3-3.
Основные теоремы о пределах
Единственность предела
Предел суммы, произведения, частного
Признаки существования предела
23 сентября 2007 г.
Единственность предела
Теорема. Последовательность не может иметь больше одного
предела.
Доказательство. Следует из того, что последовательность не
может одновременно приближаться к двум разным числам
одновременно.
Выберем ε значительно меньше разницы между числами A и B.
Тогда очевидно, что мы не сможем указать такого номера N,
начиная с которого одновременно будут выполнены два условия:
© Иванов О.В., Кудряшова Л.В. 2005
22
Предел суммы
Теорема. Предел суммы двух последовательностей равен
сумме пределов этих последовательностей:
Доказательство. Теорема будет доказана для функций.
© Иванов О.В., Кудряшова Л.В. 2005
23
Вынесение постоянной за знак предела
Теорема. Постоянный множитель можно выносить за знак
предела.
© Иванов О.В., Кудряшова Л.В. 2005
24
Пределы произведения и частного
Теорема. Предел произведения двух последовательностей
равен произведению пределов:
Теорема. Предел частного двух последовательностей равен частному пределов:
© Иванов О.В., Кудряшова Л.В. 2005
25
Монотонность и ограниченность
Теорема (признак существования предела). Если последовательность {an} монотонна и ограничена, то она имеет предел.
Последовательность ограничена и возрастает. Следовательно, она
имеет предел.
a 1
1
n 1 2n
© Иванов О.В., Кудряшова Л.В. 2005
26
Теорема о «двух милиционерах»
Теорема (признак существования предела). Если одна
последовательность заключена между двумя другими,
имеющими одинаковый предел, то она имеет тот же предел.
an ≤bn ≤ cn
lim an = A |
lim b = A |
|
n→∞ |
n→∞ n |
|
lim c = A |
|
|
n→∞ n |
|
|
© Иванов О.В., Кудряшова Л.В. 2005
27
Вычисление пределов
Пример
23 сентября 2007 г.
Пример
Вычислить пределы последовательностей:
© Иванов О.В., Кудряшова Л.В. 2005
29