Не определенные интегралы / Integral2

Пусть

функция

x (t)

является

дифференцируемой

и имеет обратную

функцию

t 1 (x) .

Тогда

имеет

место

формула, которая

легко проверяется

дифференцированием:

f (x)dx

f

(t) (t)dt

.

(1)

Доказательство.

f (x)dx

f (x)

Продифференцируем левую часть:

.

Затем продифференцируем правую часть по правилу дифференцирования

сложной функции

f

(t)

(t)dt

=

dt

.

f ( (t)) (t)dt

t

dx

x

Далее по правилу дифференцирования обратной функции имеем

f ( (t)) (t)dt

dt

(t)

1

f

(t)

f (x).

чтд

dx

(t)

t

xdx

u x

2

1

dt

1

1 u

1

1 x

2

ln

C

ln

C .

1 x4

1 u2

1 u

1 x2

du 2xdx

2

4

4

arctg xdx

t arctg x

t2

arctg2 x

Пример 4.

dx

tdt

C

C .

1 x

2

dt

x2

2

2

1

sin 2xdx 2 sin x cos xdx

t sin x

2

2

2 tdt t

C sin

x C .

dt cos xdx

Отсюда следует равенство

cos 2x

sin2 x ?

2

Интегрирование некоторых функций, содержащих квадратный трёхчлен

Ax B

dx

Ax B

dx

Интегралы вида

2

bx

и

с помощью простой

2

ax

c

ax bx c

t

1

(a x

bx c)

a x

b

замены

2

приводятся к известным интегралам.

2

2

2x 1

t

1

(2x

4) x

2

2(t 2) 1

dx

2

dx

Пример 7.

2

4x 8

2

x

t 2

(t 2)

4(t

2) 8

x

dx dt

2t 4 1

d t

2t 5

dt

2t

dt 5

dt

2

4t

4 4t 8 8

2

4

2

4

2

4

t

t

t

t

u t

2

4

du

5

dt

5

t

ln | u |

arctg

C

2

du 2tdt

u

t

4

2

2

ln(t

2 4)

5

arctg

t

C ln(x2 4x 8)

5

arctg

x 2

C .

2

2

2

2

Пример 8. Найти интеграл

3x 7

dx .

x2 4x 3

Преобразуем подынтегральную функцию

3x 7

A

B

.

(x 1)(x 3)

x 1

x 3

числители дробей правой и левой частей равенства

3x 7 A(x 3) B(x 1) Ax 3A Bx B

(2)

.

Приравнивая коэффициенты при х и свободные члены, получим

3 A B ;

3A B ,

A 2

;

B 1

7

откуда

.

Тогда окончательно имеем

2

3x 7

dx

2

dx

dx

2 ln

x 1

ln

x 3

C .

x

4x 3

x 1

x

3

Замечание. Коэффициенты А и В можно было получить и другим способом.

Если подставить значения х = 1 и х

= 3 в равенство (2), то получим

2A 4

и

2B 2

соответственно, откуда и найдем неизвестные коэффициенты

A

2 ; B 1.

Если в знаменателе подынтегрального выражения находится квадратный корень

из квадратного трехчлена,

то наши действия будут подобными.

3(8 u) 1

( du)

3u 25

du

3udu

25du

16(8 u) (8 u)

2

64 u

2

64 u

64 u

2

2

z 64 u

2

3

dz

25

du

u

3

z 25 arcsin

C

2

z

8

u

8

dz 2udu

2

2

25 arcsin

u

8 x

3

64 u2

C 3

16x x2

25 arcsin

C .

8

8

udv uv vdu .

(3)

sin x

ln x

sin x

k x

k

x

k

;

, k N

;

x

;

x

x e

arcsin x

e

cos x

cos x

arctg x

и некоторых других.

u x

du dx

x

2

2x

2

x

2

2x

2

e

1

e

3x

e

3x

3x

dx

e

3x

e

3x

e

3x

C .

3x

dx

v

e

3x

3

9

9

3

9

27

dv e

3

u ex

du exdx

e x cos x e x cos xdx

ex sin xdx

dv sin xdx

v cos x

x

x

u e

du e

dx

ex cos x ex sin x ex sin xdx.

dv cos xdx

v sin x

I ex cos x ex sin x I

I

1

ex (sin x cos x) C .

2