ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
ЛЕКЦИЯ № 6
Содержание: Линейные операторы
Собственные числа и собственные векторы квадрвтной матрицы Квадратичные формы
Линейные операторы
Пусть X и Y – некоторые множества. Если задано правило, по которому каждому вектору x Х ставится в соответствие вектор y Y, то говорят, что задан оператор (преобразование, отображение) F (x) ,
действующий из X в Y и записывают F : X Y или y F(x) . Пусть X и Y – линейные векторные пространства. Оператор называют линейным, если:
а) для a Х и b Х выполняется условие F(a b) F(a) F(b) ; б) для x Х и R выполняется условие F( x) F(x) .
Примеры.
1. Пусть X = Rn и Y= Rn ; F : y 3x. Выяснить, является ли оператор F линейным.
Решение. Проверим условие а). Пусть a и b произвольные векторы из пространства Rn , тогда F(a b) 3 (a b) 3 a 3 b F(a) F(b) , т.е. свойство а) выполняется.
Проверим выполнение условия б). Пусть x Rn , - любое число, тогда F( x) 3 ( x) (3x) F(x) , т.е. б) выполняется.
Следовательно, F - линейный оператор.
|
c |
|
|
|
|
1 |
|
|
c2 |
|
|
|
c |
... |
|
|
|
|
|
2. F : y x c , где |
|
|
|
cn |
- постоянный вектор, не равный нулевому. |
Выяснить, является ли оператор F линейным.
Решение. Проверим условие а). F (a b) a b c.
F(a) F(b) a c b c; F(a b) F(a) F(b) . Следовательно, F не является линейным оператором.
3. X= Rn ; Y= Rm ; F : y Ax , где A - матрица размера m n . Выяснить, ли оператор F линейным.
Решение. Проверим условие а) F(a b) A(a b) Aa Ab F(a) т.е. свойство а) выполняется.
является
F(b) ,
Проверим условие б) F( x) A ( x) Ax F(x) , т.е. свойство б) выполняется. Следовательно F - линейный оператор.
Замечание. Любой линейный оператор, отображающий Rn в Rm , можно представить в виде y Ax , где A - матрица размера m n .
1
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Пример. Пусть X=R3, Y=R2. F(x1, x2 , x3)=(3x1+ x3, 2x2–x1).
Исследовать оператор на линейность. Построить матрицу линейного оператора.
Решение. Пусть a (a1 ,a2 ,a3 ) R3 , |
b (b1 ,b2 ,b3 ) R3 , λ–некоторое |
||
число. |
|
|
|
Тогда |
|
|
|
1. Аддитивность |
|
|
|
F (a b) F (a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 ) |
|
|
|
(3 (a1 b1 ) (a3 |
b3 ),2 (a2 b2 ) (a1 |
b1 )) |
|
((3a1 a3 ) (3b1 |
b3 ),(2a2 a1 ) (2b2 |
b1 )) |
(3a1 a3 ,2a2 a1 ) (3b1 b3 ,2b2 b1 ) F (a) F (b)
2.Однородность
F( a) (3 a1 a3 ,2 a2 a1 ) F(a)
Покажем, что матрица линейного оператора имеет вид:
|
3 |
0 |
1 |
|
A |
|
|
|
|
|
1 |
2 |
0 |
|
|
. |
3 0 |
1 |
|
x1 |
|
|
3x1 x3 |
|
||||
|
|
x |
|
|
|
|
|||||
Ax |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||
|
1 2 |
0 |
|
|
|
|
x1 2x2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Действительно: |
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
Собственные числа и собственные векторы квадратной матрицы
Пусть A - квадратная матрица. Рассмотрим уравнение вида
|
x |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
X |
... |
|
|
|
|
|
|
|
AX X , где |
x |
|
- неизвестный вектор, - заданное число. |
|
|
n |
|
Произведём элементарные преобразования.
AX EX 0 ; |
(A E) X 0 . |
Равносильная система |
(A E) X 0 является однородной. В случае, |
если матрица системы ( A E) невырожденная, система имеет единственное
нулевое решение. В противном случае, если определитель A E 0 , система имеет ненулевые решения.
Уравнение A E 0 называется характеристическим.
Значения , являющиеся корнями характеристического уравнения, называются собственными числами матрицы A .
Ненулевые решения уравнения AX X ( - собственное число матрицы), называются собственными векторами матрицы A , соответствующими собственному числу .
2
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Пример. Найти собственные числа и собственные векторы матрицы
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Составим характеристическое уравнение |
|
A E |
|
0 . |
|||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||
|
3 |
2 |
|
1 |
0 |
|
0; |
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0; |
|
|
|
|
|
|
2 |
||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
(3 )(2 ) |
|||||||
|
|
2 |
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
0; 5 4 0; |
||||||||||
Матрица A имеет два собственных числа 1 |
1; 2 |
4. |
|||||||||||||||||||
Для собственного числа |
1 1уравнение AX X примет вид |
||||||||||||||||||||
3 |
2 |
x1 |
x1 |
|
|
3x1 2x2 x1 |
|
2x1 2x2 0 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x 2x x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1 |
2 |
x |
|
x |
|
|
|
x x 0 |
. |
||||||||||||
|
|
|
2 |
2 |
|
1 |
2 |
|
2 |
|
1 |
2 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
x2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Общее решение системы x2 любое _ число. Частное решение |
|||||||||||||||||||||
x1 1; x2 |
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ненулевой собственный вектор |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
1 . |
|
|
|
|
|||||||||||||||
Аналогично можно найти собственный вектор, соответствующий числу |
|||||||||||||||||||||
2 4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Квадратичные формы |
|
||||||||||
Рассмотрим отображение из Rn |
в R1 , задаваемое по правилу |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f : y aij xi x j |
, где |
aij - действительные числа, i 1,..., n; j 1,..., n. |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
i 1 |
j 1 |
|
|
|
|||||||||||||
Такое отображение называется квадратичной формой. |
|||||||||||||||||||||
Примеры. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1. f : R1 R1 ; |
|
f (x) 5x2 ; |
a11 5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2. f : R2 R1; |
f (x) 5x12 2x1x2 3x1x2 4x22 ; |
a11 5;a12 2;a21 3;a22 4. |
Заметим, что такой способ задания квадратичной формы не является единственным. Тот же самый оператор можно представить в других видах.
f (x) 5x12 x1x2 4x22 ;
f (x) 5x12 3x1x2 4x2 x1 4x22 и т.д.
Запишем квадратичную форму таким образом, чтобы коэффициенты перед
x1x2 и |
x2 x1 совпадали: |
|
|
|
|
|
|
|
f (x) 5x 2 |
0.5x x |
0.5x x |
4x 2. |
|||
|
1 |
1 |
2 |
|
2 |
1 |
2 |
Такая запись квадратичной формы является симметричной. |
|||||||
Квадратичная форма, коэффициенты которой удовлетворяют условиям |
|||||||
aij aji |
,i 1,..., n; j 1,..., n;i j, |
называется симметричной. |
|||||
|
|
|
|
|
3
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Любую квадратичную форму можно единственным способом представить как симметричную.
Матричная запись квадратичной формы.
|
a11 |
a12 |
... |
a1n |
x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a21 |
a22 |
... |
a2 n |
x2 |
|
|
|
A ... |
... |
... |
... |
x |
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
an 2 |
|
|
|
|
|
Введём обозначения |
an1 |
... |
ann ; |
xn |
. |
Покажем, что в матричной записи квадратичная форма имеет вид f (x) xТ Ax .
|
|
|
|
|
a11 |
a12 ... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a21 |
a22 ... |
|
|
|
|
|
... ... ... |
|
|
|
|
|
|
|
|
xТ Ax x |
x |
2 |
... x |
n |
an1 |
an 2 ... |
1 |
|
|
|
|
a1n x1 |
|
|
|
|
|
a2 n x2 |
|
|
... |
... |
|
|
|
|
|
|
|
ann xn |
= |
|
|
|
|
|
|
a11 x1 |
a12 x2 |
... a1n xn |
x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a21 x1 |
a22 x2 |
... a2n xn x2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
.................................. ... |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
x |
x |
2 |
... x |
n |
an1 x1 |
an 2 x2 |
... ann xn |
xn |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
||||
|
n |
|
|
n |
|
|
n |
|
n |
n |
|
|
|
x1 a1 j x j |
x2 a2 j x j ... xn anj x j |
aij xi |
x j |
. |
|||||||||
|
j 1 |
|
|
j 1 |
|
j 1 |
i 1 j 1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
Будем считать в дальнейшем, что матрица квадратичной формы является симметричной.
Пример. Записать квадратичную форму матричном виде с симметричной матрицей.
Решение.
f (x) 3x12 2x1x2 3x2 x1 x22 в
3x 2 |
2x x |
3x |
x x |
2 3x 2 |
x x |
x 2 |
3x 2 |
0.5x x 0.5x x |
x 2 |
||||||||
1 |
|
1 |
2 |
2 |
1 |
2 |
1 |
1 |
2 |
|
2 |
1 |
1 |
2 |
2 |
1 |
2 |
|
|
3 |
|
0.5 |
|
f (x) x1 |
|
x2 |
|
3 |
0.5 |
x1 |
|
|
|
||
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.5 |
1 |
|
|
|
|
|
|
0.5 |
1 |
; |
|
|
|
|
|
|
x2 |
. |
|
|
Квадратичные формы применяют при исследованиях функций многих переменных на экстремум. При этом важную роль играют так называемые положительно определённые и отрицательно определённые квадратичные формы.
Квадратичная форма f (x) xТ Ax называется:
-положительно определённой, если для любого ненулевого
вектора x выполняется условие f (x) 0 ;
-отрицательно определённой, если для любого ненулевого
вектора x выполняется условие f (x) 0 .
Теорема 1.
4
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Для того, чтобы квадратичная форма была положительно (отрицательно) определённой, необходимо и достаточно, чтобы все её собственные числа были положительными (отрицательными).
Теорема 2 (критерий Сильвестра).
Квадратичная форма f (x) xТ Ax положительно определена тогда и только тогда, когда все главные миноры матрицы A положительны.
Квадратичная форма f (x) xТ Ax отрицательно определена тогда и только тогда, когда все главные миноры матрицы A нечётного порядка отрицательны, а чётного порядка положительны.
Главным минором k - го порядка называют определитель, |
|
||||||||||||||||||||
составленный из элементов k |
первых строк и k |
первых столбцов матрицы. |
|||||||||||||||||||
Примеры. Исследовать квадратичную форму на |
|
||||||||||||||||||||
знакоопределённость. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1. f (x) x12 2x22 x32 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
0 |
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 0 |
1 |
|
; Собственные числа матрицы |
1 0; 2 0; 1 0. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
|||||||||||||
Форма положительно определена. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
2. f (x) x12 2x1x2 4x22 x32 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
1 |
|
1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
1 |
|
4 |
|
0 |
|
|
|
|
M 2 |
|
1 1 |
|
|
3 |
0 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
0 |
|
0 1 ; |
M1 1 0 ; |
|
|
|
1 |
4 |
|
|
|
; |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
1 |
1 |
|
0 |
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
M3 |
1 |
|
4 |
0 |
|
3 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
0 |
|
0 |
|
1 |
|
|
1 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; Форма отрицательно определена. |
||||||||||
3. f (x) x12 3x1x2 x22 . |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
1 |
|
1.5 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1.5 |
|
|
|
|
|||||
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
2.25 1.25 0 |
|
|
|
1.5 |
|
1 |
|
M1 |
1 0 |
|
|
1.5 |
1 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
; |
; |
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Форма не является ни положительно, ни отрицательно определённой.
5