2. Научная и общественная деятельность

Колмогорову удалось достичь фантастических результатов в геометрии, топологии, механике и в ряде областей математики. Кроме этого, он является автором новаторских трудов по истории, философии, методологии и статистической физике.

Научная, педагогическая, организаторская деятельность Андрея Николаевича Колмогорова отличается необыкновенной широтой и разнообразием — фундаментальные работы практически во всех областях математики и классической механики, прикладные работы (в геологии, металлургии, биологии, генетике, теории стрельбы), работы по истории, статистике текста и теории стиха, работы по основаниям и методологии математики, школьное и высшее образование. Нельзя не упомянуть и о том поразительном воспитательном эффекте, который испытывал на себе каждый, соприкасавшийся с Андреем Николаевичем. Поражала его необычайная щедрость, с которой он делился своими идеями и знаниями, гражданственность его позиций в понимании роли ученого своей страны. Удивляла его исключительная общечеловеческая культура, знание литературы, поэзии, музыки, истории, архитектуры. Он, как это часто и многими отмечалось, имел знания и мнения, пожалуй, обо всем.

О творчестве А. Н. Колмогорова создан ряд мемориальных публикаций. В 1989 году вышли выпуски журналов «Теория вероятностей и ее применения», «Annals of Probability» («Летописи теории вероятности»), посвященные работам Колмогорова в теории вероятностей. Королевское Общество Великобритании и Лондонское математическое общество создали совместно специальное издание, составленное примерно из пятнадцати статей, написанных, в основном, английскими авторами, посвященное А. Н. Колмогорову. В дополнение к уже готовым в 1985–87 гг. трем томам избранных трудов А. Н. Колмогорова на том момент была начата работа над четвертым и пятым томами, о содержании которых можно судить по их названиям; «Математические методы в гуманитарных науках» и «Избранные труды по истории и методологии математики». [9]

В целях осуществления мероприятий по выявлению и собиранию документального наследия, пропаганды творчества и увековечения памяти А. Н. Колмогорова бюро Отделения математики АН СССР 14 марта 1988 г. приняло Постановление о создании «Комиссии по научному наследию академика А. Н. Колмогорова». Комиссия обращается к отдельным лицам и организациям с просьбой о предоставлении в ее распоряжение оригиналов или копий материалов (воспоминания, письма, рукописи), связанных с жизнью, творчеством, личностью А. Н. Колмогорова.

Научный старт Колмогорова был стремительным. В своей первой работе, написанной в восемнадцатилетнем возрасте в 1921 году (но опубликованной в 1928 г.), Колмогоров заложил начала общей теории специальных операций над множествами. Эта работа и поныне находится в ряду наиболее значительных достижений в этой области. А летом 1922 года Колмогоров получает один из самых замечательных результатов своей жизни: он строит почти всюду расходящийся ряд Фурье. Этот результат, сделавший его имя известным всему математическому миру, и поныне является одним из крупнейших достижений в теории функций. Его работа двадцатых годов о принципе исключенного третьего входит в число самых фундаментальных работ по математической логике ((«третьего не дано») — закон классической логики, который формулируется следующим образом: два противоречащих суждения не могут быть одновременно ложными, одно из них необходимо истинно: а есть либо b, либо не b.)

Начиная с 1924 года, на протяжении последующих сорока лет Колмогоров работает в теории вероятностей. Он завоевал положение безусловного лидера в этой науке. Его книга «Основные понятия теории вероятностей» (написанная им в возрасте тридцати лет) вошла в золотой фонд этой науки наряду с классическими мемуарами Я.Бернулли и Лапласа. В этой книге, в частности, была построена общепринятая ныне аксиоматика теории вероятностей. В конце двадцатых годов Колмогоров строит общую теорию интеграла и меры множеств в евклидовых пространствах. В тридцатые годы он создает теорию марковских случайных процессов, завершая усилия Эйнштейна, Планка, Смолуховского и Винера, доказывает основополагающий результат по математической статистике (о скорости сходимости эмпирической функции распределения к истинной), дает аксиоматическое построение многообразий постоянной кривизны

Колмогоровым в 1956 году была доказана замечательная теорема из классической теории вероятностей о безгранично-делимых распределениях. Построение Колмогоровым нового инварианта в теории динамических систем вызвало бурный рост в теории информации, теории приближений, функциональном анализе. Наконец, он ввел важнейшее понятие, получившее название «колмогоровской сложности». (В алгоритмической теории информации колмогоровская сложность¹ объекта (такого, как текст) есть мера вычислительных ресурсов, необходимых для точного определения этого объекта. Колмогоровская сложность также известна как описательная сложность, сложность Колмогорова — Хайтина, стохастическая сложность, алгоритмическая энтропия² или алгоритмическая сложность.Выражает возможность фрактального описания.)

Колмогоров в те годы вел очень активную общественную жизнь. Он заведовал кафедрой теории вероятностей на механико-математическом факультете МГУ (которую создал в 1935 году) и отделом теории вероятностей в Математическом институте им. В. А. Стеклова, руководил отделом математики в Большой Советской Энциклопедии (и много писал для энциклопедии; в частности, в те годы им были написаны основополагающая статья «Математика» и статья «Кибернетика», сыгравшая большую роль в становлении этого нового направления науки); с 1954 по 1958 годы он был деканом механико-математического факультета.

У Колмогорова было (в одной лишь математике) около двадцати таких научных направлений, где он выступил как первооткрыватель или классик. А кроме математики он внес значительный вклад во многие другие как смежные, так и далекие от математики области знаний: физику, биологию, геологию, океанологию, метеорологию, кристаллографию, а также в некоторые гуманитарные области (историю России, стиховедение, историю науки).

Колмогоров заложил новые направления и в теории информации. Ему принадлежит существенный вклад не только в формирование ее как строгой математической науки, но и построение оснований теории информации на ином, отличном от предложенного Клодом Элвудом Шенноном, фундаменте.

Одним из последних по времени достижений Андрея Николаевича было создание общей теории сложности конструктивных объектов, сформировавшейся ныне в отдельную главу современной математики. Формализация интуитивного представления о сложности объекта и легла в основу предложенного им алгоритмического построения оснований теории информации. Она позволяет изложить на новом языке основные законы теории вероятностей и даже дать строгое математическое определение индивидуального случайного объекта [3].

Колмогоров получил широчайшее международное признание (по числу академий, избравших его иностранным членом, и университетов, избравших его почетным профессором, он уступает из наших ученых лишь И.П.Павлову и П.Л.Капице). Андрей Николаевич был создателем огромной научной школы (тринадцать его прямых учеников стали членами Российской академии наук). Он очень много сделал не только для науки, но и для математического просвещения. Им был создан знаменитый 18-й физико-математический интернат, носящий сейчас его имя; он был одним из основателей журнала «Квант». [4]