ОТСС / О. А. Козлова, Л. П. Козлова 'Основы теориии сложных систем' ОТСС СПбГУТ бонч методичка

Полученные уравнения можно представить в виде векторно-матрич- ного уравнения состояний:

Совместно с уравнением выхода

x1(n)

Y(n)=[10…0] ...x2 (n) . xq (n)

Вводя обозначения: X – вектор переменных состояния; А – матрица системы; В – матрица входа; С – матрица выхода, записываем векторноматричное уравнение дискретной системы в комплексной форме:

X n 1 A X n B U n , Y n C X n .

Можно получить выражения матриц A, B и С и в более общем случае, когда bq 1 и b0 bq 1 0[1].

4.4.2.Решение дискретного уравнения состояния

спомощью Z-преобразования

Рассмотрим дискретное уравнение состояния

X n 1 A X n B U n ,

где

Подвергнем обе части уравнения состояния Z-преобразованию

zX z zX 0 A* X z B* U z .

Отсюда

X z zI A* 1 zX 0 zI A* 1 B*u z .

61

При обратном Z-преобразовании получим

X n Z 1 zI A* 1 z X 0 Z 1 zI A* 1 B*u z .

Покажем, что обратное Z-преобразование от zI A* 1 есть дискрет-

ная переходная матрица состояния A kT .

Z-преобразование A kT определяется общей формулой Z-преобразо-

вания A(z) = A(kT )z k . Умножим обе части последнего уравнения на A*z 1

k0

ивычтем результат из последнего уравнения. Получим

I A*z 1 A z I ,

откуда

A z I A*z 1 1 zI A* 1 z .

Вычисляя обратное Z-преобразование, получим

A kT Z 1 zI A 1 z .

Это выражение и является основой способа определения переходной матрицы состояния, основанного на Z-преобразовании.

Второе слагаемое в выражении для X n вычисляем с помощью теоремы свертки и выражения для A kT

i 0

4.4.3. Полное переходное уравнение состояния

Полное уравнение состояния будет иметь вид

n 1

Xn A n X 0 A n i 1 B T u i .

i0

Переходной характеристикой полностью дискретной системы называется реакция дискретной системы на единичную дискретную ступенчатую функцию.

62

Графическое представление входного сигнала и математическое описание дискретной ступенчатой функции имеет вид

gи* n 1при n 0 , gи* n 0 при n 0 .

Z-преобразование дискретного входного сигнала

Z-преобразование переходной характеристики

где D(z) – дискретная передаточная функция дискретной системы.

Таким образом

h n Z 1 D z .

4.5. Связь спектров непрерывного и дискретного сигналов

Для выяснения соотношения между Z-преобразованием и непрерывным преобразованием Лапласа, а также соотношения частотных свойств дискретного и непрерывного сигналов рассмотрим связь спектров этих сигналов.

Спектр непрерывного сигнала x(t) определяется его преобразованием Фурье

X ( jω) x(t)e jωt dt ,

0

где 2 f – круговая частота сигнала, .

Чтобы найти выражение спектра дискретного сигнала, его надо предварительно представить в непрерывной форме с помощью -функций

x*(t) x(nT )δ(t nT ) x(t)U *(t) ,

где U * t – последовательность -функций, следующая с периодом T. Как периодическую функцию U * t можно разложить в ряд Фурье:

63

Powered by TCPDF (www.tcpdf.org)

Следовательно, все коэффициенты ряда Фурье равны независимо от значения k. Для всей суммы -функций

Общий вывод: спектр дискретного сигнала представляет бесконечную сумму (рис. 4.6) смещенных спектров непрерывного сигнала.

Рис. 4.6. Спектр дискретного сигнала

64

Это значит, что при определенной частоте квантования частотные характеристики дискретных систем будут представлять сумму смещенных частотных характеристик соответствующих непрерывных систем. Это также означает, что если максимальная частота спектра непрерывного сигнала (ωм) или максимальная частота пропускания непрерывной части системы (ωп) меньше половины частоты квантования ω0, то наложения отдельных составляющих спектра не будет, и характеристики дискретной системы в существенном диапазоне частот будут совпадать с характеристиками непрерывной системы.

Итак, для системы необходимо

ωп ω20 = Tπ , ωп Tπ .

Для неискаженной передачи непрерывного сигнала его дискретными значениями необходимо, чтобы максимальная частота спектра непрерыв-

ного сигнала ωм Tπ .

Последнее условие является стержнем знаменитой импульсной теоремы Котельникова-Шеннона, согласно которой частота квантования 0 2Tπ

должна быть по крайней мере в 2 раза больше максимальной частоты спектра непрерывного сигнала, передаваемого его дискретными значениями.

4.6.Связь между непрерывным преобразованием Лапласа

иZ-преобразованием

Из выражений непрерывных преобразований Лапласа и Фурье, приводимых ранее, следует, что F ( jω) F (s) s jω и F (s) F ( jω) jω s . Используем эти соотношения для преобразований дискретных сигналов и получим

F*(s) F*( jω) 1 F (s jkω ) .

jω s T 0

Если ввести замену esT z , получим связь непрерывного преобразования Лапласа и Z-преобразования

65

Символически эту связь записывают следующим образом:

F(z) Z F(s) при = 0 и F (z,σ) 1 F (s jkω )eTσ(s jkω0 ) ,

T 0 s lnTz

что означает F(z,σ) Zσ F(s) .

Записанные выражения связи F z , F z, , F s имеют главным образом теоретическое значение и не используются для практического определения F z и F z, по F s . Существуют два способа практического перехода от F s к F z и F z, .

1 способ

Предварительно определяется временная функция, соответствующая исходному изображению,

f (t) L 1 F (s) .

Чтобы облегчить переход в дискретную область, можно предварительно разложить F s на сумму простых слагаемых.

Пример.

Пусть F (s) 1 .

s2 (s 1)

Разложение на простые слагаемые дает:

66

Окончательно

4.7. Обратное преобразование Лапласа

Обратным преобразованием Лапласа L 1 F (s) называется определение временной функции f t , для которой прямое преобразование Лапласа

которой

Z f (nT ) F(z) или Zσ f [(n σ)T ] F(z,σ) .

Отметим ограничения, которые следует иметь в виду, выполняя обратное преобразование Лапласа или обратное Z-преобразование.

1.Не каждая функция F(s) имеет обратное преобразование. Существование обратного преобразования определяется необходимыми и достаточными условиями, накладываемыми на F(s).

2.Прямое преобразование Лапласа L f (t) единственно для каждой

f(t), имеющей такое преобразование. Обратное утверждение, в общем случае, несправедливо. Различные разрывные функции могут иметь одинаковое преобразование Лапласа. Например, единичная ступенчатая функция f t = 0 для t < 0 и f t = 1 для t > 0 имеет преобразование Лапласа 1/s

независимо от значения, принимаемого при t = 0.

3. Обратное Z- или Z -преобразование, если оно существует, позволяет определить лишь последовательность отдельных значений непрерывной функ- ции-оригинала, существующих в моменты времени t nT или t n T . Одной и той же последовательности дискретных значений f mT или

по обратному Z-преобразованию принципиально невозможно восстановить непрерывную функцию f t .

68

Существует два общих практических способа определения обратных преобразований как для непрерывных, так и для дискретных систем.

1.Использование таблиц обратных преобразований Лапласа и обратных Z-преобразований, например в [2]. Если исходного F(s) и F(z) изображения нет в таблице, следует использовать разложение его на сумму или произведение изображений, имеющихся в таблице.

2.Использование формулы обращения.

Для непрерывного изображения

Значение контурного интеграла определяется в открытом интервале, где f(t) ограничена и имеет конечное число точек экстремума и разрыва. Решение часто удается получить при помощи теоремы о вычетах:

Вычисление интеграла обращения как суммы вычетов широко используется в различных программных продуктах, используемых при компьютерном моделировании систем автоматического управления.

Для дискретного изображения формула обращения имеет вид:

f (n,σ) 1 F (z,σ)zn 1dz.

2πj R

Контур интегрирования R должен охватывать начало координат плоскости Z и все особые точки подынтегральной функции. Как и в непрерывном случае, круговой интеграл обычно рассчитывается как сумма вычетов подынтегральной функции в особых точках:

N

f n, Re si F z, zn 1 ,

i 1

где N – число вычетов; N = q + 1 для n = q для n > 0, где q – число особых точек функции F z, .

Вычеты вычисляются следующим образом:

– для простого полюса z zi

69

– для кратного полюса кратности m

по степеням z 1 может быть выполнено простым делением числителя на знаменатель.

где b0, ,bk , ,bp – коэффициенты числителя F z, a0, ,ai , ,aq – коэффициенты знаменателя F z, . При q = p формулы значительно упрощаются

Аналогично преобразованию дифференциального уравнения непрерывной системы осуществляется Z-преобразование разностного уравнения дискретной системы.

Пусть дискретная система описывается уравнением

a0 n y(n,σ) a1 n 1y(n,σ) ... an y(n,σ)

b0 m g(n) b1 m 1g(n) ... bm g(n) c0 e f (n)

c1 e 1 f (n) ... ce f (n).

Подвергнем это разностное уравнение Z-преобразованию, принимая начальные условия нулевыми:

70