ЭАиТЧ_ПР6

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Федеральное государственное образовательное учреждение высшего образования

“Юго–Западный государственный университет”

Кафедра информационной безопасности

Лабораторная работа №6

По дисциплине «Элементы алгебры и теории чисел»

По теме «Различные системы вычетов по модулю»

Выполнил: студент группы ИБ-11б

Гребенникова А.И.

Проверил проф. Добрица В.П.

Курск 2023г.

Цель: изучить понятия системы вычетов и их различные виды, познакомиться с различными способами нахождения систем вычетов, освоить способы проверки набора чисел на соответствие определенной системе вычетов.

Ход работы:

Вариант 5

Задание 1. Заменить число а наименьшим по абсолютной величине, а также наименьшим положительным вычетом по модулю m. a = 85, m = 11;

Так как , то наименьший неотрицательный вычет числа 85 по модулю 11 есть 8. Абсолютно наименьший вычет найдём следующим образом: .

Задание 2. Записать полную систему наименьших неотрицательных и наименьших по абсолютной величине вычетов по модулю m=22.

Полная система наименьших по абсолютной величине по модулю m при чётном m имеет вид: . (И только такой? А при нечетном модуле какой вид имеет система наименьших по абсолютной величине вычетов?) Полная система наименьших по абсолютной величине по модулю m при нечётном m имеет вид: . (А на первую часть вопроса где ответ?)

Полная система наименьших неотрицательных вычетов по модулю m имеет вид:

Задание 3. Проверить, образуют ли числа (а1, а2,…, аn) полную систему вычетов по модулю m: (- 18, - 11, -4, 15, 22, 17), m=6;

Найдём остатки от деления чисел на 6:

(Это соответствует теореме деления с остатком?) Исправлено:

Остатки не повторяются, следовательно, эти числа лежат в разных классах вычетов по модулю 6. Так как количество этих чисел равно 6, то данная совокупность чисел образует полную систему вычетов по модулю 6. (Это точно?) Опечатка, по определению образует.

Задание 4. Проверить, образуют ли числа (а1, а2,…, аn) приведенную систему вычетов по модулю m: (13, - 13, 29, -9, -1, 2,-3, 28, 9, 10), m=11;

Приведённая система вычетов по модулю m — множество всех чисел полной системы вычетов по модулю m, взаимно простых с m. В качестве приведённой системы вычетов по модулю m обычно берутся взаимно простые с m числа от 1 до m — 1.

Вычислим функцию Эйлера от модуля. Функция Эйлера φ(a) – это количество чисел из ряда 0, 1, 2,..., a–1, взаимно простых с a. (По какой формуле она вычисляется?)

φ(11)=10. В заданной последовательности так же 10 элементов. Все числа в последовательности взаимно просты с числом 11 и содержатся в разных классах вычета по модулю 11. (Где проверка этого?) Проверка:

НОД(13,11)=1

НОД(-13,11)=1

НОД(29,11)=1

НОД(-9,11)=1

НОД(-1,11)=1

НОД(2,11)=1

НОД(-3,11)=1

НОД(28,11)=1

НОД(9,11)=1

НОД(10,11)=1

(Что на что надо делить?) Исправлено.

Некоторые числа содержатся в одном классе вычетов по модулю 11, потому что имеют одинаковый остаток от деления на 11, следовательно, данная совокупность чисел не образует приведённую систему вычетов по модулю 11.

Задание 5. Сколько элементов входит в приведенную систему вычетов по модулю m=12.

Из теории известно, что приведенная система вычетов по модулю содержится элементов. Вычислим значение функции Эйлера от модуля: . Отсюда получаем, что в приведённую системы вычетов по модулю 12 входит 4 элемента.