ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
ЛЕКЦИЯ № 4
Содержание:
Системы линейных уравнений Матричная форма записи системы линейных уравнений
Условия совместности системы линейных уравнений
Системы n линейных уравнений с n неизвестными, формулы Крамера
Собственные числа и собственные векторы квадратной матрицы
Системы линейных уравнений
Общие понятия.
Система m линейных уравнений с n неизвестными имеет вид
a11x1 |
a12x2 |
... a1n xn |
b1 |
|
|||
|
|
a22x2 |
... a2n xn |
b2 |
|
||
a21x1 |
|
||||||
............................................ |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
x a |
x |
... a |
x |
b |
(1) |
|
m1 |
1 |
|
m2 2 |
mn |
n |
m |
|
Здесь aij |
и bi (i 1,2,..., m; j 1,2,..., n) |
- числа, называемые соответственно |
коэффициентами при неизвестных и свободными коэффициентами. Решением системы уравнений называется совокупность из n чисел, при
подстановке которых вместо неизвестных x1, x2 ,..., xn все уравнения превращаются в тождества.
Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение и несовместной в противном случае.
Решить систему – значит найти все ее решения или доказать, что решения
нет.
Примеры.
|
2x1 x2 |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
1) |
2x1 |
x2 |
15 |
- система несовместна |
|
2x1 |
x2 |
10 |
|
|
|
|
|
|
2) |
x1 x2 |
20 |
- система совместна и имеет единственное решение - |
x1 10, x2 10
2x1 x2 10
3)4x1 2x2 20 - система совместна и имеет бесчисленное множество
решений.
Две системы называются равносильными или эквивалентными, если множества их решений совпадают.
Матричная форма записи системы линейных уравнений
1
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
|
a |
a |
... |
a |
|
a |
a |
... |
a |
b |
|
b |
|
x |
|
||
|
11 |
12 |
|
|
1n |
11 |
12 |
|
1n 1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
||
|
a21 |
a22 |
... |
a2n |
a21 |
a22 |
... |
a2n b2 |
|
b2 |
|
x2 |
|
||||
|
A ... ... |
... |
... |
A1 ... ... |
... |
... |
... |
B ... |
|
X |
... |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Обозначим |
a |
a |
... |
a |
|
|
a |
a |
... |
a |
b |
|
b |
|
x |
|
|
m1 |
m2 |
|
|
mn ; |
m1 |
m2 |
|
mn |
m ; |
m |
; |
|
n |
. |
Матрицу A называют матрицей коэффициентов при неизвестных или матрицей системы.
Матрицу A1 называют расширенной матрицей системы, она содержит всю информацию о системе линейных уравнений.
Вектор B - это вектор свободных коэффициентов, а вектор X - вектор неизвестных.
Найдем произведение A X .
a |
a |
... |
a |
x |
|
|
a x |
a |
x |
... a |
x |
|
b |
|
||
11 |
12 |
|
1n |
|
1 |
|
|
11 1 |
12 2 |
1n n |
|
1 |
|
|||
a21 |
a22 |
... |
a2n x2 |
a21x1 a22x2 |
... a2n xn |
b2 |
|
|||||||||
AX ... ... |
... |
... |
... |
|
....................................... |
... |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
a |
... |
a |
x |
n |
|
a x |
a |
x |
... a |
x |
|
b |
|
||
m1 |
m2 |
|
mn |
|
|
= |
m1 1 |
m2 2 |
|
mn n |
= m |
= B |
В результате получим
A X = B . (2)
Уравнение (2) называют системой линейных уравнений в матричной форме.
Условия совместности систем линейных уравнений
Теорема Кронекера-Капелли.
Если r( A) r( A1 ) , то система (1) несовместна.
Если r( A) r( A1 ) , то система (1) совместна, при этом
а) если r( A) n ( n -число неизвестных), то решение единственное;
б) если r( A) n , то решений бесчисленное множество.
Пример. Выяснить условия совместности системы, не решая её, если
1 |
0 |
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
3 |
1 1 ; B |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
1 |
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|
|
2 |
1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A1 |
3 |
1 |
|
1 |
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Составим расширенную матрицу |
|
2 |
1 |
|
|
2 |
3 |
. |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Вычислим r( A1) с помощью элементарных преобразований. |
|
|||||||||||||||||||||||
1 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2 |
|
1 |
|
|
|
1 0 |
2 |
|
|
1 0 |
2 |
1 |
|
1 0 2 |
1 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r 3 1 |
1 |
|
2 |
( 1) |
r |
3 1 |
1 |
|
2 |
r 0 1 |
0 |
0 |
r |
0 1 0 |
0 |
3 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 1 |
2 |
|
3 |
|
|
|
|
1 0 |
3 |
|
1 |
|
|
1 0 |
3 |
1 |
|
|
|
0 0 5 |
2 |
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ. Система имеет единственное решение, т.к. r( A) r( A1) n
2
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Применим теорему Кронекера-Капелли для решения так называемой однородной системы линейных уравнений.
Система линейных уравнений называется однородной, если все её свободные коэффициенты равны нулю. В этом случае ранг расширенной матрицы равен рангу матрицы системы, т.к. добавление нулевого столбца не меняет ранга матрицы. Поэтому однородная система всегда имеет решение
x1 0; x2 0;...; xn 0 . Нулевое решение единственное, если матрица системы невырожденная, в противном случае однородная система имеет бесчисленное множество решений.
|
|
|
|
Системы n |
линейных уравнений с n неизвестными, формулы |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Крамера |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если в системе уравнений число уравнений совпадает с числом |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
неизвестных, то матрица A является квадратной. Её определитель |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
a11 |
a12 |
... |
a1n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
a21 |
a22 |
... |
a2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
... ... ... ... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
an1 |
an 2 |
... |
ann |
|
называют определителем системы. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
Составим ещё n определителей, заменяя каждый раз в определителе |
|||||||||||||||||||||||||
соответствующий столбец столбцом свободных коэффициентов. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
a11 |
a12 |
|
... |
|
a1n |
|
|
|
a |
|
b ... |
a |
|
|
|
a |
|
a ... |
b |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
2 |
|
1n |
|
|
|
11 |
|
12 |
|
1 |
|
|
||
1 |
|
|
|
a21 |
a22 |
|
... |
a2 n |
|
|
|
a |
|
b ... |
a |
|
|
|
|
a |
|
a |
|
... |
b |
|
|
||
|
|
... ... ... ... |
|
|
2 |
|
21 |
2 |
|
2n |
|
|
n |
|
21 |
|
22 |
|
2 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
... ... ... ... |
|
|
|
... ... ... ... |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
an1 |
an 2 |
|
... |
|
ann |
|
; |
|
an1 |
b2 ... |
ann |
|
;…; |
|
an1 |
an 2 ... |
bn |
|
; |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема Крамера.
Если определитель системы линейных уравнений отличен от нуля
( 0) , то система имеет единственное решение, определяемое по формулам
x |
1 |
; x |
|
|
2 |
;...;x |
|
|
n |
; |
|
|
|
|
|
|
(3) |
||||||
1 |
|
2 |
|
|
n |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Формулы (3) называются формулами Крамера.
Доказательство.
Рассмотрим систему уравнений в матричном виде
AX B .
Так как 0 , то по теореме об обратной матрице существует обратная матрица
3
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
|
|
|
|
A11 |
A21 |
... |
An1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
A12 |
A22 |
... |
An 2 |
|
A |
1 |
|
|
|
|||||
|
... |
... |
... ... |
|
|||||
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
A |
... |
A |
|
|
|
|
|
|
|
1n |
2n |
|
nn |
, |
где Aij (i 1,...,n; j 1,...,n) - алгебраические дополнения к элементам матрицы A .
Решая матричное уравнение, получим X A 1 B ;
|
|
A11 |
A21 ... |
|||
|
1 |
|
A12 |
A22 ... |
||
X |
|
|||||
... ... ... |
||||||
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
A |
... |
||
|
|
|
1n |
2 n |
|
An1 |
b1 |
|
||
|
|
|
|
|
An 2 |
b2 |
|
||
... |
|
... |
||
|
|
|
|
|
A |
b |
|
|
|
nn |
|
|
n |
. |
x |
1 |
( A b |
A b |
... A b ) |
i , |
|
|
(i 1,...,n) , |
|||||
i |
|
1i 1 |
2i 2 |
ni n |
|
i A1i b1 A2i b2 ... Anibn - по формуле Лапласа, полученной при разложении определителя по столбцу с номером i .
Теорема доказана.
Пример. Решить систему, применяя формулы Крамера.
3x1 2x2 |
|
5 |
3 |
|
2 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
||||
x 5x |
|
|
|
A |
|
|
; B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2 |
|
3 |
1 5 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
2 |
|
15 2 17; 1 |
|
|
5 |
2 |
|
19; 2 |
|
|
3 |
5 |
|
14. |
|||
3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
1 |
5 |
|
|
|
|
|
3 |
5 |
|
|
|
|
|
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 1719 ; x2 1714 .
Проверка.
3 |
19 |
2 |
14 |
|
|
85 |
5;5 5. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
17 |
|
17 |
|
17 |
|
||||||||||
|
|
19 |
5 |
|
14 |
|
|
51 |
3;3 3. |
|||||||
17 |
17 |
17 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: x1 1719 ; x2 1714 .
Собственные числа и собственные векторы квадратной матрицы.
Пусть A - квадратная матрица. Рассмотрим уравнение вида
4
|
|
|
|
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА |
|
x |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
X |
... |
|
|
|
|
|
|
|
AX X , где |
x |
|
- неизвестный вектор, - заданное число. |
|
|
n |
|
Произведём элементарные преобразования:
AX EX 0 ; |
(A E) X 0 . |
||||
Равносильная система (A E) X 0 является однородной. В случае, |
|||||
если матрица системы ( A E) невырожденная, система имеет единственное |
|||||
|
|
0 , система |
|||
нулевое решение. В противном случае, если определитель |
|
A E |
|
||
|
|
||||
имеет ненулевые решения. |
|
|
|
|
|
Уравнение A E 0 называется характеристическим.
Значения , являющиеся корнями характеристического уравнения, называются собственными числами матрицы A .
Ненулевые решения уравнения AX X ( - собственное число матрицы), называются собственными векторами матрицы A , соответствующими собственному числу .
Пример. Найти собственные числа и собственные векторы матрицы
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Составим характеристическое уравнение |
|
A E |
|
0 . |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
3 |
2 |
1 |
0 |
|
0; |
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0; |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
(3 )(2 ) |
0; |
|||||||||
|
|
2 |
0 |
1 |
|
|
|
|
0; 5 4 |
|||||||||||||
Матрица A имеет два собственных числа 1 |
1; 2 |
4. |
|
|||||||||||||||||||
Для собственного числа |
1 1уравнение AX X примет вид |
|
||||||||||||||||||||
3 |
2 |
x1 |
|
x1 |
|
3x1 2x2 x1 |
|
2x1 2x2 0 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 |
2 |
x |
|
x |
|
2x x |
|
x x 0 |
. |
|
||||||||||||
|
|
|
2 |
|
2 |
|
1 |
2 |
|
|
2 |
|
1 |
2 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
любое _ число. Частное решение |
|||||||||||
Общее решение системы x2 |
||||||||||||||||||||||
x1 1; x2 |
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ненулевой собственный вектор |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
1 . |
|
|
|
|
|
Аналогично можно найти собственный вектор, соответствующий числу
2 4.
5