ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО СВЯЗИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего образования

«Санкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций

им. проф. М.А. Бонч-Бруевича»

(СПБГУТ)

__________________________________________________________________

Факультет ИКСС

Кафедра ЗСС

Отчет к лабораторной работе № 6 по дисциплине:

«Математические основы защиты информации»

Тема: «Алгоритмы разложения на множители»

Выполнил студент Группа ИКБ-14:

Травкина Е. А.

Проверил:

Кушнир Д.В.

г. Санкт-Петербург

2023

Алгоритмы разложения на множители.

Основная теорема арифметики.

Всякое целое число n > 1 единственным образом может быть представлено в виде:

,

где p₁,p₂,…,p_k – простые, (1<p₁<p₂<…<p_k), e₁,e₂,…,e_k-натуральные числа.

Замечание, если число делится нацело только на 1 и на себя, то такое число простое.

1. Алгоритм разложения на множители методом «перебора».

Последовательно выполняем деление исследуемого числа n на числа: 2,3,4,5,6,7,8… - самостоятельно определить (просмотреть лекционный материал по предыдущим темам) до какого числа достаточно производить такое деление. При выполнении деления можно учитывать признаки делимости на различные числа (2,3,4,5,…) для сокращения числа операций.

2. Алгоритм разложения на множители Ферма. Этот алгоритм пытается представить n как разность квадратов двух чисел, т е. в виде n=x²-y², тогда n раскладывается на (x-y)*(x+y). Алгоритм достаточно эффективен при близких сомножителях.

Шаг1. Принять x=[sqrt(n)], если n=x² , то x делитель – окончание алгоритма, иначе x=x+1 ([ … ]- обозначает взять целое). Шаг2. Если x=(n+1)/2 – n простое – окончание алгоритма, иначе вычисляем y=sqrt(x²-n). Шаг3. Если y целое, т.е. y²=x²-n,то решение найдено (n=(x+y)*(x-y)), иначе x=x+1 и переходим к шагу 2.

Пример n=1342127

x	x2	x2-n	y=sqrt(x2-n)
1158	1340964	-1163
1159	1343281	1154	33,97058
1160	1345600	3473	58,93216
1161	1347921	5794	76,11833
1162	1350244	8117	90,09439
1163	1352569	10442	102,1861
1164	1354896	12769	113

Т.е. x=1164, y=113. n=(1164+113)*(1164-113)=1277*1051

Задание.

1. Выполнить попытку разложения на множители любого четырёхзначного простого числа (взять любое из таблиц простых чисел) методом перебора. В отчёте показать вывод остатков от деления на каждом шаге алгоритма. Указать признак остановки алгоритма. Для оптимизации перебора можно использовать признаки делимости (по желанию). Привести примеры признаков делимости на (2,3,4,5,6, можно добавить по желанию еще какие-нибудь).

Число 2503

Делимость на:

2 – не делится, т.к. число нечетное.

3 – не делится (сумма цифр не делится на 3)

4 – не делится, т.к. последние две цифры числа не делятся на 4

5 – не делится (2503 не оканчивается на 0 или 5)

6 – не делится (не выполняются признаки делимости на 2 и 3)

7 – не делится (разность между числом десятков и удвоенным числом единиц не делится на 7)

8 – не делится, т.к. число нечетное.

9 – не делится (сумма цифр не делится на 9).

10 – не делится (число не оканчивается на 0).

11 – не делится (разность между суммой цифр, стоящих на четных местах, и суммой цифр, стоящих на нечетных местах, не делится на 11)

12 – не делится (сумма цифр не делится на 3, сумма последних двух цифр не нечетна)

Дальнейший перебор не имеет смысла, так как мы провели достаточно операций, чтобы показать, что число не имеет делителей от 1 до 10 и не является произведением простых чисел.

2. Выполнить аналогичные действия для любого числа, которое является произведением двух двухзначных (больших 50-ти) простых чисел (по Вашему выбору).

89*97 = 8633

Число 8633 Делимость на:

2 – не делится, т.к. число нечетное.

3 – не делится (сумма цифр 20 не делится на 3)

4 – не делится, т.к. последние две цифры числа 33 не делятся на 4

5 – не делится (8633 не оканчивается на 0 или 5)

6 – не делится (не выполняются признаки делимости на 2 и 3)

7 – не делится (разность между числом десятков 863 и удвоенным числом единиц 6 равна 857 и не делится на 7)

8 – не делится, т.к. число нечетное.

9 – не делится (сумма цифр 20 не делится на 9).

10 – не делится (число не оканчивается на 0).

11 – не делится (разность между суммой цифр, стоящих на четных местах, и суммой цифр, стоящих на нечетных местах, не делится на 11)

12 – не делится (сумма цифр не делится на 3, сумма последних двух цифр не нечетна)

Число не будет являться простым, так как мы знаем, что 89 и 97 будут являться его множителями.

3. Разложить на множители (факторизовать), два числа из таблицы ниже, вариант выбирать по номеру студента в группе. Если в бригаде несколько человек, то необходимо факторизовать соответствующее количество чисел. Использовать алгоритм Ферма. Обратите внимание на примечание.

Вариант 23(3)

n = 5842265399

x	x2	x2-n	y=sqrt(x2-n)
76434	5842156356	-109043
76435	5842309225	43826	209,3466
76436	5842462096	196697	443,5054
76437	5842614969	349570	591,2445
76438	5842767844	502445	708,8335
76439	5842920721	655322	809,5196
76440	5843073600	808201	899

Т.е. x=764400, y=899. n = (764400+899)*(764400-899)=765299*763501

n = 6142785497

x	x2	x2-n	y=sqrt(x2-n)
78375	6142483876	-301621
78376	6142797376	11879	108,9908253
78377	6142954129	168632	410,648268
78378	6143110884	325387	570,427033
78379	6143267641	482144	694,3658978
78380	6143424400	638903	799,3140809
78381	6143581161	795664	892

Т.е. x=78381, y=892. n = (78381+892)*( 78381-892)=79273*77489