Теорема Гаусса для электрического поля
.pdf11
E -
, -
, -
, :
1) ,
-
; 2) (1.7 )
E ,
; 3)
(1.8) ,
.
1.3 .
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
, . a , |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a a dS |
a dS. |
||||||
|
|
|
|
||||
adS adS cos - |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a dS : |
dS dS n , |
n - (| n |=1) |
dS ( . 1.11; . n
: ,
, dS , ). -
dS ,
|
|
|
|
|
|
a S, . a |
adS . - |
||||
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
adS an dS , |
, adS adS cos adS |
adS cos an |
||||
n – |
|
|
|||
a |
|||||
|
|
, : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
an a cos an |
|
|
|
|
|
|
a an dS . |
|
||
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|||
E - |
|||||
S ( .1.12) |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E EdS E dS cos En dS |
, |
(1.9) |
||
|
S |
S |
S |
|
|
12
|
|
|
— E |
n ; En — |
E |
( ) dS,
dS — .
(1.9) ,
, -
S . -
dS ( ,
|
|
). ( = const), - |
|
S ( = const) ( . 1.13), |
|
E E dS cos E cos dS E S cos . |
|
S |
S |
. -
Q
, , -
r, Q. -
|
|
|
|
|
( . 1.14). E - |
||||
|
||||
E |
En dS EdS cos . (1.10) |
|||
|
S |
S |
|
|
|
|
|
|
|
E |
||||
|
0 |
( =0 |
0 |
, cos =1) - |
n 0 |
|
|||
(1.10) : |
||||
E E dS cos 00 |
E dS. (1.11) |
|||
|
S |
|
|
S |
E -
, -
Q r -
(1.7):
13
E
Q
4 0 r 2
Q , (1.7) ,
E
(1.11) , .
E E dS E S , |
|
|
(1.12) |
|||||
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
S=4 r2 . |
|
|
(1.13) |
||||
(1.2) (1.7) (1.13) : |
|
|||||||
|
Q |
|
|
4 r2 |
Q |
. |
(1.14) |
|
4 0 r2 |
|
|||||||
E |
|
0 |
|
|||||
(1.10) (1.14) : |
|
|||||||
En dS |
Q |
. |
|
|
(1.15) |
|||
|
|
|
||||||
S |
|
0 |
|
|
|
|
, (1.15) -
(
) , . -
(1.15)
|
N |
|
|
E En dS |
Qi |
|
|
i 1 |
. |
. (1.16) |
|
|
|||
S |
0 |
|
(1-16) - : -
-
-
-
, 0 .
, S,
. 1.15,
:
|
Q |
| Q | |
|
|
E dS |
3 |
2 |
|
. |
|
0 |
|||
|
|
|
14
: -
-
E . -
(1.16) (1.7) (1.8).
1.4
1.4.1
, -
( . , -
), ( )
-
.
, -
- , : |
|
|||||
|
|
dQ |
|
, |
(1.17) |
|
dS |
||||||
|
|
|
|
dQ — , dS. -
[ ] = 2.
-
( . 1.16 ; 1.16 – 1.16 );
: >0.
,
, . , -
, -
, E
. ,
15
( E1 E2 E ). -
, , S,
.
(1.16) E :
E EdS cos |
Qi |
. |
(1.18) |
|
0 |
||||
S |
|
|
S S
. (1.18) . 1.16
(1.19):
E dS cos |
|
E dS cos 900 2 |
E dS cos 00 2E dS 2ES , |
S |
S |
S |
|
E — .
, ,
, -
( ). (1.17):
Qi S , |
(1.20) |
(1.18) (1.19) (1.20)
2E S |
|
S |
, |
|
|||||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|||
|
E |
|
|
|
. |
(1.21) |
|||
2 0 |
|||||||||
|
|
|
|
. 1.16
(1.21). , -
(1.21) ,
. , (1.21) -
, E .
(1.21)
-
.
. 1.17 -
,
-
16
.
1.4.2
-
+ - ( . 1.18), . | + | = |- | = .
, (1.21).
, ,
(1.8).
( . 1.18),
E E E . 2 0 2 0 0
.
E |
|
. |
(1.22) |
|
|||
|
0 |
|
, , -
, -
:
E E E 0.
2 0 2 0 |
|
|
. |
=0. |
(1.23) |
, -
. -
, . ( . 1.9.).
(1.22, 1.23)
,
17
( , ).
-
.
1.4.3
-
( ), -
- -
,
|
dQ |
, |
(1.24) |
|
d
dQ — , , d . [ ]= .
R, -
( . 1.20 ; . 1.20 – 1.20 ; . 1.20 -
« » 1.20 ).
, -
, -
,
r .
r h, (
; . 1.20).
E dS cos |
Qi |
, |
(1.25) |
|
0 |
||||
S |
|
|
18
-
:
E dS cos |
E dS cos 0o 2 E dS cos 90o |
|
|
S |
S |
S |
|
E |
dS E S |
E 2 r h, , |
(1.26) |
S |
|
|
|
S = 2 rh —
r R , ,
(1.24) :
Qi h , |
(1.27) |
— .
(1.25) (1.26) (1.27) :
E 2 r h h ,
|
|
0 |
|
E |
|
| r R . |
(1.28) |
2 0 r |
r < R
, Qi 0 , :
0 r R |
. |
(1.29) |
|
|
|
, -
, -
. 1.21). -
.
1.4.4
,
R . , -
E ,
r ( r ) .
. 1.22 .
-
r>R ( . 1.22).
r:
19
E dS cos 0 E ds E S E 4 r 2 , |
(1.30) |
|
S |
S |
|
S =4 r2 – . r>R -
r Q R,
|
Qi Q, (1.25) - |
|||||||||||
|
|
(1.30) : |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
E 4 r 2 |
Q |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
||
|
|
|
E |
|
Q |
|
|
| r R |
, |
(1.31) |
||
|
|
|
4 0 r |
2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
||||||||||
|
|
r<R : |
||||||||||
|
|
|
|
|
Qi 0. |
|
||||||
|
|
: |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
E dS 0 |
0 |
r R. |
. |
(1.32) |
S
(1.31) (1.7) ,
Q,
, .
1.5 .
, -
Q1; Q2 1 2 ( . 1.23). Q2 , -
(1.3):
F |
Q1Q2 |
, |
(1.33) |
4 0 r 2 |
r – .
.
, , -
Q1, Q2
|
(1.34) |
dA Fd Fd cos |
d - Q2. (1.34) (1.33)
: