ДУ / Lektsia5_DU_1
.pdfЛекция № 5 Системы дифференциальных уравнений
Нормальные системы дифференциальных уравнений
К решению систем дифференциальных уравнений приводят, в частности, задачи по исследованию колебательных процессов в технике, физике, механике. Вибрации сооружений, электромагнитные колебания, колебания упругих тел − все
эти процессы описываются системами дифференциальных уравнений. |
|
|||||||||||||
В качестве примера рассмотрим движение материальной точки массой |
т в |
|||||||||||||
плоскости Оху. Согласно второму закону Ньютона имеем |
|
|||||||||||||
|
d 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
dr |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
m |
|
|
|
|
= F t , |
r |
, |
|
|
|
. |
|
||
dt |
2 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
Спроектируем векторное равенство на координатные оси
d 2 x |
= |
1 |
|
|
|
dx |
dy |
|||||||||
|
|
|
|
|
Fx |
t , x, y , |
|
|
, |
|
|
|
; |
|||
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||
dt |
|
|
m |
|
|
dt |
|
dt |
||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
dx |
|
dy |
||||||
d 2 y |
= |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
Fy t , x, y , |
|
|
, |
|
|
|
. |
|||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
m |
|
|
dt |
|
dt |
||||||||||
dt |
|
|
|
|
||||||||||||
Получена система дифференциальных |
уравнений относительно |
неизвестных функций x(t) , y(t) , которые определяют положение точки плоскости. Здесь t − время,
(1)
двух
на
d x |
, |
d y |
− проекции скорости, |
|
d t |
||
d t |
|
d2 x |
, |
d2 y |
− проекции ускорения на координатные оси. |
|
||
|
dt |
2 |
dt |
2 |
|
||
|
|
|
|
|
уравнений, каждое |
||
Будем |
рассматривать системы дифференциальных |
уравнение которой разрешено относительно старшей производной – канонические системы. Такую систему, путём введения дополнительных функций, всегда можно привести к эквивалентной ей системе дифференциальных уравнений первой порядка (ДУ-1), разрешенных относительно производной.
Например, приведём систему (1) к системе ДУ-1.
Введём функции u = dx ; v =
dt
dx
dt
dydt
dudt
dvdt
dy
dt . Тогда она примет вид
=u ;
=v ;
=1 Fx (t , x , y , u , v) ; m
=1 Fy (t , x , y , u , v) . m
Поэтому в дальнейшем будем рассматривать только такие системы. Определение 1. Нормальной системой дифференциальных уравнений
называется система дифференциальных уравнений вида
y1′ =′ =y 2
y ′ =n
f1 ( x , y1 , ... , |
yn ) ; |
|
f 2 ( x , |
y1 , ... , |
y n ) ; |
|
|
(2) |
f n ( x , |
y1 , ... , |
y n ) , |
где y i ( x ) - искомые функции, а fi ( x , y1 , ... , y n ) заданные функции в некоторой области G переменных x , y1 , ..., yn .
Определение 2. Решением системы (2) называется совокупность п дифференцируемых функций: y1 ( x) , ..., yn ( x) , которые при подстановке в систему
ДУ, обращают каждое уравнение в тождество. |
yi = yi (x, C1 ,..., Cn ) (i =1, 2,..., n) |
|||||||||||||
Определение |
3. |
Совокупность |
|
функций |
||||||||||
называется общим решением системы дифференциальных уравнений (2), |
если: |
|||||||||||||
1. Эти функции являются решением системы при любых значениях С1, С2,…, |
||||||||||||||
Сп; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Для любых начальных условий вида |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
yi ( x0 ) = yi 0 |
(3) |
||||||
из области G можно найти такие значения С1, |
С2,…, Сп, при которых |
каждая |
||||||||||||
функция этой совокупности удовлетворяет условиям (3). |
|
|||||||||||||
Задача Коши для системы (2) формулируется следующим образом: Найти такое |
||||||||||||||
решение y1 ( x) , ..., |
yn ( x) , которое удовлетворяет начальным условиям (3). |
|
||||||||||||
Теорема (о существовании и единственности решения задачи Коши). |
|
|||||||||||||
Если правые части системы дифференциальных уравнений (2) и их частные |
||||||||||||||
производные по переменным у1, у2,…, уп непрерывны в области G, то для любой |
||||||||||||||
точки (x0 , y10 ,..., |
yn 0 ) G существует единственное непрерывное решение |
задачи |
||||||||||||
Коши, удовлетворяющее начальным условиям (3). |
|
|||||||||||||
Пример 1. Определить траекторию полёта снаряда, выпущенного из орудия под |
||||||||||||||
углом α к горизонту |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
со скоростью V0. |
Сопротивлением |
|
y |
|
|
|
|
|||||||
воздуха пренебречь. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вначале лекции были |
|
V0 |
∙ |
|
|
|
||||||||
рассмотрены общие уравнения (1), |
|
|
|
α |
F |
тяж |
|
|||||||
которые можно применить для |
|
|
|
|
|
x |
|
|||||||
решения данной задачи |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
d 2 x |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
d t |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
d 2 |
y |
= − g , |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где g − ускорение |
|
d t |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
свободного падения. Проинтегрируем каждое уравнение |
||||||||||||||
системы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
= C1 ; |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
dy |
|
= − gt + C 2 . |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
Константы интегрирования С1 и С2 найдем из начальных условий:
dx |
= V0 cosα ; |
dy |
|
= V0 sinα C1 = V0 cosα ; C2 = V0 sinα . |
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|||||||
dt t =0 |
|
dt |
t =0 |
|
||||
Тогда система примет вид |
|
|
dx |
|
= V cosα ; |
||
|
|
|||
0 |
||||
dt |
||||
|
|
|||
|
dy |
|
= − gt + V0 sin α . |
|
|
|
|
||
dt |
|
|
Ещё раз проинтегрируем
x = tV0 cosα + C1 ; |
|||
|
|
|
|
|
gt |
2 |
|
y = − |
|
+ tV0 sin α + C2 . |
|
2 |
|
||
|
|
|
Константы интегрирования С1 и С2 определим из начальных условий с учетом выбора начала системы координат в положении орудия:
x(0) = 0 ; y(0) = 0 C1 = 0 ; C2 = 0 .
Таким образом, решением системы являются функции
|
x = tV0 cosα ; |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
gt |
2 |
|
|
|
y = − |
|
+ tV0 sin α . |
||
|
2 |
|
|||
|
|
|
|
||
Исключая параметр t, приходим к уравнению траектории |
|||||
y = − |
gx 2 |
|
+ x tg α парабола . |
||
2V02 cos 2 α |
Решение нормальных систем дифференциальных уравнений методом исключений
Решение системы (2) сводится к решению ДУ-п методом исключений. Продифференцируем по х первое уравнение системы (2)
′′ |
= |
∂f1 |
+ |
∂f1 |
′ |
+ ... + |
∂f n |
′ |
|
|
|
||||||
y1 |
∂x |
∂y1 |
y1 |
∂yn |
yn . |
|||
|
|
|
|
|
|
С учетом остальных уравнений системы это выражение примет вид
y ′′ = ∂ f1 |
+ |
∂ f1 |
f |
1 |
+ ... + |
∂ f n |
f |
n или |
′′ |
( x , y1 |
, ..., yn ) . |
|
|
|
|||||||||||
1 |
∂ x |
|
∂ y1 |
|
|
∂ y n |
y1 = F1 |
|||||
Аналогично, ещё раз продифференцировав, получаем |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
y1′′′= F2 ( x , |
y1 , ... , |
y n ) |
|
|
и т. д., пока не найдём п-ую производную
y1( n ) = Fn − 1 ( x , y1 , ..., yn ) .
Таким образом, получаем систему п уравнений
|
|
|
|
|
y1′ = |
f1 ( x , |
y1 , ... , |
yn ) ; |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
′′ |
|
|
y1 , ... , |
yn ) ; |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
y1 = F1 ( x , |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4) |
|
|
|
|
|
. . . . . . . . . . . . . . . |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
y |
( n ) = F |
( x , |
y , ..., |
y |
n |
) . |
|
|
|||
|
п − 1 |
|
|
|
1 |
n −1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
y 2 , ... , y n через |
||
Из первых |
уравнений |
системы |
(4) |
выразим |
||||||||||||
|
′ |
,..., |
( n−1) |
. Подставляя их значения в последнее уравнение |
||||||||||||
переменные x , y1 , y1 |
y1 |
|
||||||||||||||
системы (4), имеем |
|
|
|
|
= Fn (x , y1 , |
′ |
|
|
|
(n−1) |
|
|
||||
|
|
|
|
|
(n ) |
|
|
|
) . |
(5) |
||||||
|
|
|
|
y1 |
y1 ,..., |
y1 |
||||||||||
Решая уравнение (5), |
находим y1 = y1(x, C1 ,..., Cn ) , |
а с помощью выражений |
||||||||||||||
для функций y 2 |
, ... , |
y n |
определяем и эти функции. |
|
|
|
|
Замечание 1. Из приведённых выше рассуждений видна структура общего решения системы дифференциальных уравнений (2).
Замечание 2. Часто систему уравнений можно сразу сводить к уравнению (5), минуя систему (4). В частности, это относится к линейным системам дифференциальных уравнений.
Пример 2. Найти общее решение системы
y′ = −5y + 3z − 3sin x ;
′ = − + + −
z 6 y 4z cos x 4sin x.
Из первого уравнения найдем
z= 1 ( y′ + 5 y + 3sin x) 3
иподставим во второе уравнение
1 ( y′′ + 5y′ + 3cos x) = −6 y + 4 ( y′ + 5y + 3sin x) + cos x − 4sin x.
3 |
3 |
Умножим на 3 и приведём подобные члены y ′′ + y ′ − 2 y = 0 .
Составим характеристическое уравнение
k 2 + k − 2 = 0 k1 = −2 ; k2 = 1 .
Имеем
y = C1e −2 x + C 2 e x .
Тогда, с учетом выражения для z, получаем
z = C1e−2 x + 2C2ex + sin x .
Пример 3. Решить задачу Коши
|
d x |
|
= x − y ; |
|
|
|
|||
|
|
|||
dt |
x(0) = 0; y(0) = 3. |
|||
|
||||
|
d y |
= 2y − 2x; |
|
|
|
|
|||
|
|
|||
dt |
|
Из первого уравнения находим
y = x − d x
dt
и подставляем во второе уравнение
|
d 2 x |
− 3 |
d x |
= 0 . |
||||
|
|
|
||||||
|
d t 2 |
|
|
d t |
|
|
||
Составим характеристическое уравнение |
|
|||||||
k 2 − 3k = 0 k1 = 0 ; k2 = 3 . |
||||||||
Тогда получим |
|
|
|
|
|
|
||
|
x = C |
1 |
+ C |
2 |
e3t |
|||
и |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
y = x − dx = C1 − 2C2e3t dt
Из начальных условий получаем систему для нахождения С1 и С2
C |
+ C |
|
= 0 ; |
C1 |
= 1; C2 |
= −1. |
1 |
|
2 |
|
|||
C1 |
− 2C2 = 3 |
|
|
|
||
Окончательно имеем: |
x = 1 − e3t ; y = 1 + 2e3t . |
|