Добавил:

Ares_0 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Донецкий национальный технический университет

Предмет:

Высшая математика

Файл:

ДУ / Lektsia5_DU_1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.06.2023

Размер:

89.09 Кб

Скачать

☆

Лекция № 5 Системы дифференциальных уравнений

Нормальные системы дифференциальных уравнений

К решению систем дифференциальных уравнений приводят, в частности, задачи по исследованию колебательных процессов в технике, физике, механике. Вибрации сооружений, электромагнитные колебания, колебания упругих тел − все

эти процессы описываются системами дифференциальных уравнений.

В качестве примера рассмотрим движение материальной точки массой

т в

плоскости Оху. Согласно второму закону Ньютона имеем

d 2

= F t ,

Спроектируем векторное равенство на координатные оси

d 2 x

t , x, y ,

;

d 2 y

Fy t , x, y ,

Получена система дифференциальных

уравнений относительно

неизвестных функций x(t) , y(t) , которые определяют положение точки плоскости. Здесь t − время,

(1)

двух

на

d x	,	d y	− проекции скорости,
		d t
d t

	d2 x		,	d2 y		− проекции ускорения на координатные оси.
	dt	2		dt	2
							уравнений, каждое
Будем				рассматривать системы дифференциальных

уравнение которой разрешено относительно старшей производной – канонические системы. Такую систему, путём введения дополнительных функций, всегда можно привести к эквивалентной ей системе дифференциальных уравнений первой порядка (ДУ-1), разрешенных относительно производной.

Например, приведём систему (1) к системе ДУ-1.

Введём функции u = dx ; v =

dydt

dudt

dvdt

dt . Тогда она примет вид

=u ;

=v ;

=1 Fx (t , x , y , u , v) ; m

=1 Fy (t , x , y , u , v) . m

Поэтому в дальнейшем будем рассматривать только такие системы. Определение 1. Нормальной системой дифференциальных уравнений

называется система дифференциальных уравнений вида

. . . . . . . . . . . . . . .

y1′ =′ =y 2

y ′ =n

f1 ( x , y1 , ... ,		yn ) ;
f 2 ( x ,	y1 , ... ,	y n ) ;
		(2)
f n ( x ,	y1 , ... ,	y n ) ,

где y i ( x ) - искомые функции, а fi ( x , y1 , ... , y n ) заданные функции в некоторой области G переменных x , y1 , ..., yn .

Определение 2. Решением системы (2) называется совокупность п дифференцируемых функций: y1 ( x) , ..., yn ( x) , которые при подстановке в систему

ДУ, обращают каждое уравнение в тождество.

yi = yi (x, C1 ,..., Cn ) (i =1, 2,..., n)

Определение

Совокупность

функций

называется общим решением системы дифференциальных уравнений (2),

если:

1. Эти функции являются решением системы при любых значениях С1, С2,…,

Сп;

2. Для любых начальных условий вида

yi ( x0 ) = yi 0

(3)

из области G можно найти такие значения С1,

С2,…, Сп, при которых

каждая

функция этой совокупности удовлетворяет условиям (3).

Задача Коши для системы (2) формулируется следующим образом: Найти такое

решение y1 ( x) , ...,

yn ( x) , которое удовлетворяет начальным условиям (3).

Теорема (о существовании и единственности решения задачи Коши).

Если правые части системы дифференциальных уравнений (2) и их частные

производные по переменным у1, у2,…, уп непрерывны в области G, то для любой

точки (x0 , y10 ,...,

yn 0 ) G существует единственное непрерывное решение

задачи

Коши, удовлетворяющее начальным условиям (3).

Пример 1. Определить траекторию полёта снаряда, выпущенного из орудия под

углом α к горизонту

со скоростью V0.

Сопротивлением

воздуха пренебречь.

Вначале лекции были

∙

рассмотрены общие уравнения (1),

тяж

которые можно применить для

решения данной задачи

d 2 x

= 0 ;

d t

d 2

= − g ,

где g − ускорение

d t

свободного падения. Проинтегрируем каждое уравнение

системы

= C1 ;

= − gt + C 2 .

Константы интегрирования С1 и С2 найдем из начальных условий:

dx	= V0 cosα ;	dy		= V0 sinα C1 = V0 cosα ; C2 = V0 sinα .


dt t =0		dt	t =0
Тогда система примет вид

dx			= V cosα ;

		0
dt

	dy		= − gt + V0 sin α .

dt

Ещё раз проинтегрируем

x = tV0 cosα + C1 ;

	gt	2
y = −	gt		+ tV0 sin α + C2 .
y = −	2		+ tV0 sin α + C2 .
	2

Константы интегрирования С1 и С2 определим из начальных условий с учетом выбора начала системы координат в положении орудия:

x(0) = 0 ; y(0) = 0 C1 = 0 ; C2 = 0 .

Таким образом, решением системы являются функции

	x = tV0 cosα ;

		gt		2
	y = −				+ tV0 sin α .
		2

Исключая параметр t, приходим к уравнению траектории
y = −	gx 2		+ x tg α парабола .
	2V02 cos 2 α

Решение нормальных систем дифференциальных уравнений методом исключений

Решение системы (2) сводится к решению ДУ-п методом исключений. Продифференцируем по х первое уравнение системы (2)

′′	=	∂f1	+	∂f1	′	+ ... +	∂f n	′

y1		∂x		∂y1	y1		∂yn	yn .

С учетом остальных уравнений системы это выражение примет вид

y ′′ = ∂ f1

∂ f1

+ ... +

∂ f n

n или

′′

( x , y1

, ..., yn ) .

∂ x

∂ y1

∂ y n

y1 = F1

Аналогично, ещё раз продифференцировав, получаем

y1′′′= F2 ( x ,

y1 , ... ,

y n )

и т. д., пока не найдём п-ую производную

y1( n ) = Fn − 1 ( x , y1 , ..., yn ) .

Таким образом, получаем систему п уравнений

y1′ =

f1 ( x ,

y1 , ... ,

yn ) ;

′′

y1 , ... ,

yn ) ;

y1 = F1 ( x ,

(4)

. . . . . . . . . . . . . . .

( n ) = F

( x ,

y , ...,

) .

п − 1

n −1

y 2 , ... , y n через

Из первых

уравнений

системы

(4)

выразим

′

,...,

( n−1)

. Подставляя их значения в последнее уравнение

переменные x , y1 , y1

системы (4), имеем

= Fn (x , y1 ,

′

(n−1)

(n )

) .

(5)

y1 ,...,

Решая уравнение (5),

находим y1 = y1(x, C1 ,..., Cn ) ,

а с помощью выражений

для функций y 2

, ... ,

y n

определяем и эти функции.

Замечание 1. Из приведённых выше рассуждений видна структура общего решения системы дифференциальных уравнений (2).

Замечание 2. Часто систему уравнений можно сразу сводить к уравнению (5), минуя систему (4). В частности, это относится к линейным системам дифференциальных уравнений.

Пример 2. Найти общее решение системы

y′ = −5y + 3z − 3sin x ;

′ = − + + −

z 6 y 4z cos x 4sin x.

Из первого уравнения найдем

z= 1 ( y′ + 5 y + 3sin x) 3

иподставим во второе уравнение

1 ( y′′ + 5y′ + 3cos x) = −6 y + 4 ( y′ + 5y + 3sin x) + cos x − 4sin x.

Умножим на 3 и приведём подобные члены y ′′ + y ′ − 2 y = 0 .

Составим характеристическое уравнение

k 2 + k − 2 = 0 k1 = −2 ; k2 = 1 .

Имеем

y = C1e −2 x + C 2 e x .

Тогда, с учетом выражения для z, получаем

z = C1e−2 x + 2C2ex + sin x .

Пример 3. Решить задачу Коши

	d x	= x − y ;


dt			x(0) = 0; y(0) = 3.

	d y	= 2y − 2x;


dt

Из первого уравнения находим

y = x − d x

и подставляем во второе уравнение


	d 2 x	− 3			d x	= 0 .
		− 3				= 0 .
	d t 2				d t
Составим характеристическое уравнение
k 2 − 3k = 0 k1 = 0 ; k2 = 3 .
Тогда получим
	x = C		1	+ C			2	e3t
и			1				2
и

y = x − dx = C1 − 2C2e3t dt

Из начальных условий получаем систему для нахождения С1 и С2

C	+ C		= 0 ;	C1	= 1; C2	= −1.
1		2		C1	= 1; C2	= −1.
C1	− 2C2 = 3
Окончательно имеем:	x = 1 − e3t ; y = 1 + 2e3t .

Соседние файлы в папке ДУ

#
12.06.2023106.23 Кб8Lektsia1_DU_1.pdf
#
12.06.202388.65 Кб6Lektsia3_DU_1.pdf
#
12.06.202387.08 Кб6Lektsia4_DU_1.pdf
#
12.06.202389.09 Кб6Lektsia5_DU_1.pdf