(	im	)
e	(		)			(	i		)		(		12		)		12				3	1
							i						12			2	12				3
		m			e			1																		Y ;
i		m			e																					Y ;
i	'(	i	)																						7
m	'(		)	То есть:	i	'(		i				8							8				8			1
m
										)
					1			1		)
					1			1
						(		i		)	(				)
								i						5		2	5			3		4
								2																4			11	Y .
					e																			4			11
					e			i				8						8				8
					i	'(		i		)		8						8				8						2
					2	'(		2		)
					2			2

Следовательно, многочлен ошибок имеет вид:

e(x) X Y X Y					x			x .
				7		3	11	10
1	1	2	2

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке лекции

#
17.06.202369.33 Кб10DekoderivRida.pdf
#
17.06.20231.17 Mб14KodRSLekciya7.pdf
#
17.06.20233.04 Mб43kogn13up_tpk-1_cikl_kody (1).pdf
#
17.06.20231.25 Mб50kogn17up_ppk_p1_kody_ispr_osh.pdf
#
17.06.20232.71 Mб19kogn17up_tpk-3_rekurr_ldpc.pdf
#
17.06.2023876.52 Кб9kogn_motpk_lection_3.pdf
#
17.06.20232.49 Mб9kogn_motpk_lection_4.pdf