ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО СВЯЗИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего образования

«Санкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций

им. проф. М.А. Бонч-Бруевича»

(СПБГУТ)

__________________________________________________________________

Факультет ИКСС

Кафедра ЗСС

Отчет к лабораторной работе № 5 по дисциплине:

«Математические основы защиты информации» Тема: «Теория чисел в криптографии (часть 2)»

Выполнил студент Группа ИКБ-14:

Травкина Е. А.

Проверил:

Кушнир Д.В.

Теория.

Задания.

1. Найдите целое частное и остаток от деления:

a. -18 на 5;

b. n^3+2n-l на n;

c. 12n^5 + 10n^4 + 2 на 2n.

А. -18=-3*5-3,

где -3 – частное и -3 остаток от деления

B. n^3+2n-1=n*(n^2+2)-1,

где n^2+2 – частное, а 1 – остаток от деления

C. 12n^5 + 10n^4 + 2 = 2(n(6n^4+5n^3) +1),

где 6n^4+5n^3 – частное, а 1 – остаток от деления

2. Поделите с остатком при n ∈ n

А. (2n^2+4n+1)/2=n^2+2n+1/2=2(n+2)+1/2, где 2(n+2) – целое частное, а 1 – остаток от деления

Б. (15n^4+9n^2+2)/3=5n^4+3n^2+2/3=n^2(5n^2+3)+2/3, где n^2(5n^2+3) = общее частное, а 2 – остаток от деления числа на 3.

В. (8n^2+12n-3)/4=2n^2+3n-3/4=n(2n+3)-3/4, где n(2n+3) – целое частное, а -3 – остаток от деления числа на 4

Г. (25n^5+10n^4-2)/5=5n^5+2n^4-2/5= n^4(5n+2)-2/5, где n^4(5n+2) – целое частное, а -2 – остаток от деления на 5

Д. 12n^2 – 24n +29/6, где 2n^2 – 4n +4 – целое, а остаток = 3.

Е. (21n^8-35n^2044)/7= 3n^8-5n^2-6-2/7, где 3n^8-5n^2-6 – целое частное, а -2 – остаток от деления

3. Поделите с остатком при n ∈ n

А. (4n^2+7n-1)/n = 4n+7-1/n, где 4n+7 – целое частное, -1 – остаток от деления

Б. (6n^7+3n-2)/n = 6n^6+3-2/n, где 6n^6+3 – целое частное, -2 – остаток от деления

В. (6n^6-18n^5+3)/2n = 3n^5-9n^4+3/2n, где 3n^5-9n^4 – целое частное, 3 — остаток от деления

Г. (4n^9+14n^5+4)/2n=2n^8+7n^6+2/n, где 2n^8+7n^6 – целое частное, 2 – остаток от деления.

4. Найти каноническое разложение для чисел (замечание, все сомножители не превышают число 20):

A. 711480

711480	2	(711480 : 2 = 355740)
355740	2	(355740 : 2 = 177870)
177870	2	(177870 : 2 = 88935)
88935	3	(88935 : 3 = 29645)
29645	5	(29645 : 5 = 5929)
5929	7	(5929 : 7 = 847)
847	7	(847 : 7 = 121)
121	11	(121 : 11 = 11)
11	11	(11 : 11 = 1)
1

711480 = 2 · 2 · 2 · 3 · 5 · 7 · 7 · 11 · 11 = 2³ · 3 · 5 · 7² · 11²

B. 3025269

3025269	3	(3025269 : 3 = 1008423)
1008423	3	(1008423 : 3 = 336141)
336141	3	(336141 : 3 = 112047)
112047	3	(112047 : 3 = 37349)
37349	13	(37349 : 13 = 2873)
2873	13	(2873 : 13 = 221)
221	13	(221 : 13 = 17)
17	17	(17 : 17 = 1)
1

3025269 = 3 · 3 · 3 · 3 · 13 · 13 · 13 · 17 = 3⁴ · 13³ · 17

C. 10481625

10481625	3	(10481625 : 3 = 3493875)
3493875	3	(3493875 : 3 = 1164625)
1164625	5	(1164625 : 5 = 232925)
232925	5	(232925 : 5 = 46585)
46585	5	(46585 : 5 = 9317)
9317	7	(9317 : 7 = 1331)
1331	11	(1331 : 11 = 121)
121	11	(121 : 11 = 11)
11	11	(11 : 11 = 1)
1

10481625 = 3 · 3 · 5 · 5 · 5 · 7 · 11 · 11 · 11 = 3² · 5³ · 7 · 11³

5. Найти функцию Эйлера для чисел 8, 19, 20, 131.

ф(8) = (2³ - 2²) = 8 - 4 = 4 ф(19) = (19¹ - 19⁰) = 19 - 1 = 18 ф(20) = (2² - 2¹) * (5¹-5⁰) = 2 * 4 = 8 ф(131) = (131¹ – 131⁰) = 131 - 1 = 130

6. Найти функцию Эйлера для чисел (используйте разложение этих чисел на множители из задачи 4):

a. 711480

ф(711480) = ( 2³-2²) * (3¹-3⁰) * (5¹-5⁰) * (7² – 7¹) * (11² – 11¹) = 147840

b. 3025269

ф(3025269) = (3⁴ – 3³) * (13³-13²) * (17¹-17⁰) = 1752192

c. 10481625

ф(10481625) = (3² – 3¹) * (5³ – 5²) * (7¹ – 7⁰) * (11³ – 11²) = 4356000

7. Сократите сравнения:

a. 91* x = 105 mod 121 = 105

x = 105 / 91

b. 91* x = 105 mod 143 = 105

x = 105/ 91

8. Задание на цепную дробь. Найти представление в виде цепной дроби для отношения: (7*x+11)/43, где x – номер студента в списке группы. Количество выполненных вариантов должно совпадать с количеством студентов в бригаде.

7*23+11/43 = 172/43 = 4

9. На какие цифры не может оканчиваться квадрат целого числа; куб целого числа?

Квадрат числа: 3,7,8

Куб числа: 2,3

10. Докажите, что пятая степень любого целого числа оканчивается на ту же цифру, что и само число.

Пусть дано число b, тогда:

Последняя цифра числа а = последней цифре числа, полученного при возведении в степень 5 последней цифры числа b.

1^5 = 1

2^5 = 32

3^5 = 243

4^5 = 1024

5^5 = 3125

6^5 = 7776

7^5 = 16897

8^5 = 32768

9^5 = 59049

11. На какую цифру оканчивается сумма квадратов пяти последовательных целых чисел?

A^2+(a+1)^2+(a+2)^2+(a+3)^2+(a+4)^2=5a^2+20a+30

20a оканчивается на 0

30 на 0, сумма этих слагаемых = 0

Рассмотрим 5а^2

Один из множителей “5”, опираясь на правила умножения этого числа получим, что произведение будет оканчиваться на 0 или на 5.

Соответственно сумма квадратов пяти идущих подряд чисел оканчивается на 0 или на 5.

12. Докажите, что произведение пяти последовательных целых чисел делится на пять.

Произведение кратно 5, т.к. один из множителей: a(a+1)(a+2)(a+3)(a+4) будет обязательно кратен 5.

13. Докажите, что разность квадратов двух нечетных чисел делится на 8.

(2n+1)^2-(2m+1)^2=4n^2+4n+1-4n^2+4n-1=8n

Значит число делится на 8, т.к. это один из множителей

14. Найдите наименьшее натуральное число, которое делится на 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и 10.

Поскольку нас интересует наименьшее натуральное число, которое делится на 9 последовательных натуральных чисел, то, очевидно, эти натуральные числа должны быть наименьшими из возможных.

НОК (2,3,4,5,6,7,8,9,10)=2*3*2*5*7*2*3=6*10*7*6=2520.

15. Найдите наименьшее натуральное число, делящееся на 7 и дающее остаток 1 при делении на каждое из чисел 2, 3, 4, 5, 6.

301/7= 43

301/6= 50 + ост. 1

301/5= 60 + ост. 1

301/4 = 75 + ост. 1

301/3 = 100 + ост. 1

301/2 = 150 + ост. 1

16. При любом натуральном n найдите наибольший общий делитель чисел:

а) n^2 + 3n + 1 и n + 3;

б) 3n^4 + 6n^2 + 1 и n^3 + 2n.

а) Воспользуемся алгоритмом Эвклида

a = n^2+3n+1

b = n+3

n^2 +3n+1/n+3 = n (остаток 1);r1=1

n+3/rl=n+3/1=n+3 (остаток 0)

получим, что rl – НОД = 1

б) Воспользуемся алгоритмом Эвклида

a=3n^4+6n^2+1

b=n^3+2n

3n64+6n^2+1/n^3+2n=3n (остаток 1); rl=l

n^3 +2n/1 n^3+2n (остаток 0)

получим, что rl – НОД = 1.

17. Докажите, что наибольший общий делитель чисел а и b делится на любой их общий делитель.

Наибольший общий делитель двух целых чисел – это наибольшее целое число, делящее два данных целых числа. Значит, если оба числа имеют более одного общего делителя, то НОД этих двух чисел будет произведением всех общих делителей, => будет делиться на каждый из них, что и требовалось доказать.

18. Докажите, что три натуральных числа 4n-1, n и 2n-1 попарно взаимно просты.

Числа называются взаимно простыми, если их НОД равен единице и взаимно попарно простыми, если любые два из них взаимно просты, т.е. их НОД равен единице.

НОД(4n-1, n) = 1 по алгоритму Эвклида

НОД(4n-1, 2n-1) = 1 по алгоритму Эвклида

НОД(2n-1, n) = 1 по алгоритму Эвклида

=> эти числа действительно попарно взаимно простые, что и требовалось доказать.

19. Докажите, что при любом натуральном n: n^2(n^2-1) делится на 12;

n^2 (n^2 - 1) = n*n*(n-1)*(n+1) числа (n-1),n,(n+1) - это три числа, идущие по порядку, => одно из них обязательно делится на 3 остается доказать, что число делится на 4 если n четное, то n делится на 2 => n^2 делится на 4 если n нечетное, то (n+1) и (n-1) - четные => (n+1)(n-1) делится на 2*2, т. е. на 4. Мы доказали, что число делится и на 4, и на 3 (то есть, на 12).

20. Задание на понятие Вычета

Задание для вычетов x, y (см. свой вариант) по модулю 9

1) указать класс вычетов, которому они принадлежат.

2) заменить эти вычеты на:

2.1) наименьшие по абсолютной величине вычеты;

2.2) наименьшие неотрицательные вычеты;

2.3) вычеты, входящие в интервал [23;31] (выключая границы).

23(9) Вариант:

Для вычетов -134; 37 по модулю 9:

1. Определим классы, в которые входят данные в условии вычеты (целые числа). Для этого разделим их с остатком на 9, получим:

-134 = 9*(-15) + 1 , значит, -134 принадлежит классу [1]9 ;

37 = 9*(4) + 1, значит, 37 принадлежит классу [1]9 .

2.1. Найдём наименьшие по абсолютной величине вычеты:

m = 9, значит, считаем по формуле для нечётного m:

–(m−1)/2 ≤ x ≤ (m−1)/2

–(9−1)/2 ≤ x ≤ (9−1)/2

–4 ≤ x ≤ 4

2.2. Найдём наименьшие неотрицательные вычеты:

….. -17, -8, 1, 10, 19, 28…..

2.3. Найдём вычеты, входящие в интервал [23 ; 31] (выключая границы)

….. -17, -8, 1, 10, 19, 28, 37…..

Ответы на 23(9) Вариант:

1) [1]9 ; [1]9

2) -4 ; 4

3) 1

4) 28