Молчанов (ответы) / 6. Оценка вероятности потерь заявок (первая формула Эрланга)

Если в выражения для потерь по вызовам, нагрузке и времени подста­вить математические ожидания соответствующих случайных величин, то можно говорить о вероятности потерь по вызовам, нагрузке и времени. Тогда формула для расчета p_в будет иметь вид:

,                                        (6.1)

где λ – интенсивность потока вызовов; υ – количество каналов; Соотношение 6.1 называется распределением Эрланга. Оно показывает, что вероятность p_i зависит только от числа занятых линий i, емкости пучка υ и величины параметра потока вызовов λ. По этим соображениям вероятность p_i принято обозначать E_i,υ(λ), а вероятность p_υ – через E_υ,υ (λ) или E_υ(λ).

p_в = p_t = p_υ = E_υ(λ).

При выводе формулы средняя длительность занятия принята равной единице; отсюда и параметр длительности занятий при показательном законе распределения β = 1. В общем случае при измерении длительности занятий в любых единицах времени (β  1) распределение Эрланга имеет следующий вид:

.

В частности, вероятность того, что в полнодоступном пучке заняты все υ линий (i = υ), равна

,

где y – интенсивность поступающей нагрузки

y = μ = μ/β  = λ/β;

μ – интенсивность потока вызовов;  – средняя длительность занятия. Для простейшего потока, который является ординарным и стационарным, μ = λ. Тогда распределение Эрланга имеет вид:

.

λ – интенсивность потока вызовов; i – количество каналов; j – число занятых

y – интенсивность поступающей нагрузки; μ – интенсивность потока вызовов

При  :   распределение Эрланга преобразуется в распределение Пуассона:

p_i = (yⁱ/i!)e^-y.

y = μ = μ/β  = λ/β;

Для количественной оценки качество обслуживания с ожиданием рассчитываются характеристики:

• вероятность ожидания обслуживания для поступившего вызова – p( γ > 0); • вероятность ожидания для любого поступившего вызова свыше времени t, равна p(γ > t); • среднее время ожидания по отношению ко всем поступившим вызовам – и по отношению только к задержанным вызовам – ; • вероятность того, что длина очереди превышает заданную величину r, p(R < r); • средняя длина очереди – .

Основными характеристиками являются p(γ > 0) и p(γ > t).