Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Санкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. проф. М.А.Бонч-Бруевича»

Отчёт по лабораторной работе №3

«Расширенный алгоритм Эвклида»

Выполнил:

студент группы ИКБ-14

Травкина Е.А.

Проверил:

Доц., к.т.н., Кушнир Д.В.

Санкт-Петербург

2023

Теоретическая часть

Кроме вычисления d=НОД(a,b), алгоритм Эвклида позволяет дополнительно определить два целых числа α и β, таких что:

α * a + β * b = d; (соотношение Безу)

α и β – коэффициенты Безу.

Замечание, «почти всегда» если α положительна, то β отрицательно и наоборот.

Эти два числа можно вычислять одновременно с выполнением шагов в алгоритме Эвклида по следующей схеме:

Ручной метод «прямой»:

Рассмотрим шаги получения НОД (24;15):

24 = 15 * 1 + 9

15 = 9 * 1 + 6

9 = 6 * 1 + 3

6 = 3 * 2 + 0

Добавим для каждого шага представление «текущего» остатка как линейной комбинации исходных чисел a и b:

1-й шаг: 9=24+(-1)*15

2-й шаг: 6=15-9=15-(24-15)=2*15+(-1)*24

3-й шаг: 3=9-6=24+(-1)*15-[2*15+(-1)*24]=2*24+(-3)*15; т.е. α=2; β=-3.

Алгоритм в общем виде: Найти: НОД(a,b) a =b *q₁ + r₁ и r₁ = α * x₁ + β * y₁ b =r₁ *q₂ + r₂ и r₂ = α * x₂ + β * y₂ ………………………………

r_n-3=r_n-2 *q_n-1 +r_n-1 и r_n-1= α * x_n-1 + β * y_n-1 //на этом шаге получаем α,β r_n-2=r_n-1 *q_n r_n=0 Ответ: НОД(a,b)=r_n-1 //ответ – последний ненулевой остаток.

Представим это в виде таблицы:

остатки	частные	x	y
a	*	x(-1)	y(-1)
b	*	x0	y0
r1	q1	x1	y1
r2	q2	X2	y2
rn-2	qn-2	xn-2	yn-2
rn-1	qn-1	xn-1	yn-1

Заметим, что в начале этой таблицы появились две дополнительные строчки.

Они нам помогут вычислить x₁ и y₁ :

x_(-1)=1, y_(-1)=0, x₀=0, y₀=1;

x_j=x_j-2-q_j*x_j-1; y_j=y_j-2-q_j*y_j-1; //Пояснение соотношений – см. лекции.

Пример расширенного алгоритма Эвклида для чисел 1234 и 54

остатки	частные	x	y
1234	*	1	0
54	*	0	1
46	22	1-22*0=1	0-22*1=-22
8	1	0-1*1=-1	1-1*(-22)=23
6	5	1-5*(-1)=6	-22-5*23=-137
2	1	-1-1*6=-7	23-1*(-137)=160
0	3	*	*

α = -7; β=160. Действительно: (-7)*1234+160*54=2.

Нахождение обратного элемента по модулю (мультипликативная инверсия).

Определение. Обратным к числу a по модулю n называется такое число b (обычно обратное к a обозначают как a^-1), что: a*b = 1 mod n ( a * a^-1 = 1 mod n )

Рассмотрим выражение: a * х + n * y = 1 (это и есть соотношение Безу)

возьмём от обеих частей уравнения остаток по модулю n, то получим:

a * х = 1 mod n, х – и есть обратный элемент к a. Пример: m=11, a=3; 4*3+(-1)*11=1; 4*3=1 mod 11, т.е. a^-1 = 4.

Если получаете отрицательный ответ – переведите в положительный: через n-х.

Нахождение противоположного элемента по модулю (аддитивная инверсия).

Определение. Противоположным к числу a по модулю n называется такое число b, что: a+b = 0 mod n. b записывают в виде положительного числа.

Факультативное задание. Расширенный бинарный алгоритм Евклида

Вход: Целые числа а, b; 0 < b ≤ а.

Выход: d = НОД(a, b); и такие целые числа х, у, что ах + by = d.

Алгоритм:

1. Положить g ← 1.

2. Пока оба числа а и b четные, выполнять а ← a/2, b ← b/2 , g ← 2g до получения хотя бы одного нечетного значения а или b.

3. Положить u ← a, v ← b, А ← 1, В ← 0, С ← 0, D ← 1.

4. Пока u ≠ 0, выполнять следующие действия:

   1. Пока u четное, положить u ← u/2. Если оба числа А и B четные, то положить A ← A/2, B ← B/2. В противном случае положить A ← (A+b)/2, B ← (B–a)/2

   2. Пока v четное, положить v ← v/2.

Если оба числа С и D четные, то положить С ← C/2, D ← D/2. В противном случае положить C ← (C + b)/2, D ← (D – a)/2

3. При u ≥ v положить u ← u – v, А ← А – С, В ← В – D. В противном случае положить v ← v – u, C ← C–A, D ← D – B.

1. Если u=0, то

   1. Положить d ← gv, x ← С, у ← D.

   2. Результат: d, х, у.

Задание

Вычислить коэффициенты соотношения Безу для НОД(34, 40) вручную.

Вычислить коэффициенты соотношения Безу для НОД(2264828, 4261494) программными средствами.

Найти обратное к 4 по модулю 17.

Ход работы

1. «Вручную» расширенный алгоритм Эвклида

НОД (34, 40):

40 = 34 * 1 + 6

34 = 6 * 5 + 4

6 = 4 * 1 + 2

4 = 2 * 2 + 0

Распишем остатки в виде линейных комбинаций:

6 = 40 - 34

4 = 34 - 6 * 5 = 34 – 5 * (40 – 34) = 34 * 6 – 5 * 40

2 = 6 – 4 = 6 – 1 * (34 *6 – 5 * 40) = 6 * 40 - 7 * 34

Ответ: (6, -7)

Проверка: 6 * 40 - 7 * 34 = 240 - 238 = 2.

2. Выполнение алгоритма Эвклида в среде Excel и нахождение коэф. Безу (Рис. 1, 2)

Рис. 1. Код программы

Рис. 2. Вывод программы

Находим обратный коэффициент по модулю НОД (4, 17) = 1 Коэффициенты Безу: (-4, 1) - 4 * 4 + 1* 17 = 1 Берём по модулю 16 4 * 4 = 1 mod 17 Обратное к 4 по модулю 17 : 13

Вывод:

В ходе лабораторной работы № 3 мы научились вычислять коэффициенты соотношения Безу для НОД вручную, вычислять коэффициенты соотношения Безу для НОД в среде разработки Python, находить обратное к числу по модулю.